Учебник Теория вероятности - Самойленко, Кузнецов. Министерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
1.3. Алгебра событий 1.3.1. Пространство событий Определение 1.15. Событие, которому соответствует только один результат (исход) опыта, называется элементарным событием. В условиях эксперимента случаи выпадения 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков являются также и элементарными событиями. Обозначим их как элементы множества {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 } так, чтобы элемент a 1 соответствовал появлению 1 очка, элемент a 2 – 2 очков итак далее. Тогда Случайные события 23 U = {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 }. (1.9) есть множество элементарных событий, или пространство событий. Определение 1.16. Множество U элементарных событий, составляющих полную группу несовместных событий, называется пространством событий. Случайные события можно рассматривать как подмножества, которые составлены из элементов множества U. Так, в условиях эксперимента : – подмножество B = {a 2 , a 4 , a 6 } соответствует случайному событию, которое заключается в выпадении четного числа очков – подмножество C = {a 1 , a 2 } соответствует случайному событию, которое заключается в выпадении не более двух очков – подмножество D = {a 6 } соответствует случайному событию, которое заключается в выпадении шести очков. Определение 1.17. Произвольный набор элементарных событий из пространства событий U является случайным событием. Определение 1.18. Элементарные события, которым соответствуют элементы из подмножества случайного события, называются благоприятствующими этому событию. Определение 1.19. Если событию Е не соответствует ни один элемент из пространства событий, то оно называется невозможным обозначается ∅ ). Определение 1.20. Если событию F соответствуют все элементы из пространства событий, то оно называется достоверным обозначается U). Теория вероятностей Приведенные определения, сделанные на основе понятия пространства событий, нив коей мере не противоречат утверждениям, сделанным в подразделе 1.1. Вместе стемна их основе вначале х годов ХХ века академиком АН. Колмогоровым был предложен аксиоматический подход к расчету вероятностных задач. Он базируется на схеме случаев и значительно расширяет рамки этой схемы, позволяя, в частности, раскладывать более сложные события на простые и затем вычислять их вероятность. Для одного итого же опыта может быть построено несколько пространств событий в зависимости оттого, какие элементарные события его составляют. Так, в условиях эксперимента элементарные события b 1 (выпадение четного числа очков) и b 2 (выпадение нечетного числа очков) формируют новое пространство событий U 1 = {b 1 , b 2 } . Общее количество различных случайных событий для пространства событий из n элементов определяется величиной 2 n , которая включает невозможное и достоверное события. Так, в пространстве U 1 может быть определено 2 2 =4 различных случайных событий, а пространстве U, соответствующему выражению (1.9), – 2 6 =64 . 1.3.2. Операции над событиями Простые случайные события могут образовывать сложные события, а сложные – еще более сложные. Например, событие А, которое заключается в выпадении четного числа очков в эксперименте , образуется из трех простых случайных событий А – выпадение двух очков, А – выпадение четырёх очков, А – выпадение шести очков. А более сложное событие А, которое заключается в выпадении четного числа очков или числа очков, кратного трем, состоит из двух менее сложных событий – А – выпадение четного числа очков (события А А, А – А – выпадение числа очков, кратного трем (события А, А. Теория вероятностей, как это будет показано в следующем подразделе, предоставляет исследователям возможность по известным вероятностям простых событий рассчитывать вероятности сложных событий. Но чтобы воспользоваться этой возможностью, необходимо обладать умением раскладывать сложные события на простые или составлять из простых событий сложные. Для разложения или составления сложных событий достаточно владеть двумя операциями над событиями суммированием и умножением. Случайные события 25 1.3.2.1. Сумма событий Определение 1.21. Суммой двух событий Аи В называют такое событие С, которое происходит тогда, когда происходит или событие А, или событие Вили события Аи В одновременно водном опыте. Суммирование событий Аи В принято записывать следующим образом А + В = С. Операция суммирования имеет место, когда простые события объединяются в сложное с использованием союза "или. Использование союза "или" равносильно использованию словосочетания "хотя бы. Так, определение 1.21 с использованием этого словосочетания звучало бы следующим образом "Суммой двух событий Аи В называют такое событие С, которое происходит тогда, когда происходит хотя бы одно из событий Аи В. Пример 1.9. Пусть в условиях эксперимента событие А, a 3 , a 5 } определяется как выпадение нечетного числа очков, а событие В – как выпадение числа очков, кратного трем. Тогда событие С, которое заключается в выпадении нечетного числа очков или числа очков, кратного трем, будет суммой событий Аи В (C={a 1 , a 3 , a 5 , На рис. 1.1 дана графическая интерпретация операции суммирования событий АиВ. Здесь область А представляет собой множество точек, которые соответствуют элементарным исходам опыта, благоприятствующим событию А область В – событию В область С – хотя бы одному из событий Аи В. А В С Рис. 1.1 Теория вероятностей Операция суммирования может быть обобщена на суммирование нескольких событий. В этом случае суммой нескольких событий будет событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из суммируемых. 1.3.2.2. Произведение событий Определение 1.22. Произведением двух событий Аи В называют такое событие D, которое происходит тогда, когда происходит и событие Аи событие В одновременно водном опыте. Произведение событий Аи В принято записывать следующим образом А*В = D . Операция умножения имеет место, когда простые события объединяются в сложное с использованием союза "и. Пример 1.10. Пусть в условиях эксперимента событие А определяется как выпадение нечетного числа очков А, a 3 , a 5 }, а событие В – как выпадение числа очков, кратного трем (В. Тогда событие D, которое заключается в выпадении нечетного числа очков и одновременно кратного трем, будет произведением событий Аи В (D={a 3 }). На рис. 1.2 дана графическая интерпретация операции умножения событий АиВ. Здесь область А представляет собой множество точек, которые соответствуют элементарным исходам опыта, благоприятствующим событию А область В – событию В область D представляет собой множество точек, которые соответствуют элементарным исходам опыта, одновременно благоприятствующими событию Аи событию В Операция умножения может быть обобщена на умножение нескольких событий. В этом случае произведением нескольких событий будет являться событие, которое состоит в одновременном появлении водном опыте всех событий. 1.3.3. Свойства операций сложения и умножения Рис. 1.2 А В Случайные события Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами коммутативностью A+B = B+A ; A*B = B*A ; ассоциативностью (A+B)+C = A+(B+C) ; (A*B)*C = A*(B*C) ; дистрибутивностью А*(В+С) = В +А . Полезные формулы для события A + Ø = A ; A * Ø = Ø; для события A + U = U ; A * U = A ; для А-события: A + A = A ; A * A = A . 1.4. Практикум и вопросы для самоконтроля 1.1. Какова основная цель дисциплины 1.2. В каких областях человеческой деятельности используются методы Теории вероятностей 1.3. Что является предметом изучения Теории вероятностей 1.4. При каких условиях явление считается случайным 1.5. Дать определение понятию "событие. 1.6. Дать определение понятию "опыт. 1.7. Дать определение понятию "вероятность события. 1.8. Дать определение понятию "достоверное событие. 1.9. Чему равна вероятность достоверного события 1.10. Дать определение понятию "невозможное событие. 1.11. Чему равна вероятность невозможного события 1.12. Дать определение понятию "случайное событие. Теория вероятностей 28 1.13. Какие значения может принимать вероятность случайного события 1.14. Какие случайные события называются равновозможными? 1.15. Какие случайные события называются несовместными 1.16. Дать определение понятию "полная группа событий. 1.17. Какие случайные события называются случаями 1.18. Какие случаи называются благоприятствующими событию 1.19. Какова классическая формула расчета вероятности события 1.20. Бросают две монеты. Какова вероятность того, что хотя бы на одной выпадет "решка Решение Обозначим А – событие, которое заключается в появлении хотя бы одной "решки" при бросании двух монет. Тогда P(A) – искомая вероятность. Возможными исходами опыта являются четыре случая – первый на первой монете – "орел, на второй также "орел – второй на первой монете – "орел, на второй – "решка – третий на первой монете – "решка, на второй – "орел – четвертый на первой монете – "решка, на второй также "решка. Следовательно, общее число возможных исходов опыта n = 4 . Из четырех случаев второй, третий и четвертый являются благоприятствующими рассматриваемому событию. Следовательно, число благоприятных исходов m = 3 . Подставляя в классическую формулу определения вероятности найденные значения для n и m, получим P(A) = m/n = 3/4 . 1.21. В лототроне находятся 37 шаров с числами 1,2,...,37 . Какова вероятность появления шара с числом, кратным 10, в результате одного запуска лототрона? 1.22. Бросают две монеты. Какова вероятность того, что на одной выпадет "решка, а на другой – "орел 1.23. Бросают последовательно две монеты. Какова вероятность того, что на первой монете выпадет "решка, а на второй – "орел 1.24. Из преферансной колоды, содержащей 32 карты, наудачу вытаскивается одна. Какова вероятность того, что ею окажется "дама, король" или "валет Случайные события 29 1.25. В академической группе 25 студентов. У трех студентов фамилия начинается на букву "Ау двух – на "О, у одного – на "И, у остальных – на согласную. Преподаватель наудачу вызывает одного студента. Какова вероятность того, что его фамилия начинается на согласную букву 1.26. Какие комбинаторные соединения различают в комбинаторике 1.27. Дать определение комбинаторному понятию "перестановки из m элементов. 1.28. Каким образом вычисляется общее число перестановок из m элементов 1.29. Сколько перестановок можно составить из 5 элементов 1.30. Дать определение комбинаторному понятию "размещения из n элементов по m". 1.31. Каким образом вычисляется общее число размещений из n элементов по m? 1.32. Сколько можно составить размещений из 5 элементов по 3? 1.33. Дать определение комбинаторному понятию "сочетания из n элементов по m". 1.34. Каким образом вычисляется общее число сочетаний из n элементов по m? 1.35. Сколько можно составить сочетаний из 5 элементов по 3? 1.36. В вагоне трамвая 15 двухместных кресел. Сколькими способами на них могут разместиться 30 пассажиров 1.37. На станции имеется 8 запасных путей. Сколькими способами на них можно расставить три разных поезда 1.38. Сколькими различными способами можно разложить в два кармана 10 монет различного достоинства по равному количеству монет 1.39. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3? 1.40. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4? 1.41. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3? Теория вероятностей 30 1.42. Сколько натуральных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы первая цифра была 1, вторая – 2 и чтобы полученные числа делились на 5? 1.43. Сколько натуральных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы первая цифра была 1 и чтобы полученные числа делились на 5? 1.44. Сколько сигналов можно подать с помощью 6 флажков разного цвета 1.45. Сколько различных а) четырёхзначных, б семизначных чисел, делящихся на 25, можно составить с помощью цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8? 1.46. Среди перестановок цифр числа 12345 сколько есть таких, которые не заканчиваются а пятеркой, б числом 45, в числом 345? 1.47. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. 1.48. Из 10 карточек с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выбирают наугад три. Какова вероятность того, что а в порядке выбора карточек получится число 347, б можно будет составить число 347? 1.49. В мешочке 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв ОП, Р, СТ. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиках можно будет прочесть слово "СПОРТ 1.50. В мешочке 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв М, ООО, Л, К. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиках можно будет прочесть слово "МОЛОКО 1.51. В мешочке 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв А, А, АН, НС. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиках можно будет прочесть слово "АНАНАС 1.52. На пяти карточках написаны буквы КМ, НОТ. Вынимаются наугад 3 карточки. Какова вероятность того, что а в порядке выхода карточек получится слово "КОТ, б из вынутых карточек можно составить слово "КОТ 1.53. В академической группе 25 студентов, из них 15 девушек. Какова вероятность того, что среди первых 6 вошедших в аудиторию, будет 4 девушки Случайные события 31 1.54. Приобретается одна карточка игры "Спортлото", в которой играющему следует вычеркнуть 6 чисел из 36. Какова вероятность, что играющий вычеркнет 6 из 6 выигрышных чисел 1.55. Приобретается одна карточка игры "Спортлото", в которой играющему следует вычеркнуть 6 чисел из 36. Какова вероятность, что играющий вычеркнет 3 из 6 выигрышных чисел 1.56. Приобретается одна карточка игры "Спортлото", в которой играющему следует вычеркнуть 6 чисел из 36. В случае, если играющий вычеркнет 3, 4, 5 или 6 из 6 выигрышных чисел, он получает денежный выигрыш. Какова вероятность получения денежного выигрыша 1.57. Десять человек усаживаются за круглым столом. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся сидящими рядом 1.58. Задумано двузначное число, цифры которого различны. Найти вероятность того, что задуманным окажется число а случайно названное, б случайно названное с различными цифрами 1.59. Дать определение понятию "элементарное событие. 1.60. Дать определение понятию "пространство событий. 1.61. Дать определение понятию "случайное событие" как составной части пространства событий. 1.62. Какие события сточки зрения "пространства событий" называются благоприятствующими другому событию 1.63. Дать определение понятию "невозможное событие" сточки зрения "пространства событий. 1.64. Дать определение понятию "достоверное событие" сточки зрения "пространства событий. 1.65. Дать определение операции суммирования двух событий. 1.66. Дать определение операции умножения двух событий. 1.67. В условиях эксперимента , когда игральная кость бросается только один раз, представить сложное событие S – выпадение четного числа очков или кратного пяти – через простые события А, где индекс i соответствует числу выпавших очков. 1.68. В условиях эксперимента , когда игральная кость бросается 2 раза, представить сложное событие S – выпадение равного числа очков при Теория вероятностей первом и втором бросаниях – через простые события (выпадение i очков при втором бросании. 1.69. В условиях эксперимента , когда игральная кость бросается 3 раза, представить сложное событие S – сумма выпавших очков при трех бросаниях кратна 17 – через простые события А (выпадение i очков при первом бросании, В (выпадение i очков при втором бросании) и С i (выпадение i очков при третьем бросании. 1.70. В условиях эксперимента , когда игральная кость бросается 3 раза, представить сложное событие S – сумма выпавших очков при трех бросаниях не меньше 17 – через простые события А (выпадение i очков при первом бросании, В (выпадение i очков при втором бросании) и С i (выпадение i очков при третьем бросании. 1.71. Бросаются две обычные игральные кости, которые отличаются только цветом одна кость – черная, другая – белая. Наблюдаются числа очков на их верхних гранях. Построить пространство событий, которое отвечает данному эксперименту. Найти вероятности событий а ч + б = 6); б ч + б > 9); в ч + б ≤ 5). Здесь ч – число очков на черной кости б – на белой. Решение. Построить пространство событий – это значит, определить всевозможные элементарные события для данного эксперимента. Задачи, в которых требуется построить пространство событий, решаются либо простым перечислением всех элементарных событий, либо построением таблицы, которая наглядно изображает содержимое пространства. В последнем случаев клетках таблицы записываются пары цифр – числа очков, которые выпадают на верхних гранях белой (первая цифра) и черной (вторая цифра) костей. В условиях задачи искомому пространству событий соответствует таблица ч ч ч ч ч ч б 1 : 1 1 : 2 1 : 3 1 : 4 1 : 5 1 : 6 б 2 : 1 2 : 2 2 : 3 2 : 4 2 : 5 2 : 6 б 3 : 1 3 : 2 3 : 3 3 : 4 3 : 5 3 : 6 б 4 : 1 4 : 2 4 : 3 4 : 4 4 : 5 4 : 6 б 5 : 1 5 : 2 5 : 3 5 : 4 5 : 5 5 : 6 б 6 : 1 6 : 2 6 : 3 6 : 4 6 : 5 6 : 6 Общее количество элементарных событий отвечает количеству клеток, те. имеем N = 6 ∗ 6 = 36. Случайные события Построенное пространство событий позволяет простои наглядно получить ответы на остальные вопросы задачи. а) Дляопределения вероятности ч + б = 6) выделим в таблице пространства событий клетки, которые соответствуют элементарным событиям, благоприятствующим выпадению суммы очков, равной 6: ч ч ч ч ч ч б 1 : 1 1 : 2 1 : 3 1 : 4 |