Теория вероятностей методичка. Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)
 Скачать 3.28 Mb.
|
Занятие 2. Геометрическое определение вероятности.12.1. Краткая теоретическая часть.Сущность геометрического определения вероятности. Еще в самом начале развития теории вероятностей была замечена недостаточность «классического» определения вероятности, основанного на рассмотрении конечной группы равновероятных событий. Уже тогда частные примеры привели к некоторому видоизменению этого определения и построению понятия вероятности также для случаев, когда мыслимо бесконечное множество исходов. При этом по-прежнему основную роль играло понятие «равновероятности» некоторых событий. Общая задача, которая ставилась и привела к расширению понятия вероятности, может быть сформулирована следующим способом. Пусть, например, на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область gс квадрируемой границей. В область G наудачу бросается точка и спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадет в область g. При этом выражению «точка бросается наудачу в область G» придается следующий смысл: брошенная точка может попасть в любую точку области G, вероятность попасть в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы. Таким образом, по определению, вероятность попадания в область g при бросании наудачу точки в область Gравна . Примеры. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Задача о встрече. Два лица А и В условились Встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти наудачу и моменты прихода независимы. Решение. Обозначим моменты прихода лица А через х и лица В через у. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы . Будем изображать хOу как декартовы координаты на плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60; благоприятствующие встрече — расположатся в заштрихованной области (рис. 2.1). Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата: Пример 2. Задача Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросается игла длины 2l(l≤a). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую. Решение. Обозначим через х расстояние от центра до ближайшей параллели и через —угол, составленный иглой с этой параллелью. Величины х и полностью определяют положение иглы. Всевозможные положения иглы определяются точками прямоугольника со сторонами a и . Из рис. 2.2. видно, что для пересечения иглы с параллелью необходимо и достаточно, чтобы . Искомая вероятность в силу сделанных предположений равна отношению площади заштрихованной на рис. 2.3. области к площади прямоугольника Заметим, что задача Бюффона являлась исходным пунктом для решения некоторых проблем теории стрельбы, учитывающих размеры снаряда 22.2. Тест
а) Да б) Нет
а) Точка может попасть в любую точку области G с равной вероятностью б) Вероятность попадания брошенной точки в каждую точку области G определяется по некоторому закону и необязательно одинакова в) Вероятность попадания точки в подобласть g зависит от ее формы и расположения г) Вероятность попадания точки в подобласть g не зависит от ее формы и расположения д) Вероятность попадания точки в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади и т.д.) е) Вероятность попадания точки в какую-либо часть области G не пропорциональна мере этой части
а) P = mes g / mes G б) P = mes G / mes g в) P = 1 / mes G г) P = 1 / mes g д) P = mes G - mes g е) P = mes g mes G
а) Наглядность б) Возможность применения в случае бесконечного числа исходов опыта в) Нет необходимости в том, чтобы исходы опыта были равновозможны г) Никаких преимуществ нет, эти определения полностью эквивалентны
а) В большой лекционной аудитории объема V летает комар. Один из студентов выпустил струю газа инсектицида из баллончика, в результате чего образовалось облако объема v. Какова вероятность того, что комар попадет в это облако, если нахождение его в любой точке аудитории равновероятно и вероятность попадания в любую подобласть аудитории пропорциональна размерам этой подобласти. б) В лужу площади S падает камушек. Определить вероятность того, что камушек упадет на монетку, лежащую на дне, если и камушек, и монетка рассматриваются как материальные точки, расположение монетки в луже известно заранее, а попадание камушка в любое место лужи равновозможно. в) В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r.Определить вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения. г) Все задачи можно решать с использованием геометрического определения вероятности. д) Ни к одной из перечисленных задач геометрическое определение неприменимо. 32.3. Решение типовых задачПример 2.1. На горизонтальной плоскости вдоль прямой АВ через интервал l расположены оси одинаковых вертикальных цилиндров с радиусом основания г. Под углом q к прямой бросается шар радиуса R. Определить вероятность столкновения шара с цилиндром, если пересечение линии движения центра шара с прямой АВ равновозможное в любой точке. Решение. Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что произойдет столкновение шара с цилиндром. Пусть х— расстояние от центра шара до ближайшей линии, проходящей через центр цилиндра параллельно направлению перемещения центра шара. Возможные значения x определяются условиями (рис.1): Столкновение шара с цилиндром произойдет в том случае, если . Искомая вероятность равна отношению длин отрезков, на которых находятся благоприятствующие и все возможные значения x. Поэтому Пример 2.2. На одной дорожке магнитофонной ленты длиной 200 м записано сообщение на интервале 20 м, на второй — записано аналогичное сообщение. Определить вероятность того, что в интервале от 60 до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи, если начала обоих сообщений равновозможные в любой точке от 0 до 180 м. Решение. Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что в интервале от 60 до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи. Пусть x и у— координаты начала записей, причем . Так как , то областью возможных значений x и уявляется, треугольник с катетами по 180 м. Площадь этого треугольника . Найдем область значений x и у, благоприятствующих указанному событию. Для того чтобы получилась непрерывная запись, необходимо выполнение неравенства . Чтобы интервал записи был не менее 25 м, должно быть . Кроме того, для получения непрерывной записи на интервале от 60 до 85м должно быть ,. Проведя границы указанных областей, получим, что благоприятствующие значения x и y заключены в треугольнике, площадь которого (рис. 2). Искомая вероятность равна отношению площади SБ, попадание в которую благоприятствует данному событию, к площади области S возможных значений x и у, т. е. . Пример 2.3. В любые моменты промежутка времени Травновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше . Определить вероятность того, что приемник будет забит. Решение. Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что приемник будет забит. Пусть x и у— моменты поступления сигналов в приемник. Областью возможных значений x, уявляется квадрат площадью T2 (рис. 3). Приемник будет забит, если . Данная область лежит между прямыми и . Ее площадь , поэтому . Пример 2.4. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше ? Решение. Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше . Пусть x и у— взятые числа. Их возможные значения , , что на плоскости соответствует квадрату с площадью S=1. Благоприятствующие значения удовлетворяют условиям: и . Граница делит квадрат пополам, причем область представляет собой нижний треугольник (рис. 4). Вторая граница является гиперболой. Абсциссы точек пересечения этих границ: и . Величина благоприятствующей площади . Искомая вероятность . 42.4. Задачи для самостоятельной работы2.1. В точке С, положение которой на телефонной линии АВдлины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка Судалена от точки A на расстояние, не меньшее l. (Ответ: p =) 2.2. На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией. (Ответ: p = = 0.316) 2.3. В круге радиуса R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению? (Ответ: p = 0.134) 2.4. Перед вращающимся с постоянной скоростью диском находится отрезок длиной 2h, расположенный в плоскости диска таким образом, что прямая, соединяющая середину отрезка с центром диска перпендикулярна отрезку. По касательной к окружности в произвольный момент времени слетает частица. Определить вероятность попадания этой частицы на отрезок, если расстояние между отрезком и центром диска равно l. (Ответ: p = ) 2.5. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r. Расстояния между осями прутьев равны соответственно a и b. Определить вероятность попадания шариком диаметра d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки. (Ответ: p = ) 2.6. Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно kr (k=1, 2, 3, 4, 5). Круг радиуса r и два кольца с внешними радиусами 3r и 5r заштрихованы. В круге радиуса 5r наудачу выбрана точка. Определить вероятность попадания этой точки: а) в круг радиуса 2r; б) в заштрихованную область. (Ответ:а) p = 0,16; б) p = 0.6 ) 2.7. Лодка перевозит груз с одного берега пролива на другой, пересекая пролив за один час. Какова вероятность того, что идущее вдоль пролива судно будет замечено, если с лодки обнаруживают судно в случае, когда пересекают его курс не ранее, чем за 20 мин. до пересечения судком курса лодки, и не позднее, чем через 20 мин. после пересечения судном курса лодки? Любой момент и любое место пересечения судном курса лодки равновозможны. Курс судна перпендикулярен курсу лодки. (Ответ:p =) 2.8. На отрезке длиной l наудачу выбраны две точки. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше kl, где ? (Ответ: p = k(2-k) ) 2.9. На отрезке АВдлиной l наудачу поставлены две точки L и М. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке М, чем к точке А. (Ответ:p = 0.75) 2.10. На отрезке длиной l наудачу ставятся две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что из трех получившихся частей отрезка можно построить треугольник. (Ответ:p =) 2.11. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, а второго — два часа. (Ответ: p = 0,121) 2.12 Два лица имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени Т. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t. (Ответ: p = ) 2.13. Два судна в тумане: одно идет вдоль пролива шириной L, а другое курсирует без остановок поперек этого пролива перпендикулярно курсу первого. Скорости движения судов соответственно равны и . Второе судно подает звуковые сигналы, которые слышны на расстоянии d < L. Определить вероятность того, что на первом судне услышат сигналы, если пересечение курсов судов равновозможно в любом месте пролива. (Ответ:p = ) 2.14. Стержень длиной l=200ммнаудачу ломается на части. Определить вероятность того, что хотя бы одна часть стержня между точками излома будет не более 10 мм, если точек излома а) две; б) три, причем излом стержня равновозможен в любом месте. (Ответ:а) p =; б) p = ). |