Теория вероятностей методичка. Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)
 Скачать 3.28 Mb.
|
Раздел 2. Последовательные независимые испытания12.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли.В настоящем разделе мы изучим основные закономерности, относящиеся к одной из важнейших схем теории вероятностей — схеме последовательных независимых испытаний. В это понятие мы вкладываем следующий смысл. Под испытанием(опытом) мы станем понимать осуществление определенного комплекса условий, в результате которого может произойти то или иное элементарное событие пространства U элементарных событий. Математической моделью последовательности п испытаний является новое пространство элементарных событий, состоящее из точек , где - произвольная точка пространства U, отвечающая испытанию с номером i. Пусть испытание состоит в подбрасывании игральной кости. Пространство элементарных состояний состоит из 6 точек. Пространство ,соответствующее трем испытаниям, состоит из 216 точек(n=63). Пусть под испытанием понимается проверка длительности безотказной работы полупроводникового прибора под определенным напряжением. Пространство элементарных событий состоит из множества точек полупрямой . Пространство состоит из множества точек , координаты которых принимают неотрицательные значения, равные длительностям безотказной работы соответственно приборов с номерами 1,2,...,n. Предположим, что для s-го испытания пространство U разбито на k несовместимых случайных событий , т. е. предположим, что Событие назовем i-м исходом при s-м испытании. Обозначим вероятность i-го исхода при s-м испытании через = Р (). Bernylli Обозначим через событие, состоящее из всех тех точек пространства , для которых . Если в пространстве Un имеет место равенство при любых - то испытания называются независимыми. В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда вероятности событий не зависят от номера испытания s; обозначим в этом случае ; в силу несовместимости и единственной возможности исходов очевидно, имеем . Эта схема впервые была рассмотрена Я. Бернулли в важнейшем частном случае ; по этой причине указанный случай носит название схемыБернулли. В схеме Бернулли обычно полагают . Из определения независимых испытаний вытекает следующий результат: Теорема 1. Еслиданныеписпытанийнезависимы, толюбыетизнихтакженезависимы. Для простоты ограничимся случаем , поскольку переход к общему случаю не встречает затруднений. Действительно, имеет место очевидное равенство из которого следует, что По определению это означает, что первые п—1 испытаний независимы. Простейшая задача, относящаяся к схеме независимых испытаний, состоит в определении вероятности того, что при п испытаниях событие А наступит т раз, а остальные п—т раз наступит противоположное событие , обозначим это событие В. Тогда (2.1.1)Здесь Аi– событие состоящее в том, что событие А произойдет в i- ом испытании. Событие В представляет собой сумму несовместных событий, тогда согласно теореме сложения вероятностей получаем (2.1.2)Вероятность каждого слагаемого в данной сумме по теореме умножения для независимых событий равна . По теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме только что вычисленных вероятностей для всех различных способов т появлений события А и n—т не появлений среди п испытаний. Число таких способов, как известно из теории сочетаний, равно ; следовательно, искомая вероятность равна (2.1.3)Так как все возможные несовместимые между собой исходы писпытаний состоят в появлении события 0 раз, 1 раз, 2 раза, ..., n раз, то ясно, что (2.1.4)Легко заметить, что вероятность равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням x. Исследуем далее как ведет себя вероятность при различных значениях m. Найдем m, при котором вероятность является наибольшей. Для этого определим отношение Из полученного соотношения следует:
Таким образом, с увеличением m сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте mубывает. При этом, если является целым числом, то максимальное значение вероятность принимает для двух значений m, а именно и . Если же не является целым числом, то максимальное значение вероятности достигается при , равном максимальному целому числу, большему из и . Число называют наивероятнейшим значением и обозначают через . Пример. Вероятность попадания при одном броске в кольцо равна 0,4. Баскетболист совершил 10 бросков. Каково наивероятнейшее значение числа попаданий в кольцо? 2 2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.Поставим теперь более общую задачу. Рассмотрим последовательность n независимых испытаний в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. При этом вероятность появления события в каждом испытании различна. Обозначим через . Аi – событие состоящее том что А произойдет в i-ом испытании – событие состоящее том что А не произойдет в i-ом испытании соответственно. Следует определить вероятность того что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний. Обозначим через Вm – событие состоящее в том что, событие А произойдет m раз в серии из n испытаний. (2.2.1)Здесь Аi– событие состоящее в том, что событие А произойдет в i- ом испытании. Событие Вm представляет собой сумму несовместных событий, поэтому Число слагаемых в выражении равно , но они все различные. Для вычисления используют производящую функцию ProizFunc (2.2.2)Зададимся целью найти в этом произведении коэффициент при . Для этого перемножим биномы и произведем приведение подобных членов. Каждый член содержащий будет иметь в качестве коэффициента произведение m букв p с какими-то индексами и n-m букв q с другими оставшимися индексами, а после приведения подобных членов коэффициент при будет представлять собой сумму всех возможных произведений такого типа. Таким образом, вероятность того, что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний равна коэффициенту при в выражении производящей функции, то есть (2.2.3)(2.2.4)Пример 1. Производится стрельба по бегущей мишени. Вероятность попадания при первом выстреле p1 =0,1; при втором p2 =0,2; при третьем p3 =0,3 и при четвертом p4 =0,4. Определить вероятность одного, двух, трех, четырех и ни одного попадания при четырех выстрелах. Решение: Составляем производящую функцию для данной задачи Выполняя, элементарные преобразования и приведение подобных членов получаем Откуда следует, что - вероятность ни одного попадания в мишень. - вероятность одного попадания в мишень. - вероятность двух попаданий в мишень. - вероятность трех попаданий в мишень. - вероятность четырех попаданий в мишень. При решении многих практических задач, кроме определения вероятности , приходится вычислять вероятность появлений события Ане менее mраз в n независимых испытаниях. Обозначим через событие состоящее в том, что А появляется не менее m раз в n независимых испытаниях, а вероятность обозначим , тогда (2.2.5) Согласно теоремы сложения вероятностей событий имеем (2.2.6)В тех случаях когда удобно пользоваться следующей формулой |