Теория вероятностей методичка. Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)
 Скачать 3.28 Mb.
|
Занятие 5. Формула полной вероятности.15.1. Краткая теоретическая частьПредположим, что событие Вможет осуществиться с одним и только с одним из n несовместимых событий . Иными словами, положим , где события BAi и BAj с разными индексами i и j несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем: . Применяя теорему умножения, находим: (5.1) Это равенство носит название формулы полной вероятности и играет важную роль во всей дальнейшей теории. 25.2. Тест.
а) - полная группа несовместных событий б) - полная группа равновозможных событий в) - полная группа независимых событий г) - полная группа попарно несовместных и равновозможных событий д) Событие не может произойти совместно ни с одним из событий е) Событие может произойти совместно только с одним из событий ж) Событие может произойти совместно с каждым из событий
а) б) в)
а) - извлечение шара из -той урны, содержащей белых и черных шаров, если шар извлекается наудачу из любой из урн б) - извлечение шара из -той урны, содержащей белых и черных шаров, если шар извлекается наудачу из любых двух урн в) - наличие бракованных лампочек среди 100 взятых наудачу из 1000, если известно, что число испорченных лампочек на 1000 штук равновозможно от 0 до 5 г) - правильный ответ студента по крайней мере на из вопросов, содержащихся в экзаменационных билетах д) - правильный ответ студента ровно на из вопросов, содержащихся в экзаменационных билетах
а) б) в) г) 35.3. Решение типовых задачПример 5.1. Среди n лиц разыгрываются тn выигрышей путем случайного извлечения из ящика n билетов. Одинаковы ли шансы выигрыша для любого из играющих? Когда выгоднее тащить билет? Решение. Обозначим через Ak событие, состоящее в извлечении выигрышного билета после k извлечений билетов из ящика. По результатам предыдущих опытов можно сделать k+1 гипотез. Пусть гипотеза Hks означает, что из k извлеченных билетов выигрышных было s. Вероятности этих гипотез причем . Так как осталось n—k билетов, из которых т—s выигрышных, то при ms . По формуле полной вероятности находим , где при s>m. Данное равенство можно записать также в виде . Имеем , т. е. справедливо равенство . Искомая вероятность Р(Ak)= при любом k. Таким образом, у всех играющих шансы одинаковы и очередность извлечения не имеет значения. Пример 5.2. Отмеченный шар с вероятностями p и 1—pможет находиться в первой или во второй урне. Вероятность извлечь отмеченный шар из урны, в которой этот шар находится, равна Р(Р 1). Как следует распорядиться правом n раз извлекать шары из любой урны, чтобы вероятность извлечения отмеченного шара хотя бы один раз была наибольшей, если шар после извлечения возвращается в урну? Решение. Пусть событие А — извлечение отмеченного шара. Гипотезы: H1—шар находится в первой урне, H2—во второй. По условию P(H1)=p, Р(H2)=1—р. Допустим, что из первой урны извлечено т, а из второй n—т шаров. Условные вероятности извлечения отмеченного шара будут . По формуле полной вероятности искомая вероятность . Нужно определить т так, чтобы была наибольшей вероятность Р (А). Дифференцируя Р(A) по т (для нахождения приближенного значения т считаем m непрерывным), получаем . Полагая, приходим к равенству . Поэтому должно быть . 45.4. Задачи для самостоятельной работы5.1. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии. (Ответ: p = ) 5.2. Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой. (Ответ: p = ) 5.3. Имеется n урн, в каждой из которых по m белых и по k черных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в третью урну и т. д. Определить вероятность извлечения после такого перекладывания белого шара из последней урны. (Ответ: p = ) 5.4. В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу. (Ответ: p = 0,7) 5.5. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии деталей бракованные, а в двух других — все доброкачественные? (Ответ: p = ) 5.6. Характеристика материала, взятого для изготовления продукции, с вероятностями 0,09; 0,16; 0,25; 0,25; 0,16 и 0,09 может находиться в шести различных интервалах. В зависимости от свойств материала вероятности получения первосортной продукции равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,4; 0,3 и 0,2. Определить вероятность получения первосортной продукции. (Ответ: p = 0,332) 5.7. В сосуд, содержащий n шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров равновозможны? (Ответ: p = ) 5.8. В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые. (Ответ: p = 0,089) 5.9. В правом кармане имеются три монеты по 20 коп. и четыре монеты по 3 коп., а в левом — шесть по 20 коп. и три по 3 коп. Из правого кармана в левый наудачу перекладываются пять монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты в 20 коп, если монета берется наудачу. (Ответ: p = ) 5.10. Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета. (Ответ: p = ). |