Теория вероятностей методичка. Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)

• Название: Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)
• Анкор: Теория вероятностей методичка.doc
• Дата: 23.04.2017
• Размер: 3.28 Mb.
• Имя файла: Теория вероятностей методичка.doc
• Тип: Реферат; #1387
• страница: 9 из 23

Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках.

17.1. Основные теоремы о математическом ожидании.

Мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках случайных величин, применимый в широком круге условий.

Теорема 1. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой величине

(7.1.1)Доказать условие (7.1.1) можно, рассматривая неслучайную величину скак частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:

Теорема 2. Неслучайнуювеличинуможновыноситьзазнакматематическогоожидания

Если с— неслучайная величина, а X— случайная, то

(7.1.2)Доказательство.

а) Для дискретных случайных величин имеем:

6) Для непрерывных величин

Теорема 3. Математическоеожиданиесуммыдвухслучайныхвеличинравносуммеихматематическихожиданий.

Докажем, что для любых двух случайных величин Xи Y

(7.1.3)

Это свойство известно под названием теоремысложенияматематическихожиданий.

Доказательство.

а) Пусть (X,Y)— система дискретных случайных величин. При­меним к сумме случайных величин общую формулу для ма­тематического ожидания функции двух аргументов:

Но представляет собой не что иное, как полную вероят­ность того, что величина Xпримет значение x_i:

следовательно,

Аналогично докажем, что

и теорема доказана.

б) Пусть (X,Y)— система непрерывных случайных величин.

(7.1.4)Преобразуем первый из интегралов (7.1.4):

аналогично

и теорема доказана.

Следует специально отметить, что теорема сложения математи­ческих ожиданий справедлива для любых случайных вели­чин — как зависимых, так и независимых.

Теорема сложения математических ожиданий обобщается на про­извольное число слагаемых:

(7.1.5)т. е. математическоеожиданиесуммынесколькихслучайныхвеличинравносуммеихматематическихожиданий.

Для доказательства достаточно применить метод полной ин­дукции.

Теорема4. Математическоеожиданиелинейнойкомбинациислучайныхвеличинравнотойжелинейнойкомбинацииотматематическихожиданийаргументов.

Рассмотрим линейную комбинации нескольких случайных аргументов Х₁, X₂,...,X_n:

(7.1.6)где a_i ,b— неслучайные коэффициенты. Докажем, что

(7.1.7)Доказательство. Пользуясь теоремой сложения математических ожиданий и правилом вынесения неслучайной величины за знак математического ожидания, получим:

(7.1.8)Теорема 5. Математическоеожиданиепроизведениядвухслучайныхвеличинравнопроизведениюихматематическихожиданийплюскорреляцион­ныймомент:

(7.1.9)Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:

(7.1.10)Здесь

Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:

что, очевидно, равносильно формуле (7.1.9). Если случайные величины (X, Y) некоррелированные (K_xy=0), то формула (7.1.10) принимает вид:

(7.1.11)т.е. математическоеожиданиепроизведениядвухнекоррелированныхслучайныхвеличинравнопроизведениюихматематическихожиданий.

Формула (7.1.10) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:

(7.1.12)Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента.

Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей для независимых случайных величин и имеет вид:

(7.1.13)т.е. математическоеожиданиепроизведениянезависимыхслучайныхвеличинравнопроизведениюихматематическихожиданий.

Это положение легко доказывается методом полной индукции.

27.2. Теоремы о дисперсии случайной величины.

Теорема 6. Неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.

Если с— неслучайная величина, а X— случайная, то

(7.2.1)Доказательство. По определению дисперсии

Следствие

(7.2.2)т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднеквадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (7.2.1) и учиты­вая, что среднеквадратическое положительная величина.

Теорема 7. Дисперсия неслучайной величины равна нулю

Если с — неслучайная величина, то

, тогда

(7.2.3)

Теорема 8.Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их диспер­сий плюс удвоенный корреляционный момент:

(7.2.4)Доказательство. Обозначим

(7.2.5)По теореме сложения математических ожиданий

(7.2.6)Перейдем от случайных величин X,Y,Zк соответствующим центрированным величинам X,Y,Z. Вычитая почленно из равенства (7.2.5) равенство (7.2.6), имеем:

По определению дисперсии

что и требовалось доказать.

Формула (7.2.4) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:

(7.2.7)

где Кij— корреляционный момент величин X_i, X_j, знак i<j под суммой обозначает, что суммирование распространяется на все воз­можные попарные сочетания случайных величин (X₁ ,Х₂.....,Х_n).

Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.

Формула (7.2.7) может быть записана еще в другом виде:

(7.2.8)где двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы величин (Х₁,Х₂,....Х_n), содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.

Если все случайные величины (Х₁,Х₂,...,Х_п), входящие в систему, некоррелированы (т. е. Кij = 0 при ij). формула (7.2.7) принимает вид:

(7.2.9)т.е. дисперсиясуммынекоррелированныхслучайныхвеличинравнасуммедисперсийслагаемых.

Это положение известно под названием теоремысложениядисперсий.

Теорема 9. Дисперсия линейной конбинации случайных величин определяется соотношением

(7.2.10)где К_ij— корреляционный момент величин X_i, X_j.

Доказательство. Введем обозначение:

Тогда

(7.2.11)Применяя к правой части выражения (7.2.11) формулу (7.2.7) для дисперсии суммы и учитывая, что D[b] = 0, получим:

(7.2.12)где — корреляционный момент величин Y_i, Y_j.

Вычислим этот момент. Имеем:

аналогично

Отсюда

Подставляя это выражение в (7.2.12), приходим к формуле (7.2.10).

В частном случае, когда все величины (Х₁,Х₂,...,Х_n) некоррелированные, формула (7.2.10) принимает вид:

(7.2.13)т.е. дисперсиялинейнойфункциинекоррелированныхслучайныхвеличинравнасуммепроизведенийквадратовкоэффициен­товнадисперсиисоответствующихаргументов).

Теорема 10. Дисперсия произведения независимых случайных величин определяется соотношением

(7.2.14)Доказательство. Обозначим XY=Z. По определению дисперсии

Так как величины X, Yнезависимы, m_z = m_xm_yи

При независимых X, Увеличины Х², Y² тоже независимы следовательно,

и

(7.2.15)Но М[X²]есть не что иное, как второй начальный момент величины X, и, следовательно, выражается через дисперсию:

(7.2.16)аналогично

(7.2.17)Подставляя выражения (7.2.16) и (7.2.17) в формулу (7.2.15) и приводя подобные члены, приходим к формуле (7.2.14).

В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (7.2.14) принимает вид:

(7.2.18)т.е. дисперсияпроизведениянезависимыхцентрированныхслучайныхвеличинравнапроизведениюихдисперсий.

37.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин.

Теорема. ДлялинейнойнезависимостидвухслучайныхвеличинXиYнеобходимоидостаточно, чтобы .

Необходимость. Пусть , тогда . Определим

(7.3.1)откуда

(7.3.2)Подсчитаем коэффициент корреляции , получим

(7.3.3)Достаточность.

Пусть . Для определенности положим

Введем в рассмотрение случайную величину ; ; определим дисперсию случайной величины Z

что и требовалось доказать.