Теория вероятностей методичка. Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)

• Название: Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)
• Анкор: Теория вероятностей методичка.doc
• Дата: 23.04.2017
• Размер: 3.28 Mb.
• Имя файла: Теория вероятностей методичка.doc
• Тип: Реферат; #1387
• страница: 12 из 23

Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей.

110.1. Центральная предельная теорема.

Центральная предельная теорема теории вероятностей представляет собой совокупность предложений, устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения.

Пусть на заданы независимые случайные величины с числовыми характеристиками

(10.1.1)Рассмотрим случайные величины

(10.1.2)и установим условия, при которых распределение случайной величины с возрастанием пстановится сколь угодно близким к нормальному N(0,1), т.е. .

Будем говорить, что последовательность случайных величин удовлетворяет центральной предельной теореме, если .

Заметим, что означает, что при достаточно большом n распределение Y_nстановится близким к нормальному .

В самом деле, пусть . Тогда для любого сколь угодно малого существует , что при выполняется условие

Здесь - функция распределения :Ф(y) - функция распределения .

Положим . Тогда для :

(10.1.3)Поскольку

где –распределение , а - распределение ,то вместо (10.1.3) можно записать:

Случайную величину , очевидно, можно представить в виде

(10.1.4)где - независимые случайные величины с характеристиками

(10.1.5)Если - характеристическая функция , то характеристическая функция случайной величины в силу независимости имеет вид:

(10.1.6)Теперь, учитывая теорему единственности, вопрос о можно свести к установлению сходимости

(10.1.7)

Этот прием будет основным в доказательстве следующей теоремы, дающей достаточное условие для .

210.2. Теорема Ляпунова.

Пусть - независи­мые и одинаково распределенные случайные величины с числовыми характеристиками

(10.2.1)Тогда

(10.2.2)Доказательство. Прежде всего отметим, что выражение вида (10.2.2) совпадает с в выражениях (10.1.2), если считать выполненными условия (10.2.1). Поэтому доказательство должно сводиться к установлению сходимости (10.1.7).

Далее, в выражение (10.2.2) для входят только центрированные составляющие , случайных величин , поэтому доказательство можно проводить, полагая в (10.2.2) , т.е. при условиях

(10.2.3)где - независимые и одинаково распределенные. Поскольку , одинаково распределены, то их характеристические функции совпадают:

(10.2.4)Учитывая независимость , получим следующее выражение характеристической функции случайной величины :

Отсюда следует

(10.2.5)Разлагая в ряд по степеням правую часть уравнения (10.2.5) при достаточно больших пполучим с учетом теоремы о дифференцируемости характеристических функций

Отсюда найдем

В силу условия и формулы получим

Теперь можно записать

Отсюда следует требуемое

К числу простейших форм центральной предельной теоремы относится также теорема Лапласа.

310.3. Теорема Лапласа.

Если - число появлений случайного события Ав пнезависимых повторных испытаниях с исходами , вероятности которых , то

(10.3.1)Доказательство. Пусть - число появлений события Ав i-м независимом повторном испытании в серии из писпытаний. Очевидно это - дискретная случайная величина с рядом распределения:

01qргде .

Очевидно, существуют

(10.3.2)В силу независимости испытаний случайные величины можно считать независимыми.

Таким образом, для рассматриваемых здесь случайных величин выполняются все условия теоремы Ляпунова.

Следовательно, имеет место соотношение (10.2.2).

Случайную величину в выражении (10.2.2) в рассматриваемом случае можно представить в виде

(10.3.3)где

при условии независимости случайных величин .

Таким образом, доказано, что если выполнены условия теоремы Лапласа, то

Отсюда, учитывая определение стандартного нормального закона , находим, что соотношение (10.3.1) справедливо.

2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа.

Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности.

11.1. Краткая теоретическая часть.

Классическое определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию равновероятности (равновозможности) событий, которое считается основным и не подлежит формальному определению. Для примера: при бросании кубика, который имеет точную форму куба и изготовлен из вполне однородного материала, равновероятными событиями будут выпадения какого-нибудь определенного числа очков (1,2,3,4,5,6), обозначенного на гранях этого куба, поскольку в силу наличия симметрии ни одна из граней не имеет объективного преимущества перед другими.

В общем случае рассмотрим какую-либо группу G, состоящую из n попарно несовместимых равновозможных событий (назовем их элементарными событиями): .

Образуем теперь систему F, состоящую из невозможного события V, всех событий E_k группы G и всех событий А,B,С… которые мо­гут быть подразделены на частные случаи, входящие в состав группы G.

Например, если группа G состоит из трех событий , то в систему F входят события V, E₁,E₂,E₃,E₁+E₂, E₂+E₃, E₁+E₃,U=E₁+E₂+E₃. и т.д.

Легко установить, что система F есть поле событий. В самом деле, очевидно, что сумма, разность и произведение событий из F входят в F; невозможное событие V входит в F по определению, а достоверное событие U входит в F, так как оно представляется в виде

Классическое определение вероятности дается для событий системы F и может быть сформулировано так:

Если событие А подразделяется на т частных случаев, входящих в полную группу из n попарно несовместимых и равновозможных событий, то вероятность Р(A) события А равна

Например, при однократном бросании игральной кости полная группа попарно несовместимых и равновероятных событий состоит из событий , которые состоят соответственно в выпадении 1,2,3,4,5,6 очков. Событие , состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется на три частных случая, входящих в состав полной группы несовместимых и равновероятных событий. Поэтому вероятность события С равна .

Очевидно также, что в силу принятого определения

и т. д.

В теории вероятностей широко используется следующая термино­логия, к которой мы часто впоследствии будем обращаться. Представим себе, что для выяснения вопроса, произойдет или не произойдет событие А (например, выпадение числа очков, кратного трем), необходимо произвести некоторое испытание (т. е. осуществить комплекс условий), которое дало бы ответ на поставленный вопрос (в нашем примере требуется бросить игральную кость). Полная группа попарно несовместимых и равновероятных событий, которые могут произойти при таком испытании, называется полной группой возможных результатов испытания. Те из возможных результатов испытания, на которые подразделяется событие А, называются результатами испытания, благоприятствующими А. Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что вероятность Р(A) события А равняется отношению числа возможных результатов испытания, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов испытания.

21.2. Тест.

1. Какие из приведенных событий не являются элементарными? Укажите два события.

а) Выпадение определенной грани при подбрасывании игральной кости

б) Извлечение белого шара из урны, содержащей белые и черные шары

в) Выпадение четного числа очков при подбрасывании кубика

г) Извлечение карты определенной масти из колоды

д) Попадание баскетболистом в кольцо5
2. Какие из приведенных событий являются равновозможными? Укажите три события.

а) Выпадение четного и нечетного числа очков при подбрасывании кубика

б) Попадание охотником в медведя или зайца

в) Прием на руководящую должность женщины и мужчины по Конституции РФ

г) Выпадение герба и цифры при подбрасывании монетки

д) Успешная сдача экзамена по теории вероятностей студентом-отличником и студентом-троечником

е) Извлечение внучкой из корзинки бабушки наудачу яблока и груши, если в ней лежал 1 кг яблок и 2 кг груш
3. Группу событий называют полной, если:

а) ни одно из них не произойдет в ходе опыта

б) ровно одно из них произойдет в ходе опыта

в) по крайней мере одно из них произойдет в ходе опыта

г) каждое из них произойдет в ходе опыта
4. В каких случаях применимо классическое определение вероятности?

а) Если результат опыта можно представить как сумму несовместных элементарных событий

б) Если результат опыта можно представить как сумму равновозможных элементарных событий

в) Если результат опыта можно представить как сумму противоположных элементарных событий

г) Если результат опыта можно представить как полную группу попарно несовместных и равновозможных элементарных событий

д) Если результат опыта можно представить как полную группу равновозможных элементарных событий
5. Пусть n – число всех возможных исходов испытания, а m - число благоприятствующих исходов появлению события А исходов. Какой вид будет иметь формула непосредственного подсчета вероятности события А?

а) P =

б) P =

в) P =

г) P =

д) P =
6. Можно ли использовать классическое определение вероятности, если число исходов испытания бесконечно?

а) Да

б) Нет

31.3. Решение типовых задач.

Пример 1.1. Монета брошена 2 раза. Определить вероятность того, что хотя бы 1 раз появится «герб».
Решение.

Шаг 1. Определение события, вероятность которого требуется вычислить.

Если какая-то проблема взята из реальной жизни, то самое трудное и самое важное – сформулировать эту задачу на математическом языке. Основным этапом, от которого напрямую будет зависеть дальнейшее решение задачи, является определение события, вероятность которого требуется вычислить. Неправильно определить событие значит неправильно решить задачу.

Укажем событие, вероятность которого требуется посчитать. Для этого уточним, что тот факт, что хотя бы 1 раз при двух подбрасываниях монеты появится «герб» означает, что «герб» появится 1 раз или 2 раза.

Таким образом, событиеАсостоитвтом, чтоприподбрасываниимонетки «герб» появится 1 разили 2 раза.

Определим подход, который целесообразнее применить для подсчета вероятности названного события. Задачу можно решать непосредственным подсчетом вероятности данного события А или методом определения вероятности события, противоположного А.

Конечно, разумнее вычислять вероятность противоположного А события, которое состоит в том, что «герб» не появится ни разу, поскольку оно является элементарным. Событие А же представляет собой сумму двух элементарных событий, а именно: события В, состоящего в том, что «герб» появится 1 раз, и события С, состоящего в том, что «герб» появится 2 раза при подбрасывании монетки.

Если мы вычислим вероятность противоположного события, то вероятность события А определим из соображения, что сумма вероятностей события А и противоположного с А события равна 1.
Шаг 2. Определение числа возможных исходов испытания.

При одном подбрасывании монетки число исходов равно 2, тогда при двух подбрасываниях число всех возможных исходов составляет 4.

Значит, n=4.
Шаг 3. Определение числа исходов, благоприятствующих событию, противоположному А.

Событие, противоположное А, состоит в том, что «герб» не появится ни разу, то есть при обоих подбрасываниях монетки выпадет «решка».

Количество исходов, благоприятствующих этому событию, очевидно, равно 1.

Итак, m=1.
Шаг 4. Применение формулы непосредственного подсчета вероятности.

Воспользовавшись формулой непосредственного подсчета вероятности, получим, что вероятность события, противоположного событию А, равна: m/n=ј.

Значит, искомая вероятность события А равна: Р(А) = 1 – ј = ѕ.
Пример 1.2.Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Получен­ные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь две окрашенные стороны.
Решение.

Введем событие А, состоящее в том, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь две окрашенные стороны. Всего кубиков n =1000. Куб имеет 12 ре­бер, на каждом из которых по 8 кубиков с двумя окрашен­ными сторонами. Поэтому m= 12*8 =96, P(A)== =0,096.
Пример 1.3.В партии из n изделий k бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки m изделий ровно l окажутся бракованными.
Решение.

Введем событие А, состоящее в том, что среди выбранных наудачу для проверки m изделий ровно l окажутся бракованными. Число возможных способов взять m изделий из n равно . Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа k бракованных изделий взято l (это можно сделать способами), а остальные m–l- изделий не бракованные, т. е. они взяты из общего числа n - k (количество способов равно ). Поэтому число благо­приятствующих случаев равно . Искомая вероятность будет P(A)=
Пример 1.4.Из полного набора костей домино наудачу берутся пять костей. Найти вероятность p того, что среди них будет хотя бы одна с шестеркой.
Решение.

Введем событие А, состоящее в том, что среди них будет хотя бы одна с шестеркой. Найдем вероятность q- противоположного события. Тогда p=1 - q. Вероятность того, что все взятые пять костей не содержат шестерки (см. пример 2.2), равна . Поэтому P(A)=.

41.4. Задачи для самостоятельной работы.

1.1. Лотерея выпущена на общую сумму n рублей. Цена одного билета r рублей. Ценные выигрыши падают на m билетов. Определить вероятность ценного выигрыша на один билет.

(Ответ: p =)
1.2. Случайно выбранная кость домино оказалась не дублем. Найти вероятность того, что вторую также взятую наудачу кость домино можно приставить к первой.

(Ответ: p =)
1.3. В колоде 36 карт четырех мастей. После извлечения и возвращения одной карты колода перемешивается и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что обе извлеченные карты одной масти.

(Ответ: p = 0.25)
1.4. Буквенный замок содержит на общей оси пять дисков, каждый из которых разделен на шесть секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.

(Ответ: p = = 0.00013)
1.5. В кошельке лежат три монеты достоинством по 20 коп. и семь монет по 3 коп. Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая монета, оказавшаяся монетой в 20 коп. Определить вероятность того, что и первая извлеченная монета имеет достоинство в 20 коп.

(Ответ: p =)
1.6. Из партии деталей, среди которых n доброкачест­венных и m бракованных, для контроля наудачу взято s штук. При контроле оказалось, что первые k из s деталей доброкачественны. Определить вероятность того, что следующая деталь будет доброкачественной.

(Ответ: p =)
1.7. Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом.

(Ответ: p = )
1.8. Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов:

а) один выигрышный;

б) оба выигрышных;

в) хотя бы один выигрышный.

(Ответ: а) p =; б) p =; в) p =)
1.9. Для уменьшения общего количества игр 2n команд-спортсменов по жребию разбиваются на две подгруппы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся:

а) в разных подгруппах;

б) в одной подгруппе.

(Ответ: а) p = ; б) p =)
1.10. Из колоды карт (52 карты) наудачу извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.

(Ответ: p = 0.0029)
1.11. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются три карты. Определить вероятность того, что сумма очков этих карт равна 21, если валет составляет два очка, дама—три, король—четыре, туз—одиннадцать, а остальные карты— соответственно шесть, семь, восемь, девять и десять очков.

(Ответ: p = 0.079)
1.12. Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что:

а) хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость;

б) все три билета стоят семь рублей.

(Ответ: а) p = 0,75; б) p =)