Теория вероятностей методичка. Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)
 Скачать 3.28 Mb.
|
Занятие 11. Закон Пуассона.111.1. Краткая теоретическая частьЗаконом распределения Пуассона называется ряд распределения случайной величины Xвида , где . Законом Пуассона может быть приближенно заменено биномиальное распределение, когда вероятность рпоявления события Ав каждом отдельном опыте мала, а число ппроизводимых опытов велико. В этом случае имеет место приближенное равенство , где . 211.2. Тест
а) только дискретные случайные величины б) только непрерывные случайные величины в) и дискретные, и непрерывные случайные величины
а) Да б) Нет
а) б) в) г) д)
а) равны нулю б) равны между собой в) равны параметру Пуассона 311.3. Решение типовых задачПример 11.1. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента втечение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и не менее двух электроэлементов за год? Решение. Считая случайное число Xотказавших элементов подчиняющимся закону Пуассона , где , получим: 1) вероятность отказа ровно двух элементов ; 2) вероятность отказа не менее двух элементов . Пример 11.2. При разрыве баллона в процессе испытания на прочность образовалось 100 осколков, распределившихся равномерно в «конусе разлета», т. е. в области, ограниченной двумя коническими поверхностями с углами 30° и 60° (см. рис.). Найти математическое ожидание и дисперсию числа осколков, приходящихся на 1 м2части поверхности сферы, находящейся внутри конуса разлета, если радиус сферы 50 м, а центр ее совпадает с точкой разрыва. Решение. Пересечем конус разлета осколков сферой радиуса 50 м и определим математическое ожидание числа осколков, приходящихся на единицу площади поверхности шарового пояса, образовавшегося в результате пересечения конуса разлета со сферой. Обозначим через S площадь поверхности шарового пояса: м2 Так как общее число осколков N=100, то математическое ожидание числа их а, приходящегося на единицу площади поверхности шарового пояса, будет осколка. Вероятность попадания данного осколка в данную площадку м2 мала(она равна , а направления полета осколков взаимно независимы; поэтому можно считать, что случайное число осколков X, приходящееся на 1 м2 поверхности сферы, распределено по закону Пуассона и, следовательно, имеет место равенство . 411.4. Задачи для самостоятельной работы11.1. Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 10000 часов работы равно 10. Определить вероятность отказа радиоаппаратуры за 100 часов работы. (Ответ: ) 11.2. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 4 абонента? (Ответ: ) 11.3. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна р = 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов? (Ответ: ) 11.4. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 сек, в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова? (Ответ: ) 11.5. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытания. Сравнить результаты расчетов, полученных с использованием распределения Пуассона и с использованием биномиального распределения. В последнем случае расчет производить с помощью семизначных таблиц логарифмов. (Ответ: 1) 0,95958; 2) 0,95963) 11.6. За рассматриваемый период времени среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента, равно 8. Какова вероятность, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4? (Ответ: 0,9) 11.7. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%. (Ответ: 0,143) 11.8. Корректура в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероятность того, что на странице не меньше трех опечаток. (Ответ: ) 11.9. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 сек, испускало в среднем 3,87 -частицы. Найти вероятность того, что за 1 сек это вещество испустит хотя бы одну -частицу. (Ответ: 0,4) 11.10. Определить асимметрию случайной величины, распределенной по закону Пуассона. (Асимметрией называется отношение ). (Ответ: ) 11.11. В аппаратурный отсек космической ракеты за время ее полета попадает элементарных частиц с вероятностью . Условная вероятность для каждой из них попасть при этом в уязвимый блок равна р. Найти вероятность попадания в блок: а) ровно kчастиц; б) хотя бы одной частицы. (Ответ: а) ; б) ) 11.12. Определить дисперсию числа атомов радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени, если даны масса вещества М, период полураспада , атомный вес вещества А, число атомов в грамм-атоме . Рассеиванием и поглощением частиц пренебречь. Число Авогадро N0 =— число атомов в грамм-атоме, т. е. в количестве вещества, вес которого в граммах равен атомному весу. Периодом полураспада вещества называется время, в течение которого масса радиоактивного вещества уменьшается в среднем вдвое. (Ответ: . Составить дифференциальное уравнение для среднего числа частиц в момент времени . Приравнять среднее число частиц половине первоначального. Полученное в результате этого уравнение дает возможность найти вероятность распада данной частицы; умножая ее на число частиц, получим ) 11.13. Определить вероятность того, что в экран площадью см2, поставленный на расстоянии r=5 смперпендикулярно потоку от -радиоактивного вещества, попадает в течение секунды: а) ровно десять -частиц; б) не менее двух -частиц, если период полураспада вещества лет, масса вещества М— 0,1 г, атомный вес вещества А= 238. Рассеиванием и поглощением частиц пренебречь. Число Авогадро N0 = — число атомов в грамм-атоме, т. е. в количестве вещества, вес которого в граммах равен атомному весу. Периодом полураспада вещества называется время, в течение которого масса радиоактивного вещества уменьшается в среднем вдвое. (Ответ: а) ; б) , где ) 11.14. Доказать, что полиномиальное распределение , где , а , можно аппроксимировать функцией , где , если все вероятности , за исключением ,малы, а велико. (Указание: Представить в виде: , где . Так как и конечны, то ) |