Теория вероятностей методичка. Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)
 Скачать 3.28 Mb.
|
Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.110.1. Краткая теоретическая частьМатематическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей плотность вероятности, вычисляются по формулам , . Математические ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин обладают такими же свойствами, что и аналогичные вероятностные характеристики дискретных случайных величин. Среднее квадратическое отклонение определяется формулой . Для симметричного закона распределения характеристикой рассеивания случайной величины может служить срединное отклонение Е, определяемое из условия . Начальный момент k-ro порядка mk и центральный момент k-ro порядка вычисляются по формулам , Для существования моментов нечетного порядка необходима абсолютная сходимость соответствующих интегралов. 210.2. Тест
а) являются вероятностными характеристиками, не имеющими ничего общего с аналогичными характеристиками дискретных случайных величин б) обладают такими же свойствами, что и аналогичные вероятностные характеристики дискретных случайных величин в) как и в случае дискретных случайных величин, определяют положение реализации случайной величины на числовой прямой и рассеянье случайной величины соответственно 2. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины X, имеющей плотность вероятности, вычисляются по формулам а) б) , . в) г)
а) дискретных случайных величин б) непрерывных случайных величин в) и дискретных, и непрерывных случайных величин
а) , где - математическое ожидание , - возможные значения случайной величины , - соответствующие им вероятности, - математическое ожидание б) , где - математическое ожидание , - возможные значения случайной величины , - соответствующие им вероятности, - математическое ожидание в) , где - математическое ожидание случайной величины , - плотность вероятности случайной величины г) , где - математическое ожидание случайной величины , - плотность вероятности случайной величины 310.3. Решение типовых задачПример 10.1. Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля имеет вид (закон Рэлея) . Определить: а) математическое ожидание М[X]; б) дисперсию D[Х] и среднее квадратическое отклонение ; в) центральные моменты третьего и четвертого порядков и . Решение. Вычисление моментов сводится к вычислению интегралов вида целое), которые равны: при n четном , где , и при n нечетном . Математическое ожидание случайной амплитуды боковой качки равно . Произведя замену переменных , получим . б) Так как , то . в) , где . Следовательно, , , где Следовательно, . Пример 10.2. Найти срединное отклонение случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид (распределение Лапласа) . Решение. Так как плотность вероятности симметрична относительно нуля, то . Срединное отклонение Е вычисляется по формуле . Отсюда . 410.4. Задачи для самостоятельной работы10.1. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид (закон равномерного распределения) Определить: а) ; б) ; в) найти связь между средним квадратическим и срединным отклонениями случайной величины Х. (Ответ: а) ; б) в) ) 10.2. Функция распределения случайной величины Х имеет вид (закон арксинуса) Определить постоянные a и b. Найти и . (Ответ: ) 10.3. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, если плотность вероятности (Ответ: ) 10.4. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид (закон арксинуса) . Определить дисперсию и срединное отклонение. (Ответ: ) 10.5. Плотность вероятности случайных амплитуд А боковой качки корабля определяется формулой (закон Рэлея) , где - дисперсия угла крена. Одинаково ли часто встречаются амплитуды, меньшие и большие средней? (Ответ: ; ) 10.6. Скорость молекул газа имеет плотность вероятности (закон Максвелла) . Найти математическое ожидание и дисперсию скорости молекул, а также величину Апри заданном h. (Ответ: ) 10.7. Плотность вероятности случайной величины Xзадана в виде Определить и . (Ответ: ) 10.8. Функция распределения случайной величины Xимеет вид Найти М[Х] и D[X]. (Ответ: ) 10.9. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид (распределение Лапласа): . (Ответ: ) 10.10. Случайная величина Xимеет плотность вероятности (гамма-распределение) Определить параметр А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. (Ответ: ) 10.11. Случайная величина Xимеет плотность вероятности (бета-распределение) Определить параметр А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. (Ответ: ) 10.12. Случайная величина Xимеет плотность вероятности , где — целое положительное число, большее 1. Определить постоянную А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. (Ответ: Указание: Для вычисления интеграла следует воспользоваться подстановкой , приводящей к бета-функции, а последнюю выразить через гамма-функцию) 10.13. Плотность вероятности неотрицательной случайной величины Xимеет вид (-распределение) , где . Определить А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. (Ответ: ) 10.14. Доказать, что при выполнении условий и для математического ожидания случайной величины справедливо равенство . (Указание: Воспользоваться соотношением ) 10.15. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска tзадается формулой . Определить среднее время поиска, необходимое для обнаружения судна. (Ответ: Указание: Обратить внимание на то, что является функцией распределения случайного времени поисков , необходимого для обнаружения судна) 10.16. Определить математическое ожидание m(t) массы радиоактивного вещества спустя время t, если в начальный момент масса вещества была , а вероятность распада ядра любого атома в единицу времени постоянна и равна р. (Ответ: Указание: Учесть, что вероятность распада любого фиксированного атома за промежуток времени равна и составить дифференциальное уравнение для m(t)) 10.17. Определить время полураспада радиоактивного вещества, если вероятность распада ядра любого атома в единицу времени постоянна и равна р. (Время полураспада Тпопределяется моментом, когда масса радиоактивного вещества в среднем уменьшается вдвое.) (Ответ: Указание: Воспользоваться решением задачи 10.16) 10.18. Обработка результатов одной переписи показала, что плотность вероятности возраста лиц, занимающихся научной работой, может быть представлена формулой , время в годах, . Определить, во сколько раз число научных работников в возрасте ниже среднего превышает число научных работников в возрасте выше среднего. (Ответ: , то есть научных работников, имеющих возраст меньше среднего (среди научных работников), больше, чем имеющих возраст больше среднего. Средний возраст среди научных работников года) 10.19. Найти для распределения Стьюдента, задаваемого плотностью вероятности , начальные моменты при при . (Ответ: при , Указание: При вычислении интегралов вида произвести замену переменных , приводящей к бета-функции, а последнюю выразить через гамма-функцию) 10.20. Случайная величина Xподчиняется бета-распределению, т. е. имеет плотность вероятности Найти начальный момент k-гoпорядка. (Ответ: ) 10.21. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей в интервале плотность вероятности . (Ответ: ) 10.22. Выразить центральный момент через начальные моменты. (Ответ: , где ) 10.23. Выразить начальный момент через центральные моменты и математическое ожидание . (Ответ: , где ) |