Теория вероятностей методичка. Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)
 Скачать 3.28 Mb.
|
Занятие 7. Последовательные независимые испытания.17.1. Краткая теоретическая частьВ настоящем разделе мы изучим основные закономерности, относящиеся к одной из важнейших схем теории вероятностей — схеме последовательных независимых испытаний. В это понятие мы вкладываем следующий смысл. Под испытанием(опытом) мы станем понимать осуществление определенного комплекса условий, в результате которого может произойти то или иное элементарное событие пространства U элементарных событий. Математической моделью последовательности п испытаний является новое пространство элементарных событий, состоящее из точек , где - произвольная точка пространства U, отвечающая испытанию с номером i. Предположим, что для s-го испытания пространство U разбито на k несовместимых случайных событий , т. е. предположим, что Событие назовем i-м исходом при s-м испытании. Обозначим вероятность i-го исхода при s-м испытании через . Обозначим через событие, состоящее из всех тех точек пространства , для которых . Если в пространстве Un имеет место равенство при любых - то испытания называются независимыми. В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда вероятности событий не зависят от номера испытания s; обозначим в этом случае ; в силу несовместимости и единственной возможности исходов очевидно, имеем . Эта схема впервые была рассмотрена Я. Бернулли в важнейшем частном случае ; по этой причине указанный случай носит название схемыБернулли. В схеме Бернулли обычно полагают . Из определения независимых испытаний вытекает следующий результат: Теорема. Еслиданныеписпытанийнезависимы, толюбыетизнихтакженезависимы. Простейшая задача, относящаяся к схеме независимых испытаний, состоит в определении вероятности того, что при п испытаниях событие А наступит т раз, а остальные п—т раз наступит противоположное событие , обозначим это событие В. Тогда (7.1)Здесь Аi– событие состоящее в том, что событие А произойдет в i- ом испытании. Событие В представляет собой сумму несовместных событий, тогда согласно теореме сложения вероятностей получаем (7.2)Вероятность каждого слагаемого в данной сумме по теореме умножения для независимых событий равна . По теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме только что вычисленных вероятностей для всех различных способов т появлений события А и n—т не появлений среди п испытаний. Число таких способов, как известно из теории сочетаний, равно ; следовательно, искомая вероятность равна (7.3)Так как все возможные несовместимые между собой исходы писпытаний состоят в появлении события 0 раз, 1 раз, 2 раза, ..., n раз, то ясно, что (7.4) Легко заметить, что вероятность равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням x. Исследуем далее, как ведет себя вероятность при различных значениях m. с увеличением m сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте mубывает. При этом, если является целым числом, то максимальное значение вероятность принимает для двух значений m, а именно и . Если же не является целым числом, то максимальное значение вероятности достигается при , равном максимальному целому числу, большему из и . Число называют наивероятнейшим значением и обозначают через . Поставим теперь более общую задачу. Рассмотрим последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. При этом вероятность появления события в каждом испытании различна. Обозначим через . Аi – событие состоящее том что А произойдет в i-ом испытании – событие состоящее том что А не произойдет в i-ом испытании соответственно. Следует определить вероятность того что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний. Вероятность того, что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний равна коэффициенту при в выражении производящей функции (7.5)то есть (7.6)(7.7)Обозначим через событие состоящее в том, что А появляется не менее m раз в n независимых испытаниях, а вероятность обозначим , тогда (7.8)В тех случаях когда удобно пользоваться следующей формулой 2(7.9)7.2. ТестВычисление вероятностей появления события при повторных независимых испытаниях.
а) Если вероятности исходов (событий) в каждом из предыдущих опытов не влияют на вероятности этих исходов в последующих опытах б) Если вероятности исходов в каждом из опытов не зависят от порядка следования этих опытов в) Вероятности исходов (событий) в каждом из предыдущих опытов влияют на вероятности этих исходов в последующих опытах
а) Сначала убывает, затем достигает своего наименьшего значения, а потом увеличивается б) Монотонно убывает в) Сохраняет постоянное значение г) Монотонно возрастает д) Сначала возрастает, затем достигает своего наибольшего значения, а потом уменьшается
а) б) в) г)
а) б) в)
а) Целой части числа б) Максимальному целому числу, большему из и в) Целой части числа , если оно является дробным, или максимальному целому числу, большему из и , если является целым
а) б) в) 37.3. Решение типовых задачПример 7.1. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми? Решение. Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны p = q = l/2. а) Вероятность выиграть три партии из четырех Вероятность выиграть пять партий из восьми . Так как , то вероятнее выиграть три партии из четырех. б) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех , а вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми . Так как , то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми. Пример 7.2. Имеется шесть потребителей электрического тока, для первого из которых при определенных условиях вероятность того, что произойдет авария, приводящая к отключению потребителя, равна 0,6, для второго — 0,2, а для четырех остальных — по 0,3. Определить вероятность того, что генератор тока будет отключен полностью: а) если все потребители соединены последовательно; б) если потребители соединены так, как показано на схеме (рис. 6). Решение. а) Вероятность неотключения всех шести потребителей равна произведению вероятностей неотключения каждого потребителя, т. е. . Искомая вероятность равна вероятности отключения хотя бы одного потребителя, т. е. . б) В этом случае генератор будет отключен полностью, если в каждой паре последовательно соединенных потребителей отключен хотя бы один потребитель: . Пример 7.3. Большая партия изделий содержит один процент брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0,95? Решение. Искомое число n находится по формуле . В данном случае , а . Поэтому . Пример 7.4. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок. Решение. В данном случае n = 10, p= 0,4, (n + 1)p = 4,4. Наивероятнейшеё число , заявок равно целой части числа (n + 1)p, т. е. p = 4. Вероятность четырёх заявок из десяти . 47.4. Задачи для самостоятельной работы7.1. Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины не содержит: а) цифры пять; б) двух пятерок. Известно, что все номера четырехзначные, неповторяющиеся и равновозможные (считается возможным номер 0000). (Ответ:а) p = ; б) р = ) 7.2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье: а) пять мальчиков; б) мальчиков не менее трех, но и не более восьми. (Ответ:а) p = б) р = ) 7.3. В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по технике и по математике, равны соответственно 0,7 и 0,3. Определить вероятность того, что пять читателей подряд возьмут книги или только по технике, или только по математике, если каждый из них берет только одну книгу. (Ответ:p = 0,17) 7.4. Событие В наступает в том случае, если событие A появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события В, если вероятность появления события A при одном опыте равна 0,3 и произведено: а) пять независимых опытов; б) семь независимых опытов. (Ответ:а) p = 0,163; б) р = 0,353) 7.5. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие A происходит с вероятностью 0,3. Событие В наступает с вероятностью, равной 1, если событие A произошло не менее двух раз; не может наступить, если событие A не имело места, и наступает с вероятностью 0,6, если событие A имело место один раз. Определить вероятность появления события В. (Ответ: p = ) 7.6. По мишени в тире произведено 200 независимых выстрелов при одинаковых условиях, которые дали 116 попаданий. Определить, какое значение вероятности попадания на один выстрел более вероятно: или, если до опыта обе гипотезы равновероятны и единственно возможны. (Ответ: Вероятнее первая гипотеза) 7.7. Вероятность хотя бы одного появления события при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события A при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова? (Ответ: p = 0,2) 7.8. Вероятность появления некоторого события в каждом из восемнадцати независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления этого события по крайней мере три раза. (Ответ:p = 0,73) 7.9. Игра состоит в набрасывании колец на колышек. Игрок получает 6 колец и бросает кольца до первого попадания. Найти вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется неизрасходованным, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,1. (Ответ:p = ) 7.10. Определить вероятность получения не менее 28 очков при трех выстрелах из спортивного пистолета по мишени с максимальным числом очков, равным 10, если вероятность получения 30 очков равна 0,008. Известно, что при одном выстреле вероятность получения восьми очков равна 0,15, а менее восьми очков — 0,4. (Ответ:p = ) 7.11. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) у обоих будет равное количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго. (Ответ:а) p = 0,321; б) р = 0,243) 7.12. Для прикуривания гражданин пользовался двумя коробками спичек, доставая наудачу ту или иную коробку, Через некоторое время он обнаружил, что одна коробка пуста. Какова вероятность, что во второй коробке при этом k спичек, если вначале в каждой коробке было по n спичек? (Задача Банаха). (Ответ: p = ) 7.13. Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0,7, а в девятку — 0,3. Определить вероятность того, что данный стрелок при трех выстрелах наберет не менее 29 очков. (Ответ:p = 0,784) 7.14. Вероятность возникновения опасной для прибора перегрузки в каждом опыте равна 0,4. Определить вероятность отказа прибора в серии из трех независимых опытов, если вероятности отказа прибора при одной, двух и трех опасных перегрузках соответственно равны 0,2; 0,5 и 0,8. (Ответ:p = 0,2816) 7.15. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,9 получить не меньше трех отказов? (Ответ:Должно быть ) 7.16. Охотник стреляет в лося с расстояния 100 м и попадает в него с вероятностью 0,5. Если при первом выстреле попадания нет, то охотник стреляет второй раз, но с расстояния 150 м. Если нет попадания и в этом случае, то охотник стреляет третий раз, причем в момент выстрела расстояние до лося равно 200 м. Считая, что вероятность попадания обратно пропорциональна квадрату расстояния, определить вероятность попадания в лося. (Ответ: p = ) 7.17. Вероятность попадания в десятку при одном выстреле p = 0,2. Сколько нужно произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попасть в десятку хотя бы один раз? (Ответ:) |