Теория вероятностей методичка. Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)

• Название: Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)
• Анкор: Теория вероятностей методичка.doc
• Дата: 23.04.2017
• Размер: 3.28 Mb.
• Имя файла: Теория вероятностей методичка.doc
• Тип: Реферат; #1387
• страница: 8 из 23

Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов.

16.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.

Начнем с рассмотрения наиболее простой задачи о законе распределения функции одного случайного аргумента. Так как для практики наибольшее значение имеют непрерывные случайные величины, будем решать задачу именно для них.

Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью рас­пределения f(x). Другая случайная величина Y связана с нею функ­циональной зависимостью: .

Требуется найти плотность распределения величины Y. Рассмотрим участок оси абсцисс , на котором лежат все возможные значения величины X, т. е. .

Способ решения поставленной задачи зависит от поведения функ­ции на участке : является ли она монотонной или нет.

В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда функция на участке монотонна. При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.

1. Функция на участке монотонно возрастает (рис. 6.1.1). Когда величина X принимает различные значения на

участке , случайная точка (X, Y) перемещается только по кривой ; ордината этой случайной точки полностью опре­деляется ее абсциссой.

Обозначим плотность распределения величины Y. Для того чтобы определить , найдем сначала функцию распределения величины Y: .

Проведем прямую АВ, парал­лельную оси абсцисс на расстоянии yот нее(рис. 6.1.1). Чтобы выполнялось условие , случайная точка (X,Y) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ; для этого необходимо и достаточно, чтобы случайная величина X попала на участок оси абсцисс от a до x, где x - абсцисса точки пересечения кривой и прямой АВ. Следовательно,

(6.1.1)Так, как монотонная на участке , то существует обратная однозначная функция . Тогда

(6.1.2)Дифференцируя интеграл (6.1.2) по переменной у, входящей в верх­ний предел, получим:

(6.1.3)2. Функция на участке монотонно убывает (рис. 6.1.2). В этом случае

(6.1.4)откуда

(6.1.5)Сравнивая формулы (6.1.3) и (6.1.5), замечаем, что они могут быть объединены в одну:

(6.1.6)

Действительно, когда возрастает, ее производная (а значит, и ) положительна. При убывающей функции производная отрица­тельна, но зато перед ней в формуле (6.1.5) стоит минус. Следо­вательно, формула (6.1.6), в которой производная берется по модулю, верна в обоих случаях.

3. Рассмотрим случай когда функция на участке возможных значений аргумента не монотонна (рис. 6.1.3).

Найдем функцию распределения G(y) величины Y. Для этого снова проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс, на расстоянии у от нее и выделим те участки кривой , на которых выпол­няется условие. Пусть этим участкам соответствуют участки оси абсцисс: .

Событие равносильно попаданию случайной величины X на один из участков - безразлично, на какой именно. Поэтому

(6.1.7)Таким образом, для функции распределения величины имеем формулу:

(6.1.8)Границы интервалов зависят от у и при заданном конкрет­ном виде функции могут быть выражены как явные функ­ции у. Дифференцируя G(y) по величине у, входящей в пределы интегралов, получим плотность распределения величины Y:

(6.1.9)Пример. Величина Xподчинена закону равномерной плотности на участке отдо .

Найти закон распределения величины .

Решение. Строим график функции (рис. 6.1.4). Очевидно , , и в интервале функция немонотонна. Применяя формулу (6.1.8), имеем:

Выразим пределы и через у: ; . Тогда

.(6.1.10)Чтобы найти плотность g(у) продифференцируем это выражение по переменной у, входящей в пределы интегралов, получим:

Имея в виду, что , получим:

(6.1.11)Указывая для Yзакон распределения (6.1.11), следует оговорить, что он действителен лишь в пределах от 0 до 1, т.е. в тех пределах, в которых изменяется при аргументе X, заключенном в интервале от , до . Вне этих пределов плотность g(у)равна нулю.

График функции g(у) дан на рис.6.1.5. При у=1 кривая g(у) имеет ветвь, уходящую на бесконечность.

26.2. Закон распределения функции двух случайных величин.

Изложим общий метод решения задачи для наиболее простого случая функции двух аргументов.

Имеется система двух непрерывных случайных ве­личин (X,Y) с плотностью распределения f(x,y). Слу­чайная величина Z связана с X и Y функциональной зависимостью:

Требуется найти закон распределения величины Z.

Для решения задачи вос­пользуемся геометрической интерпретацией. Функия изобразится уже не кривой, а поверхностью (рис. 6.2.1).

Найдем функцию распределения величины Z:

(6.2.1)Проведем плоскость Q, параллельную плоскости хОу, на расстоя­нии z от нее. Эта плоскость пересечет поверхность по некоторой кривой К. Спроектируем кривую К на плоскость хОу. Эта проекция, уравнение которой , разделит плоскость хОу на две области; для одной из них высота поверхности над пло­скостью хОу будет меньше, а для другой — больше z. Обозначим D ту область, для которой эта высота меньше z. Чтобы выполнялось неравенство (6.2.1), случайная точка (X,Y) очевидно, должна по­пасть в область D; следовательно,

(6.2.2)В выражение (6.2.2) величина z входит неявно, через пределы интегрирования.

Дифференцируя G(z) по z, получим плотность распределения величины Z:

(6.2.3)Зная конкретный вид функции , можно выразить пре­делы интегрирования через z и написать выражение g(z) в явном виде.

36.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.

Воспользуемся изложенным выше общим методом для решения одной задачи, а именно для нахождения закона распределения суммы двух случайных величин. Имеется система двух случайных величин (X,Y) с плотностью распределения f(x,у). Рассмотрим сумму случайных величин X и Y: и найдем закон распределения величины Z. Для этого построим на плоскости хОу линию, уравнение которой (рис. 6.3.1). Это — прямая, отсекающая на осях отрезки, равные z. Прямая делит плоскость хОу на две части; правее и выше ее ; левее и ниже

Область D в данном случае — левая нижняя часть пло­скости хОу, заштрихованная на рис. 6.3.1. Согласно формуле (6.3.2) имеем:

Дифференцируя это выражение по переменной z, входящей в верх­ний предел внутреннего интеграла, получим:

(6.3.1)Это — общая формула для плотности распределения суммы двух случайных величин.

Из соображений симметричности задачи относительно X и Y можно написать другой вариант той же формулы:

(6.3.2)который равносилен первому и может применяться вместо него.

Примеркомпозициинормальныхзаконов. Рассмотрим две независимые случайные величины X и Y, подчи­ненные нормальным законам:

Требуется произвести композицию этих законов, т. е. найти закон распределения величины: .

Применим общую формулу для композиции законов рас­пределения:

(6.3.3)Если раскрыть скобки в показателе степени подынтегральной функции и привести подобные члены, получим:

Подставляя эти выражения в уже встречавшуюся нам формулу

(6.3.4)после преобразований получим:

(6.3.5)а это есть не что иное, как нормальный закон с центром рассеи­вания

(6.3.6)и среднеквадратическим отклонением

(6.3.7)К тому же выводу можно прийти значительно проще с помощью следующих качественных рассуждений.

Не раскрывая скобок и не производя преобразований в подынте­гральной функции (6.3.3), сразу приходим к выводу, что показатель степени есть квадратный трехчлен относительно х вида

где в коэффициент А величина z не входит совсем, в коэффициент В входит в первой степени, а в коэффициент С — в квадрате. Имея это в виду и применяя формулу(6.3.4), приходим к заключению, что g(z) есть показательная функция, показатель степени которой — квадратный трехчлен относительно z, а плотность аспределения; такого вида соответствует нормальному закону. Таким образом, мы; приходим к чисто качественному выводу: закон распределения вели­чины z должен быть нормальным. Чтобы найти параметры этого закона — и — воспользуемся теоремой сложения математических ожиданий и теоремой сложения дисперсий. По теореме сложения математических ожиданий . По теореме сложения дисперсий или откуда следует формула (6.3.7).

Переходя от среднеквадратических отклонений к пропорциональным им вероятным отклонениям, получим: .

Таким образом, мы пришли к следующему правилу: при компо­зиции нормальных законов получается снова нормальный за­кон, причем математические ожидания и дисперсии (или квад­раты вероятных отклонений) суммируются.

Правило композиции нормальных законов может быть обобщено на случай произвольного числа независимых случайных величин.

Если имеется n независимых случайных величин: подчиненных нормальным законам с центрами рассеивания и среднеквадратическими отклонениями ,то величина также подчинена нормальному закону с параметрами

(6.3.8)(6.3.9)Вместо формулы (6.3.9) можно применять равносильную ей формулу:

Если система случайных величин (X, Y) распределена по нормальному закону, но величины X, Y зависимы, то нетрудно доказать, так же как раньше, исходя из общей формулы (6.3.1), что закон распределения величины есть тоже нормальный закон. Центры рассеивания по-прежнему складываются алгебраически, но для среднеквадратических отклонений правило становится более сложным: , где, r — коэффициент корреляции величин X и Y.

При сложении нескольких зависимых случайных величин, подчиненных в своей совокупности нормальному закону, закон распределения суммы также оказывается нормальным с параметрами

(6.3.10)(6.3.11)или в вероятных отклонениях

где — коэффициент корреляции величин X_i, X_j, а суммирование распространяется на все различные попарные комбинации величин .

Мы убедились в весьма важном свойстве нормального закона: при композиции нормальных законов получается снова нормальный закон. Это — так называемое «свойство устойчивости». Закон распределения называется устойчивым, если при композиции двух законов этого типа получается снова закон того же типа. Выше мы показали, что нормальный закон является устойчивым. Свойством устойчивости обладают весьма немногие законы распределения. Закон равномерной плотности неустойчив: при композиции двух законов равномерной плотности на участках от 0 до 1 мы получили закон Симпсона.

Устойчивость нормального закона — одно из существенных условий его широкого распространения на практике. Однако свойством устойчивости, кроме нормального, обладают и некоторые другие законы распределения. Особенностью нор­мального закона является то, что при композиции достаточно боль­шого числа практически произвольных законов распределения суммарный закон оказывается сколь угодно близок к нормальному вне зависимости от того, каковы были законы распределения слагаемых. Это можно проиллюстрировать, например, составляя композицию трех законов равномерной плотности на уча­стках от 0 до 1. Получающийся при этом закон распределения g(z) изображен на рис. 6.3.1. Как видно из чертежа, график функции g(z) весьма напоминает график нормального закона.

46.4. Распределение произведения.

Пусть , где и — скалярные случайные величины с совместной плотностью распределения . Найдем распределение Y.

(6.4.1)

На рис. событие показано штриховкой. Теперь очевидно, что

5(6.4.2)(6.4.3)6.5. Распределение квадрата случайной величины.

Пусть ; X — непрерыная случайная величина с плотностью . Найдем . Если , то и . В том случае, когда получаем:

(6.5.1)(6.5.2)В частном случае, когда , имеем:

(6.5.3)Если при этом , , то

6(6.5.4)6.6. Распределение частного.

Пусть ; X — непрерывная случайная величина с плотностью . Найдем .

(6.6.1)

На рис. 6.6.1 видно, что событие — изображают заштрихованные области. Поэтому

(6.6.2)(6.6.3)Если ; ; независимы, то легко получить:

(6.6.4)Распределение (6.6.4) носит имя Коши. Оказывается, это распределение не имеет математического ожидания и дисперсии.

76.7. Числовые характеристики функций случайных величин.

Рассмотрим следующую задачу: случайная величина Yесть функция нескольких случайных величин ;

(6.7.1)Пусть нам известен закон распределения системы аргументов ;требуется найти числовые характеристики вели­чины Y, в первую очередь—математическое ожидание и дисперсию.

Представим себе, что нам удалось найти закон распределения g(у) величины Y. Тогда задача об определении числовых характеристик становится простой; они находятся по формулам:

(6.7.2)(6.7.3)Однако задача нахождения закона распределения g(y) ве­личины Yчасто оказывается довольно сложной. Для решения поставленной задачи нахождение закона распределения величины Yне нужно: чтобы найти только числовые характеристики величины Y, нет надобности знать ее закон распределения; достаточно знать закон распределения аргументов .

Таким образом, возникает задача определения числовых характе­ристик функций случайных величин, не определяя законов распре­деления этих функций.

Рассмотрим задачу об определении числовых характеристик функ­ции при заданном законе распределения аргументов. Начнем с самого простого случая — функции одного аргумента.

Имеется случайная величина Xс заданным законом распределе­ния; другая случайная величина Yсвязана с Xфункциональной за­висимостью: Y= (Х).

Требуется, не находя закона распределения величины Y, опреде­лить ее математическое ожидание:

(6.7.4)Рассмотрим сначала случай, когда Xесть дискретная случайная величина с рядом распределения:

Табл. 6.7.1

x_iX₁x₂…x_np_iP₁p₂…p_nЗапишем в виде таблицы возможные значения величины Y и вероятности этих значений:

Табл. 6.7.2

( x_i)( x₁)( x₂)…( x_n)p_iP₁P₂…p_nТаблица 6.7.2 не является рядом распре­деления величины Y, так как в общем случае некоторые из значений

(6.7.5)могут совпадать между собой. Для того чтобы от таблицы (6.7.1) перейти к подлинному ряду распределения величины Y, нужно было бы расположить значения (6.7.5) в порядке возрастания, объединить столбцы, соответствую­щие равным между собой значениям Y, и сложить соответствующие вероятности. Математическое ожидание величины Yможно определить по формуле

(6.7.6)Очевидно, величина т_у—М((Х)), определяемая по формуле (6.7.6), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут объединены заранее, а порядок членов изменен.

В формуле (6.7.6) для математического ожидания функции не содержится в явном виде закона распределения самой функции, а содержится только закон распределения аргумента. Таким образом, дляопределенияматематическогоожиданияфункциивовсенетребуетсязнатьзаконраспределенияэтойфункции, адоста­точнознатьзаконраспределенияаргумента.

Заменяя в формуле (6.7.6) сумму интегралом, а вероятность р_i— элементом вероятности, получим аналогичную формулу для непрерыв­ной случайной величины:

(6.7.7)где f(x) — плотность распределения величины X.

Аналогично может быть определено математическое ожидание функции у(Х,Y) от двух случайных аргументов Xи Y. Для дискретных величин

(6.7.8)где —вероятность того, что система (X,Y)примет значения (x_iy_j). Для непрерывных величин

(6.7.9)где f(x, у)— плотность распределения системы (X, Y).

Аналогично определяется математическое ожидание функции от произвольного числа случайных аргументов. Приведем соответствующую формулу только для непрерывных величин:

(6.7.10)где —плотность распределения системы .

Формулы типа (6.7.10) весьма часто встречаются в практическом применении теории вероятностей, когда речь идет об осреднении каких-либо величин, зависящих от ряда случайных аргументов.

Таким образом, математическое ожидание функции любого числа случайных аргументов может быть найдено помимо закона распреде­ления функции. Аналогично могут быть найдены и другие числовые характеристики функции — моменты различных порядков. Так как каждый момент представляет собой математическое ожидание некоторой функции исследуемой случайной величины, то вычисление любого момента может быть осуществлено приемами, совершенно аналогич­ными вышеизложенным. Здесь мы приведем расчетные формулы только для дисперсии, причем лишь для случая непрерывных случайных аргументов.

Дисперсия функции одного случайного аргумента выражается формулой

(6.7.11)где т=М[(x)] — математическое ожидание функции (X);f(х) — плотность распределения величины X.

Аналогично выражается дисперсия функции двух случайных аргументов:

(6.7.12)где — математическое ожидание функции (Х,Y); f(x,у) — плотность распределения системы (X,Y). Наконец, в случае произвольного числа случайных аргументов, в аналогичных обозначениях:

(6.7.13)