Теория вероятностей методичка. Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)
 Скачать 3.28 Mb.
|
Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин.В курсе теории вероятностей указывалось, что математические законы теории вероятностей получены абстрагированием реальных статистических закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям. Свойство устойчивости массовых случайных явлений известно человечеству еще с глубокой древности. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание «закона больших чисел», понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности. Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях теории вероятностей. Свойство случайных величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать с этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью. Возможности таких предсказаний в области массовых случайных явлений еще больше расширяются наличием другой группы предельных теорем, касающихся уже не предельных значений случайных величин, а предельныхзаконовраспределения. Речь идет о группе теорем, известных под названием «центральной предельной теоремы». Мы уже говорили о том, что при суммировании достаточно большого числа случайных величин закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному при соблюдении некоторых условий. Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельныхтеоремтеории вероятностей. Прежде чем рассматривать предельные теоремы теории вероятностей рассмотрим виды сходимости после последовательностей случайных величин, так как сходимость для случайных величин отлична от сходимостей простых числовых последовательностей. 19.1. Сходимость последовательностей случайных величин.Пусть на вероятностном пространстве определены случайные величины со значениями . Определение 1. Последовательность сходится повероятности(п.в) к величине X, если (9.1.1)Обозначим сходимость к X по вероятности символом . Определение 2. Последовательность сходится к X почтинаверное(п.н) (с вероятностью единица), если (9.1.2)Обозначим эту сходимость символом . Определение 3. Говорят, последовательностьсходится к Xвсреднеквадратическом(с.к.), если (9.1.3)Обозначим эту сходимость символом . Определение 4. Последовательность сходится к Xпораспределению(п.р) с обозначением , если (9.1.4)Здесь Fn,F- функции распределения Xnи X, причем сходимость {Fn} к Fподразумевается для всех x, за исключением, может быть, точек разрыва F. Сходимости {Xn} кX, введенные определениями 1-4, связаны между собою отношениями, показанными на рис. 9.1.1. Рис. 9.1.1. 29.2. Закон больших чисел.Рассмотрим ряд теорем, образующих группу теорем закона больших чисел. В качестве леммы необходимой для доказательства теорем докажем важное общее неравенство, известное под названием неравенства Чебышева. Неравенство Чебышева. Пусть имеется случайная величина Xс математическим ожиданием тхи дисперсией Dx. Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина Xотклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху величиной —: (9.2.1)Доказательство. 1. Пусть величина Xдискретная, с рядом распределения: ……Изобразим возможные значения величины X и ее математическое ожидание тхв виде точек на числовой оси Ох(рис. 9.2.1). Зададимся некоторым значением и вычислим вероятность того, что величина Xотклонится от своего математического ожидания не меньше чем на : (9.2.2)Для этого отложим от точки тхвправо и влево по отрезку длиной а; получим отрезок АВ. Вероятность (9.2.1) есть не что иное, как вероятность того, что случайная точка Xпопадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его: Для того чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значении xi, которые лежат внеотрезка АВ. Это мы запишем следующим образом: (9.2.3)где запись под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения i, для которых точки лежат вне отрезка АВ. С другой стороны, напишем выражение дисперсии величины X. По определению: (9.2.4)Так как все члены суммы (9.2.4) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения xi, а только на некоторые, в частности на те, которые лежат вне отрезка АВ: (9.2.5)Заменим под знаком суммы выражение через . Так как для всех членов суммы , то от такой замены сумма тоже может только уменьшиться; значит. (9.2.6)Но согласно формуле (9.2.3) сумма, стоящая в правой части (9.2.6). есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно, откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство. 2. В случае, когда величина Xнепрерывна, доказательство проводится аналогичным образом с заменой вероятностей piэлементам вероятности, а конечных сумм — интегралами. Действительно, где f(x) — плотность распределения величины X. Далее, имеем: где знак под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ. Заменяя под знаком интеграла через , получим: откуда и вытекает неравенство Чебышева для непрерывных величия. Теорема Чебышева. Пусть последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковые и . Тогда при их среднее арифметическое сходится по вероятности к их математическому ожиданию, то есть Доказательство. Выше было показано, что величина имеет числовые характеристики Применим к случайной величине Y неравенство Чебышева: Как бы мало ни было число , можно взять птаким большим, чтобы выполнялось неравенство где — сколь угодно малое число. Тогда откуда, переходя к противоположному событию, имеем: , что эквивалентно что и требовалось доказать. Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Чебышева легко может быть обобщена на более сложный случай. Обобщенная теорема Чебышева формулируется следующим образом.Если независимыеслучайныевеличинысматематическимиожиданиями идисперсиями иесливседисперсииограниченысверхуоднимитемжечисломL: топривозрастаниипсреднееарифметическоенаблюденныхзначенийвеличин сходитсяповероятностиксреднемуарифметическомуихматематическихожиданий. Запишем эту теорему в виде формулы. Пусть — сколь угодно малые положительные числа. Тогда при достаточно большом n Доказательство. Рассмотрим величину Ее математическое ожидание равно: а дисперсия Применим к величине Yнеравенство Чебышева: или (9.2.7)Заменим в правой части неравенства (9.2.7) каждую из величин большей величиной L. Тогда неравенство только усилится: Как бы мало ни было , можно выбрать пнастолько большим, чтобы выполнялось неравенство , тогда откуда, переходя к противоположному событию, получим доказываемое неравенство. Теорема Маркова. Закон больших чисел может быть распространен и на зависимые случайные величины. Обобщение закона больших чисел на случай зависимых случайных величин принадлежит А. А. Маркову. Теорема. Еслиимеютсязависимыеслучайныевеличины иеслипри ,тосреднееарифметическоеслучайныхвеличин сходитсяповероятностиксреднемуарифметическомуихматематическихожиданий. Доказательство. Рассмотрим величину . Очевидно, . Применим к величине Yнеравенство Чебышева: Так как по условию теоремы при , то при достаточно большом п или, переходя к противоположному событию, что и требовалось доказать. 39.3. Следствия закона больших чисел.Пусть производиться n независимых опытов в каждом из которых с вероятностью p может произойти событие A, пусть – статистическая вероятность или частота появления события A в серии n– опытов. Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа опытов частота сходится к вероятности по вероятности, то есть или . Доказательство. Введем в рассмотрение независимые случайные величины - число появлений события A в i– ом опыте. - дискретные случайные величины, их ряд распределения имеет вид: 01qpТогда Так как - независимые случайные величины ; , то к ним можно применить теорему Чебышева, учитывая, что , тогда или . Предельная теорема Пуассона. Пусть производиться n независимых опытов. Событие Aв i - ом опыте может произойти с вероятностью , тогда при сходиться к среднему арифметическому вероятностей по вероятности, то есть. Доказательство. - независимые случайные величины(число появлений события A в i– ом опыте), имеющие следующие числовые характеристики , . Данные случайные величины удовлетворяют условиям обобщенной теоремы Чебышева. Применяя её, получим |