Попов П.М., 2000 - Принципы построения систем автоматического управления применительно к управлению летательными аппаратами. Попов П.М., 2000 - Принципы построения систем автоматического уп. Министерствообразования российскойульяновский государственный технический университетП. М. Поповпринципы построения
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
Пример 2.3. По данным примера 2.1 определить диапазон до- пустимых изменений тока внутри которого относительная погрешность линеаризации статической характеристики Решение. Из условия: 8 разложив выражение в ряд и ограничившись первыми двумя числами этого ряда, получим: в Пример 2.4. Составить уравнение динамики исполнительного элек- тродвигателя системы автоматического управления. Решение. В качестве физического закона, определяющего процесс, протекающий в двигателе, выберем второй закон Ньютона. Тогда = (2.3) dt где со - угловая скорость вала двигателя; J - момент инерции движущихся частей, приведенный к валу; Мд - вращающий момент двигателя; Мс - момент сопротивления на валу двигателя. Момент является функцией скорости со и управляющего воздей- ствия х: х). Положим, что момент сопротивления Мс зависит только от скорости вращения: С учетом сказанного уравнения (2.3) принимают вид: dco _ Уравнение (2.4) нелинейно. В соответствии с вышеизложенным ме- тодом линеаризации производим линеаризацию уравнения (2.4). Получим линеаризованное дифференциальное уравнение в таком ви- де: dco dt дх дсо где - начальные значения переменных; - приращение управляющего воздействия; Дсо - приращение угловой скорости. Уравнение статики в этом случае: (2.6) Учитывая выражение (2.6), приняв за переменные не их абсолютные значения, а приращения и имея в виду, что 15 do) dt dt выражение (2.5) можно записать так: j dt дсо Введя обозначения: dt дх Ax. Д - - ' С да) (27) получим: д (2.8) Выражение (2.8) является линеаризованным уравнением динамики в J С приращениях. Если a то = — и Пример 2.5. Составить дифференциальное уравнение следящей системы (рис. 2.5), если уравнения ее отдельных звеньев в приращениях равны: Уравнение сигнала ошибки: (2.9) 2. Уравнение сельсинного измерительного элемента (СИЭ) 3. Уравнение электронного усилителя 4. Уравнение электромашинного усилителя (ЭМУ) dt Уравнение исполнительного двигателя (ИД) 6. Уравнение редуктора (р) (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) (2.14) Рис. 2.5. Схема следящей системы 16 Решив совместно уравнения (2.9) - получим дифференциаль- ное уравнение системы в виде: Т Т Т К К ( ЭМУ V Д ЭМУ ) Т at at at 2.1. Переходная, импульсная, частотная и передаточная функции и связи между ними Динамические функции (характеристики) являются критерием коли- чественной и качественной оценки свойств элементов и систем автомати- ческого управления в процессе их работы. Переходной называется функция (характеристика), опреде- ляющая изменение выходной величины системы или отдельного элемента при скачкообразном изменении входной величины на единицу и при нулевых начальных условиях. Импульсной (или импульсной переходной - функцией веса) называется функция (характеристика), определяющая изменение выходной величины системы (или отдельного элемента) при приложении на входе единичного импульса [дельта-функции и при нулевых начальных ус- ловиях. Переходная и импульсная функции относятся к временным функ- циям. Частотной (амплитудно-фазовой) называется функция (характеристика), определяющая изменение амплитуды и фазы выходной величины системы (отдельного элемента) в установившемся режиме при приложении на входе гармонического воздействия: = • cos + • sin = + где = = = - амплитудно-частотная функция (характеристика); и - соответственно амплитуды выходной и входной ве- личин при фиксированной частоте = = = - фазово-частотная функция и - соответственно фаза выходной и входной величин при фиксированной частоте со; = (со) • -вещественная частотная функция (характеристика); 17 = мнимая частотная функция (харак- теристика). Передаточной функцией (характеристикой) называется отно- шение изображения по Лапласу выходной величины системы (отдельного элемента) к изображению по Лапласу входной величины при нулевых на- чальных условиях. СО Если = = - изображение выходной величины, о СО а = = - изображение входной величины, то = - передаточная функция. Свойства передаточных функций САУ: а) передаточная функция является правильной рациональной дробью вида: где (i=l, 2, 3, ..., т) и 2, 3, ..., п) - коэффициенты, выра- жающиеся через параметры системы (отдельного элемента), б) все коэффициенты и являются вещественными числами; в) невещественные нули и полюса передаточной функции могут быть только комплексно сопряженными величинами. Примечание. При проведении расчетно-графической работы при вы- числении динамических функций (характеристик) для отдельных участков схем САУ или при различных точках приложения воздействий и опре- деления выходных величин рекомендуется пользоваться двоичными ин- дексами, например: И Каждая функция может быть получена непосредственно из диффе- ренциального уравнения системы или отдельного элемента. Связи между функциями h(t), k(t), и опишем с помощью табл. Таблица Функции k(t) ЩР) h(t) — dt k(t) fro* — L L — p [K(p)J K(p) — 18 где L - прямое преобразование Лапласа; р - обратное преобразование Лапласа: = где - абсцисса абсолютной сходимости функции; F - прямое преобразование Фурье: - - обратное преобразование Фурье: Вычисление выходной величины y(t) может производиться по из- вестной входной величине и а) переходной функции б) импульсной функции t t ХО = (t - = J - r о о в) частотной функции ХО = г) передаточной функции Переход от изображения Y(p) к оригиналу y(t) может быть осущест- влен с помощью таблиц операционных соотношений и помощью теорем разложения. Пример 2.6. Элемент САУ имеет дифференциальное уравнение вида: 19 где k и Т - постоянные коэффициенты. Определить для этого элемента функции: Решение. Записав уравнение элемента в операторной форме, получим: + - откуда = + рТ' 2. Частотная функция: Представив в показательной форме, получим: = - откуда ух cos k 3. На основании связей вышеназванных функций по табл. будем иметь: k К Т dt 2.2. Правила составления структурных схем САУ Структурной схемой называется графическое изображение элемента или САУ, отображающее систему дифференциальных уравнений, описывающих процессы управления в этих элементах или Условные обозначения элементов САУ изображаются (рис. 2.6): Динамическое звено звено (сумматор) COS Множительное звено звено Рис. 2.6. Условные обозначения элементов схем 20 Общие правила, которые должны выполняться при составлении структурных схем: 1. Структурная схема должна обязательно иметь входные и выходные внешние связи, задаваемые из физических соображений; 2. Каждый входной сигнал, являющийся независимой функцией времени, должен иметь только вход в структурную схему; 3. Выходной сигнал может замыкаться внутри структурной схемы и иметь выход в виде ответвления (система, замкнутая по выходному сигналу) или не замыкаться внутри структурной схемы (система, разомкнутая по выходному сигналу); 4. Все внутренние связи, определяемые системой уравнений, должны обязательно иметь входы и выходы. Последовательность составления структурной схемы САУ по заданной схеме дифференциальных уравнений ее отдельных элементов следующая: а) система дифференциальных уравнений записывается в операторной форме; б) для каждого уравнения системы условно выбираются входная и выходная величины; в) каждое уравнение решается относительно выходной величины или члена, содержащего ее старшую производную; г) строятся графические отображения каждого из дифференциальных уравнений; д) строится общая структурная схема как совокупность графических отображений каждого дифференциального уравнения. Примечание. Следует отметить, что задача построения структурных схем может решаться неоднозначно, то есть можно получить несколько вариантов графического изображения, но после соответствующих преобразований все изображения оказываются эквивалентными. Пример 2.7. Построить структурную схему двигателя постоянного, тока с независимым возбуждением при управлении по цепи якоря (рис. если его движение может быть записано системой линеаризованных уравнений (знаки приращений пропущены): (2.16) (2.17) (2.18) где - напряжение, приложенное к цепи якоря; (t) - ток в цепи якоря; 21 активное сопротивление и индуктивность цепи якоря; - коэффициент ЭДС двигателя; (t) - угловая скорость вращения ротора двигателя; - вращающий момент двигателя; коэффициент момента двигателя; - момент сопротивления от сил сухого трения; FC - коэффициент вязкого трения; J - момент инерции вращающихся частей. Рис. схема двигателя постоянного тока насоса для перекачки горючего в самолета к примеру В качестве выходной величины двигателя принимается угловая скорость Решение. Уравнения в операторной форме примут вид: = + + + (р) + (2.19) (2.20) 2. Входной величиной уравнения является напряжение в качестве выходной примем ток Входной величиной для урав- нения (2.20) будет величина выходной - угловая скорость 3. Решаем уравнение относительно первой производной тока и уравнение (2.20) относительно первой производной скорости Год. Получим: = (2.22) 4. Строим схему, соответствующую уравнению (2.21), рис. 2.8; строим схему, соответствующую уравнению (2.22), рис. 5. Объединяем структурные схемы (рис. 2.8 и 2.9 ), замыкаем обратную связь через звено и получаем структурную схему двигателя 22 Рис. 2.8. Структурная соответствующая уравнению (2.21) P. Структурная схема, соответствующая уравнению (2.22) Структурная схема двигателя к примеру 2.3. Основные формулы для преобразования структурных схем При известных передаточных функциях звеньев ..., передаточные функции групп звеньев определяются по формулам: Рис. соединение 23 при последовательном соединении (рис при параллельном соединении (рис. 2.12): (2.24) при охвате звена обратной связью (рис. , ' (2.25) где знак плюс соответствует отрицательной, а знак минус - положи- тельной обратной связи. соединение Рис. Охват звена обратной 2.4. Определение передаточных функций разомкнутых и замкнутых систем по задающему воздействию и возмущению Для линейных САУ с постоянными параметрами изображение по Лапласу выходной величины: где - изображение составляющей выходной величины, обу- словленной задающим воздействием - изображения составляющих выходной величины, обуслов- ленных В свою очередь: замкнутой (Т ООН 25 4. Примечание. Аналогичные результаты можно получить, если возмущения перенести на вход системы. Пример 2.9. По структурной схеме определить изображение выходной величины Решение. Пусть задано передаточное уравнение угловой скорости двигателя следующего вида: где - передаточная функция замкнутой системы по задающе- му воздействию передаточная функция замкнутой системы по возмущающе- му воздействию Для определения и упрощаем структурную схему, пре- образуя ее участки, содержащие звенья , и а также — и по формулам Получим схему, изображенную на рис. 2.15, где = — ; ; = ' F. Тогда • - • Рис. схема к примеру 2.9 Для многоконтурных САУ передаточная функция разомкнутой системы: 1=2 26 а передаточная функция замкнутой системы: (2.27) где передаточная функция основной прямой цепи; передаточные функции элементов, составляющих i-й контур обратной связи; k - число контуров обратной связи. Примечание. Знаки у членов формулах (2.26) и (2.27) оп- ределяются знаками обратных связей соответствующих контуров. Формулы (2.26) и (2.27) применимы в случае перекрещивающихся обратных связей. В противном случае структурная схема подлежит предварительному преобразованию. Пример 2.10. Определить многоконтурной САУ по рис. 2.16. Решение. где PMC. Структурная схема к примеру Для линейных САУ с постоянными параметрами изображение ошибки управления: где - изображение составляющей ошибки, обусловленной за- дающим воздействием 27 -изображение составляющих ошибки, обусловленных возмущающими В свою очередь: = и где - передаточная функция ошибки по задающему воздей- ствию; - передаточная функция ошибки по возмущающему воздействию. Пример 2.11. Определить изображение ошибки управления для САУ, структурная схема которой приведена на рис. Решение. 1 К К 2 К rfl 3. Л (Р) 1 + (Р) • 4. / \ + 2.5. Методика составления математических моделей динамических систем При составлении математической модели САУ часто представляется в виде совокупности элементов, рассматриваемых с точки зрения их ди- намических свойств. Каждое из таких звеньев может быть рассмотрено са- мостоятельно. При этом входная и выходная переменные соответствуют физическим воздействиям предыдущего звена на данное звено и данного звена на последующее звено. В общем случае звено системы может быть устройством любой физической природы и назначения. Методика построения математических моделей каждого конкретно- го элемента системы автоматического управления, включая объект управ- ления, является предметом изучения соответствующих курсов (электро- техники, элементов автоматики, динамики полета, систем управления ле- тательными аппаратами и др.). Однако следует остановиться на общих принципах составления математических моделей динамических звеньев и систем. 28 Чаще всего исходная математическая модель получается в виде системы неоднородных нелинейных дифференциальных уравнений, отыскать общее решение которых не всегда удается. Однако бывает возможно отыскать систему функций, образующих частное решение упрощенной системы уравнений, в которой не учитываются некоторые второстепенные факторы. Часто удается сложную задачу интегрирования нелинейных уравнений свести к более простой задаче - решению линейных дифферен- циальных уравнений. Достаточным условием возможности проведения линеаризации ма- тематической модели звена или системы является отсутствие разрывных неоднозначных функций. Линеаризация нелинейной аналитической функции основана на положении, что непрерывная и имеющая все производные в окрестности некоторой (рабочей) точки функция (например, статическая характеристика звена) может быть разложена в ряд Тейлора по степеням малых отклонений аргумента (рис. Если при этом отклонения аргумента Аи достаточно малы, то можно ограничиться первыми линейными членами разложения и рассматривать вместо нелинейных функций у - линейную, откуда, опуская символ упрощения получим: где k - коэффициент усиления звена. Рис. Статическая характеристика звена Полученные в результате линеаризации уравнения называются уравнениями первого приближения, а математическая модель - линеаризо- ванной, или линейной моделью звена или системы. Построение математической модели двигателя как объекта управления, входящего в САУ рассмотрим на примере. Пример 2.12. Рассмотрим авиационный двигатель с винтом изме- няющего шага, введя обозначения: ф - угол разворота лопасти винта, ме- няющийся с изменением режима работы двигателя; - скорость вращения винта (выходного вала двигателя). 29 Необходимо получить математическую модель (двигателя как объекта управления) скорости вращения винта авиационного двигателя. Решение. 1. Предположим, что управление скоростью вращения винта осу- ществляется за счет изменения величины момента сил сопротивления путем разворота лопасти винта, а расход топлива остается постоянным. Обозначим входную (ф) и выходную переменные. 2. Выберем начало и направление отсчета переменных. Возможны два варианта: за начало отсчета принимается или первоначальное состояние равновесия, или конечное, установившееся после приложения к звену внешнего воздействия. В первом случае математическая модель получается в виде неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями, а во втором - однородного с ненулевыми начальными условиями. Примем за начало отсчета установившееся значение скорости вращения 3. Составим уравнения невозмущенного движения (рис. 2.18), которое в рассмотренном примере представляет собой равенство момента развиваемого двигателем, и момента сил сопротивления на валу двигателя, то есть (2.28) 4. На основании физического закона, которому подчиняется поведение объекта (в данном случае закон Ньютона), составим уравнение возмущенного движения в отклонениях от установившегося состояния, то есть : , Рис. Характеристика невозмущенного движения Получим (2.29) 5. Путем вычитания из уравнения (2.29) уравнения (2.28) получаем уравнение возмущенного движения в отклонениях (вариациях). 6. Исследуем возможность линеаризации имеющихся нелинейных зависимостей и произведем линеаризацию уравнений возмущенного дви- жения: |