Теория вероятностей методичка. Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)
 Скачать 3.28 Mb.
|
Занятие 6. Формула Бейеса.16.1. Краткая теоретическая частьПолучим важные формулы Бейеса или, как иногда говорят, формулы вероятности гипотез. Требуется найти вероятность события Ai, если известно, что В произошло. Согласно теореме умножения имеем: (6.1)Из соотношения (6.1) получаем (6.2)Используя формулу полной вероятности (5.1), находим: (6.3) Полученные формулы (6.3) носят название формулБейеса. Общая схема применения этих формул к решению практических задач такова. Пусть событие В может протекать в различных условиях, относительно характера которых может быть сделано n гипотез: . По тем или иным причинам нам известны вероятности этих гипотез до испытания (априорные вероятности гипотез). Известно также, что гипотеза сообщает событию вероятность . Произведен опыт, в котором событие В наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез ; формулы Бейеса количественно решают этот вопрос. Вероятности называются апостериорнымивероятностями события . 26.2.Тест
а) Найти вероятность события В, которое зависит от гипотез б) Найти вероятность справедливости гипотезы при условии, что связанное с ней событие В произошло в) Найти апостериорную вероятность гипотезы при условии, что событие В, связанное с ней, имело место г) Найти априорную вероятность гипотезы при условии, что событие В, связанное с ней, имело место д) Найти вероятность справедливости гипотезы в проводимом опыте
а) Гипотезы представляют собой полную группу несовместных событий б) Гипотезы представляют собой полную группу равновозможных событий в) Событие В может протекать в различных условиях, относительно характера которых может быть сделано n гипотез г) Событие В может протекать в различных условиях, относительно характера которых не может быть сделана ни одна из n гипотез
а) б) в)
а) Априорные вероятности события б) Апостериорные вероятности события 36.3. Решение типовых задачПример 6.1. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если: а) принят сигнал «точка»; б) принят сигнал «тире». Решение. Пусть событие А—принят сигнал «точка», а событие В — принят сигнал «тире». Можно сделать две гипотезы: Н1 — передан сигнал «точка», Н2 — передан сигнал «тире». По условию Р(Н1):Р(Н2) = 5:3. Кроме того, P(Н1) + P(Н2) = l. Поэтому P(Н1) = , P(Н2) = . Известно, что Вероятности событий A и В находим по формуле полной вероятности: Искомые вероятности будут: Пример 6.2. Имеется две партии деталей, причем известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой партии 1/4 деталей недоброкачественные. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что вторая деталь из этой же партии окажется недоброкачественной, если первая деталь после проверки возвращена в партию. Решение. Введем событие А, состоящее в том, что первая деталь доброкачественная. Гипотезы: H1 — взята партия с недоброкачественными деталями, H2 — взята партия доброкачественных деталей. По условию задачи Р(H1) = Р(H2) = , Р (A|H1) = , Р (A|H2) = 1. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность события А будет . После первого испытания вероятность того, что партия содержит недоброкачественные детали, равна Вероятность того, что партия содержит только доброкачественные детали, Пусть событие В состоит в том, что при втором испытании деталь оказалась недоброкачественной. Вероятность данного события также находится по формуле полной вероятности. Если и — вероятности гипотез H1 и H2 после испытания, то согласно предыдущим вычислениям , . Кроме того, , . Поэтому искомая вероятность 46.4. Задачи для самостоятельной работы6.1. Имеется десять одинаковых урн, из которых в девяти находятся по два черных и по два белых шара, а в одной— пять белых и один черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность, что шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров? (Ответ: p = ) 6.2. Известно, что 96°/о выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную — с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту. (Ответ: p = 0,998) 6.3. Из партии в пять изделий наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно? (Ответ: Пять бракованных изделий ) 6.4. Игрок D играет с неизвестным противником на следующих условиях: ничейный исход исключен; первый ход делает противник; в случае его проигрыша делает ход D, выигрыш которого означает выигрыш игры, а при проигрыше игра повторяется второй раз на тех же условиях. Из двух равновозможных противников В имеет вероятность выиграть первым ходом 0,4, а вторым — 0,3; С имеет вероятность выиграть первым ходом 0,8, а вторым ходом 0,6. Для D вероятность выиграть первым ходом равна 0,3 и не зависит от противника, а для второго хода равна 0,5 при игре с В и 0,7 при игре с C. Игру выиграл D. Какова вероятность: а) что противником был В; б) что противником был С? (Ответ: а) p =0,59; б) p = 0,41) 6.5. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 — с вероятностью 0,7; 4 — с вероятностью 0,6 и 2 — с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок? (Ответ:Ко второй группе) 6.6. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно. При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок. (Ответ: p = ) 6.7. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. (Ответ: = 0,103; = 0,277; = 0,620) 6.8. Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5, а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05. Какова вероятность, что первым произвел выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень? (Ответ: p =) 6.9. Произведено три независимых испытания, в каждом из которых событие A происходит с вероятностью 0,2. Вероятность появления другого события В зависит от числа появлений события A: при однократном появлении события A эта вероятность равна 0,1, при двукратном появлении равна 0,3, при трехкратном появлении равна 0,7; если событие A не имело места ни разу, то событие В невозможно. Определить наивероятнейшее число появлений события A, если событие В имело место. (Ответ: Одно появление) 6.10. Получена партия из восьми изделий одного образца. По данным проверки половины партии, три изделия оказались технически исправными, а одно бракованным. Какова вероятность, что при проверке трех последующих изделий одно из них окажется исправным, а два бракованными, если любое количество бракованных изделий в данной партии равновозможно? (Ответ: p =). |