Попов П.М., 2000 - Принципы построения систем автоматического управления применительно к управлению летательными аппаратами. Попов П.М., 2000 - Принципы построения систем автоматического уп. Министерствообразования российскойульяновский государственный технический университетП. М. Поповпринципы построения
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
1 Л ,. — 1 (2.30) Уравнение (2.30) является линейным уравнением первого приближе- ния, записанным в абсолютных величинах. Все члены уравнения имеют размерность момента. 7. Полученное уравнение первого приближения приведем к уравне- нию в относительных величинах с безразмерными коэффициентами. Такая форма записи уравнений весьма удобна, так как избавляет от необходимо- сти в каждом конкретном случае согласовывать размерности отдельных уравнений, входящих в систему, а также дает возможность свести изучение и сравнение динамических свойств большого разнообразия элементов самой различной физической природы к изучению свойств ограниченного числа так называемых типовых динамических звеньев или их комбинаций. Поделим все члены уравнения (2.30) на величину номинального мо- мента двигателя введем относительные отклонения и примем обозна- чения: АСУ J - — - выходная координата; - входное управляющее воздействие; - - время разгона; - коэффициент самовыравнивания; - коэффициент регулирующего воздействия. В этом случае уравнение (2.30) преобразуется к виду: > = (2.31) Такая форма записи уравнений, когда коэффициенты, стоящие при производных, имеют размерность времени в степени, равной порядку про- изводной, называется первой формой или формой Стодолы. Другая форма записи дифференциального уравнения предусматрива- ет введение безразмерного времени. Например: т = , тогда — + = (2.32) 31 Уравнения и (2.32) являются линейной математической моделью стационарного непрерывного объекта, составляемого в форме "вход-выход". При необходимости модель может быть записана в операторной (символической) форме или в преобразованиях Лапласа. Условно рассмотренный объект может быть представлен с помощью структурной схемы (рис. На рисунке Рис. Структурная схема стационарного непрерывного объекта 3. ЛОГАРИФМИЧЕСИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Логарифмические амплитудные частотные характеристики весьма удобны для целей синтеза, так как их приближенное построение почти не требует вычислений. Асимптотические логарифмические амплитудные характеристики можно легко строить, пользуясь линейкой и бумагой с масштабной логарифмической сеткой. Фазовые частотные характеристики также используются при синтезе, но они играют вспомогательную роль. В методике синтеза (разработанной расчет производится с использованием типовых логарифмических амплитудных частотных характеристик, для которых разработаны подробные номограммы показателей качества процессов регулирования. С помощью этих номограмм можно построить желаемую амплитудную частотную характеристику синтезируемой системы, определить ее передаточную функцию, найти частотные характеристики и передаточную функцию корректирующего устройства. Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) используются при исследовании систем автоматического управления с помощью частотных методов и представляют собой амплитудные фазовые частотные характеристики замкнутых или разомкнутых САУ (или элементов САУ), построенные в полулогарифмическом масштабе. 32 Логарифмической амплитудной частотной характеристикой системы (элементов системы) называется кривая, соответствующая 20 десятичным логарифмам модуля частотной характеристики системы (элементов), построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот: где - частотная характеристика системы (элементов); - логарифмическая амплитудная частотная характеристика этой системы (элементов). Логарифмической фазовой характеристикой (ФЧХ) системы (или элементов системы) называется фазовая частотная характеристика построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот. При построении ЛЧХ на оси абсцисс откладываются десятичные логарифмы частоты или значение самой частоты в логарифмическом масштабе. На практике наиболее распространенным является способ, при котором шкала в отношении со будет неравномерной (логарифмическая шкала). Отрезок этой шкалы, соответствующий изменению в 10 раз, называется декадой, а отрезок, соответствующий изменению со в 2 раза, октавой. Построение логарифмической шкалы производится с помощью шаблона, рассчитываемого по формуле: / = где - масштаб декады, выбираемой с точки зрения удобств построения и требуемой относительной погрешности; от 1 до 10; / - величина отрезка шкалы между точкой, соответствующей и последующими точками. На оси ординат при построении значения амплитудной частотной характеристики откладываются в децибелах. Перевод чисел в децибелы производится по формуле: дЪ == где В - число; ЦВ) - число В, измеренное в децибелах. Перевод любого другого числа в децибелы производится по формуле: Примеры: 33 дБ; 2. Для обратного перевода ЦВ) представляют в виде L(B) = ±i20+c, 33 где 0 с 20 а В находят по формуле В - 10 А определяется из кривых для L(A) =c. Примеры: 2. дБ= При построении ФЧХ по оси ординат значения фазовой частотной характеристики откладываются в градусах. 3.1. Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутых систем Для построения ЛЧХ передаточную функцию системы представляют в виде произведения передаточных функций элементарных динамических звеньев: P Р где Kj - коэффициенты усиления усилительных звеньев; Т - постоянные времени элементарных звеньев; - показатели колебательности звеньев второго порядка; г) - количество интегрирующих или идеально дифференцирующих звеньев (при Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики системы определяются выражениями: где k - количество элементарных звеньев; и - ЛАХ и ФЧХ элементарного звена. Более подробно о методах логарифмических частотных характеристик в построении и синтезе САУ читайте в работе авторского коллектива МВТУ им. Баумана (Основы теории автоматического управления общ. ред. М.: Машиностроение, 1985. С. 368-404 ). 3.2. Логарифмические частотные характеристики элементарных звеньев Усиленное звено с передаточной функцией Это звено имеет ЛЧХ следующего вида: 34 Амплитудно-фазовая (частотная) характеристика звена и его логарифмическая частотная характеристика изображаются следующими графиками. Jm а к Re о (а) и логарифмическая частотные характеристики (б) усиленного звена со Re Рис. 3.2. Амплитудно-фазовая (а) и логарифмические (б) частотные характеристики звена Последовательное соединение усиленного звена и - интегрирующих звеньев. Это соединение имеет передаточную функцию вида = 35 Логарифмические частотные характеристики определяются формулами: = 20 = СО Для построения ЛАХ на оси абсцисс откладывается точка со = и через нее проводится прямая с наклоном - - . Пример 3.1. Построить АФХ и ЛЧХ для D=2. Решение. Построим графики в соответствии с методикой (рис. 3.2). Последовательное соединение усилительного звена и т идеально дифференцирующих звеньев с передаточной функцией = Логарифмические частотные характеристики строятся по формулам = ; = +m— и имеют вид, представленный на рис. 3.3. Re Рис. 3.3. Частотные характеристики звена с = (а) - АФХ; (б) - ЛЧХ Примечание. Для упрощения записи в дальнейшем наклон прямой в графиках рис. 3.2 и 3.3 ), например, ± 6 = ± 20 следует обозначить через наклон ±т -20 дЪ/дк - через Апериодическое звено с передаточной функцией к(р) = Логарифмические характеристики определяются по формулам: = + = 36 Приближенная (асимптотическая) звена представляет собой две асимптоты, сопрягающиеся в точке = — ("опорная" или "сопрягающаяся" частота). Точная ЛАХ отличается от асимптотической на величину поправок AL. Амплитудно-фазовая характеристика апериодического звена и его логарифмические характеристики показаны на рис. 3.4. При вычислении фазовой характеристики на частотах, находящихся вне интервала можно воспользоваться приближенными соотношениями: -57,3 со • Т 0,5; Л при 2. б Частотные характеристики апериодического Ошибка при пользовании этими формулами вне указанного интервала не превышает 0,4°. Дифференцирующее звено первого порядка с передаточной функцией Т). Это звено имеет ЛЧХ, определяемые выражениями: 37 Эти характеристики (рис. 3.5) представляют собой зеркальное отображение относительно оси абсцисс соответствующих характеристик апериодического звена. Jm а Рис. 3.5. Частотные характеристики дифференцирующего звена первого (а) - ФЧХ; (б) При уточнении асимптотической а также при построении ФЧХ дифференцирующих звеньев первого порядка (рис. 3.5 б) необходимо пользоваться соответствующими кривыми, изменив знак на обратный 10 Рис. 3.6. График отклонения точной ЛАХ апериодического звена от асимптотической 38 Колебательное звено с передаточной функцией Логарифмические частотные характеристики по формулам: Амплитудно-фазовая характеристика и ЛЧХ колебательного звена для некоторого фиксированного значения показаны на рис. 3.7. Величина отклонения точной ЛАХ от асимптотической зависит от значения и имеет 1 максимум на частоте со = При ЭТОМ Приведенная выше формула и построенный ниже график (рис. 3.8) позволяют уточнять асимптотическую логарифмическую амплитудную частотную характеристику по одной точке. Точная ЛАХ практически перестает отличаться от асимптотической при отклонении в обе стороны от опорной частоты = — на 2-3 октавы. а Рис. Частотные характеристики колебательного звена: 39 Рис. 3.8. График для определения значения резонансного звена Дифференцирующее звено второго порядка с передаточной функцией Логарифмические частотные характеристики этого звена отличаются от соответствующих характеристик колебательного звена только знаком. Для их построения используются специальные номограммы, их можно использовать для уточнения и построения ФЧХ дифференцирующих звеньев второго порядка, если знаки получаемых поправок AL и значений ф поменять на обратные. Запаздывающее звено с передаточной функцией = Это звено имеет логарифмические частотные характеристики, определяемые выражениями: Сведем логарифмические частотные характеристики всех рассматриваемых звеньев качественно в таблицу 40 Таблица № № п/п 1. К 5. 2. 6. о Т| 3. 7. 1 + + Г 4. 8. -1 га со 41 Амплитудно-фазовые и логарифмические частотные характеристики, а) неустойчивым апериодическим звеньям с передаточными функциями: б) неустойчивому колебательному звену с передаточной функцией: в) консервативному звену с передаточной функцией: г) звеньям минимально-фазового типа с передаточными функциями: = (1-рТ); = ' системно организуем и сведем в таблицу 3.2. Таблица № 1 1. (В 2. -1 (0=0 со Re О 42 Продолжение таблицы 3.2 L, О Jm, Re -180 Jm Re -90" Re +90" 0 43 Окончание таблицы 3.2 8. Re Сравнение этих характеристик с характеристиками устойчивых звеньев минимально-фазового типа (см. табл. 3.1) показывает, что по- строение ЛЧХ может производиться с помощью описанных выше приемов, но с учетом особенностей, касающихся фазовых характеристик. 3.3 Методика построения логарифмических частотных характеристик разомкнутой одноконтурной системы При известной передаточной функции разомкнутой одноконтурной системы, записанной в виде произведения передаточных функций элемен- тарных звеньев, для построения логарифмической амплитудной частотной характеристики необходимо: Определить опорные (сопрягающие) частоты звеньев 1 = < и нанести их на оси абсцисс; Л 44 2. Провести низкочастотную асимптоту представляющую собой при прямую с наклоном если система содержит интегрирующих звеньев, или прямую с наклоном (+т), если имеется (т) идеально дифференцирующих звеньев. В первом случае эта прямая пересекает ось абсцисс на частоте со = , во втором случае со - , где К - коэффициент преобразования системы. Если система статическая (то есть то до частоты будет иметь нулевой наклон к оси абсцисс и отстоять от нее на величину 201gK. Методика построения для всех трех случаев показана соответственно рис. 3.2, 3.3; Продолжить построение ЛАХ, изменяя наклон после каждой из опорных частот в зависимости от того, какому звену эта частота принадлежит. При этом каждое апериодическое и дифференцирующее первого порядка звено, начиная с опорной частоты, изменяет наклон ЛАХ на (-1) или (+1) соответственно, а колебательное и дифференцирующее второго порядка звено- на (-2) или (+2) соответственно; 4. Пользуясь кривыми поправок (см. библиографию), уточнить полученную асимптотическую ЛАХ. Поправки, полученные для характеристик звеньев, опорные частоты которых отклоняются друг от друга менее чем на 2-3 октавы, складываются алгебраически. Фазовая частотная характеристика системы определяется как сумма значений ФЧХ каждого из элементов системы на фиксированной частоте. Эти значения могут быть вычислены по приближенным или точным формулам, а также с помощью номограмм. При построении ЛАХ и ФЧХ значения поправок AL, и фазовых сдвигов удобно сводить в таблицы. Пример 3.2. Построить логарифмическую частотную характеристику разомкнутой одноконтурной системы с передаточной функцией: _ Решение. С помощью номограммы 3.9) построим кривые ЛАХ и определим по этой номограмме численные значения AL, и через значения со, с сведенные в таблицу 3.3. 45 дБ 0,1 0,4 ,20 40 60 Рис. З.9. Пример построения ЛЧХ разомкнутой одноконтурной системы 3.3 ю, с 1 + 100 Р 1 1 + Ф AL Ф Ф Ф 0,1 0 2,5 0 -90 0 4 0 0 0 -87,5 0,5 2,2 -15 0 -90 20 0 0 2,6 -85 1 8 -90 0 -90 1,2 40 0 -2 9,2 -142 2 2,2 -165 0 -90 3,2 74 0 -4 5,4 -185 3 0,8 -172 0 -90 6 90 0 -6 6,8 -178 5 о,з -176 0 -90 3,2 120 -0,2 -9 3,3 -154 10 0 -180 0 -90 0,8 150 -0,6 -20 0,2 -140 20 0 -180 0 -90 0 164 -1,6 -37 -1,6 -143 30 0 -180 0 -90 0 168 -3 -45 -3 -147 50 0 -180 0 -90 0 174 -1,6 -60 -1,6 -156 200 0 -180 0 -90 0 180 0 -82 0 -172 46 3.4 Построение ЛЧХ комбинированных систем Построение логарифмических частотных характеристик системы с комбинированном управлением основывается на замене этой системы эк- вивалентной следящей системой с управлением только по отклонению. Передаточная функция последней составляется в виде, удобном для ис- пользования номограммы пересчета и соответствующих правил. Исходная система в замкнутом состоянии имеет передаточную функцию: Эквивалентная система, работающая только по отклонению, должна иметь передаточную функцию в разомкнутом состоянии. С учетом принятых обозначений ЛЧХ разомкнутой системы (рис. 3.10) определяется по формулам: где слагаемые, входящие в правые части, определяются по номограмме пересчета. Для нахождения ЛЧХ исходной системы по полученным и определяются = и а — Рис. 3.10. Пример замены комбинированной системы (а) следящей системой (б) 47 В ряде случаев при определении параметров асимптотических ЛАХ по передаточной функции разомкнутой одноконтурной системы, когда возникает необходимость в вычислении величины амплитуды или фазы только на одной или нескольких заданных частотах, а также при вычислении частоты среза и значения ФЧХ на этой частоте, можно воспользоваться приближенным способом вычисления, не прибегая к построению логарифмических частотных харак- теристик во всем диапазоне частот. Этот способ основан на представлении асимптотической передаточной функции в виде: k=0 что соответствует только высокочастотным асимптотам логарифмических амплитудных частотных характеристик звеньев. Если известна передаточная функция разомкнутой одноконтурной системы, то определение значения амплитудно-частотной характеристики по заданной (фиксированной) частоте соответствующей асимптотической ЛАХ на этой частоте, производится по следующей методике: 1) в передаточной функции системы записывается 2) отбрасываются все звенья, опорные частоты которых больше 3) отбрасываются единицы в выражениях для передаточных функций звеньев. В звеньях второго порядка отбрасываются, кроме того, члены вида Из полученного выражения определяется асимптотическое значение амплитудно-частотной характеристики Пусть необходимо найти 5 если + р)(1 + Согласно изложенной методике, необходимо отбросить звено с опорной •) 5 100 частотой а тогда: 5 Точное значение совпадает с асимптотическим, если на частоте точная ЛАХ не отличается от асимптотической. В противном случае необходимо производить уточнение. Значение частоты среза асимптотической ЛАХ определяется по следующей методике: 48 1) передаточной функции разомкнутой одноконтурной системы s. вместо записывается 2) в левой части равенства вместо записывается 3) отбрасываются единицы и члены вида в выражениях для передаточных функций звеньев; 4) отбрасываются звенья, опорные частоты которых находятся за частотой среза асимптотической ЛАХ Если, например, необходимо найти частоту среза асимптотической ЛАХ системы с передаточной функцией: -1 и известно, что расположена между опорными частотами с " и то, согласно изложенной методике, можно записать: 1 = со. со -1 0,1 Отсюда = 20 с" Если заранее не известно, между какими опорными частотами нахо- дится (т.е. не известно, какими звеньями в передаточной функции надо пренебречь), то производятся предварительные вычисления: путем после- довательного пренебрежения элементарными звеньями по методике опре- деляются две соседние опорные частоты и о] (рис. по одной из которых 1 (т.е. а на другой В дальнейшем при вычислении отбрасываются звенья, начиная с которых Рис. Частота среза и прилегающие к ней опорные частоты |