Теория вероятностей методичка. Министерство образования Российской Федерации Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева Теория вероятностей (Учебное пособие)
 Скачать 3.28 Mb.
|
Раздел 8. Характеристические функции.Простое решение весьма многих задач теории вероятностей, особенно тех из них, которые связаны с суммированием независимых случайных величин, удается получить с помощью характеристических функций, теория которых развита в анализе и известна как преобразования Фурье. 18.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.Определение 1. Характеристической функциейслучайной величины X называется математическое ожидание случайной величины , то есть (8.1.1)если X – дискретная случайная величина и известен ряд ее распределения, то (8.1.2)если X – непрерывная случайная величина с известной плотностью распределения f(x), то (8.1.3)Следует заметить, что ряд (8.1.2) и интеграл (8.1.3) сходится абсолютно. Рассмотрим сходимость на примере интеграла (8.1.3) Теорема 1. Характеристическаяфункцияравномернонепрерывнанавсейпрямойиудовлетворяетследующимсоотношениям: (8.1.4)Доказательство. Соотношения (8.1.4) немедленно вытекают из определения характеристической функции. Действительно, подставляя в (8.1.3) получим Откуда . Нам остается доказать равномерную непрерывность функции q(x). С этой целью рассмотрим разность (8.1.5)и оценим ее по модулю. Имеем: Пусть произвольно; выберем столь большое А, чтобы (8.1.6)и подберем столь малое h, чтобы для выполнилось условие (8.1.7)Тогда, учитывая (8.1.6) и (8.1.7) получаем (8.1.8)Это неравенство доказывает теорему. Теорема 2. Если, гдеaиb— постоянные, то (8.1.9)где и естьхарактеристическиефункциивеличинY и X. Доказательство. Действительно, Теорема 3. Характеристическаяфункциясуммыдвухнезависимыхслучайныхвеличинравнапроизведениюиххарактеристическихфункций. Доказательство. Пусть X и Y— независимые случайные величины и . Так как X и Y независимы, то случайные величины и .Отсюда вытекает, что . Это доказывает теорему. Следствие. Если причемкаждоеслагаемоенезависимоотсуммыпредыдущих, тохарактеристическаяфункциявеличиныXравнапроизведениюхарактеристическихфункцийслагаемых. Применение характеристических функций в значительной степени опирается на свойство, сформулированное в теореме 3. Сложение независимых случайных величин приводит к весьма сложной операции — композиции функций распределения слагаемых. Для характеристических функций эта сложная операция заменяется весьма простой — простым умножением характеристических функций. Теорема 4(единственности). Распределения F(x),f(x) однозначно определяются своей характеристической функцией . Обратное соответствие устанавливается, в частности, следующей формулой: (8.1.10)Теорема 5(непрерывности). а) Если последовательность функций распределения сходится к функции распределения F в точках ее непрерывности, то последовательность соответствующих характеристических функций сходится к характеристической функции распределения F. б) Если последовательность характеристических функций сходится всюду на R1кнекоторой функции , непрерывной в точке t=0, то есть характеристическая функция распределения F, при этом в точках непрерывности Fфункция распределения Fявляется пределом последовательности распределений , соответствующей . Теорема 6. ЕслислучайнаявеличинаX имеетабсолютныймоментп-гопорядка, тохарактеристическаяфункциявеличиныXдифференцируемапразипри (8.1.11)Доказательство. Действительно, k - кратное () формальное дифференцирование характеристической функции приводит к равенству (8.1.12)Но и, следовательно, в силу предположения теоремы ограничен. Отсюда следует существование интеграла (8.1.12) и законность дифференцирования. Положив в (8.1.12) t=0, получим: Математическое ожидание и дисперсия весьма просто выражаются при помощи производных от логарифма характеристической функции. В самом деле, положим . Тогда Приняв во внимание, что qx(0)=1 и равенство (8.1.11), находим: Отсюда (8.1.13)Производная k-го порядка логарифма характеристической функции в точке 0, умноженная на , называется семиинвариантомk-гопорядкаслучайнойвеличины. Как это непосредственно следует из теоремы 3, при сложении независимых случайных величин их семиинварианты складываются. Мы только что видели, что первыми двумя семиинвариантами являются математическое ожидание и дисперсия, т. е. момент первого порядка и некоторая рациональная функция моментов первого и второго порядков. Путем вычислений легко убедиться, что семиинвариант любого порядка kесть (целая) рациональная функция первых kмоментов. Для примера приведем явные выражения семиинвариантов третьего и четвертого порядков: Рассмотрим теперь несколько примеров характеристических функций. Пример 1. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием аи дисперсией . Характеристическая функция величины равна Подстановкой приводится к виду Известно, что при любом вещественном a следовательно. В частном случае, когда , то есть a=0, а =1, то характеристическая функция имеет вид . Пример 2. Найти характеристическую функцию случайной величины X, распределенной по закону Пуассона. Согласно предположению, случайная величина X принимает только целочисленные значения, причем где — постоянная. Характеристическая функция величины X равна отсюда находим: 28.2. Предельные теоремы для характеристических функций.Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно. Формулировки теорем приведем без доказательства. Прямая предельная теорема. Еслипоследовательностьфункцийраспределения сходится в основном к функции распределения F(х), то последовательность характеристических функций сходитсякхарактеристическойфункцииqx(t). Этасходимостьравномернавкаждомконечноминтервалеt. Обратная предельная теорема. Еслипоследовательностьхарактеристическихфункций сходитсякнепрерывнойфункцииqx(t), топоследовательностьфункцийраспределения сходитсявосновномкнекоторойфункциираспределенияF(x). Заметим, что условия теоремы выполнены в каждом из двух следующих случаев: 1) Последовательность характеристических функций сходится к некоторой функции qx(t) равномерно в каждом конечном интервале t. 2) Последовательность характеристических функций сходится к характеристической функции qx(t). |