Краткий сборник материалов при подготовке к ОГЭ по математике. Конспект к ОГЭ математика. Множества Натуральные

• Название: Множества Натуральные
• Анкор: Краткий сборник материалов при подготовке к ОГЭ по математике
• Дата: 20.10.2022
• Размер: 1.22 Mb.
• Имя файла: Конспект к ОГЭ математика.docx
• Тип: Документы; #744515
• страница: 6 из 6

Операции над векторами

Так как это те же матрицы, то можно просто складывать, вычитать и умножать их координаты:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   Произведение чуть сложней, мы же говорили, что число строк соответствует числу столбцов. Так вот формально один из векторов мы транспонируем (переворачиваем), и после этого умножаем. Однако можно заметить, что всегда получиться матрица , а значит, произведение векторов всегда даёт просто число!
   

Итог:

Геометрический способ

Сложение

Рисуем два вектора из одной точки, строим параллелограмм и проводим диагональ, диагональ, заключённая между векторами и есть ответ



Альтернативный способ, это последовательное построение векторов. То есть там, где заканчивается один, начинается второй и так складываем всё. Итогом будет вектор, проведенный от начала «паровозика» к его концу.

Вычитание

Строим вектора из одной точки и соединяем их концы. Направление ставим к тому концу вектора, из которого вычитаем

Скалярное произведение

– острый угол между векторами

Расстояние между двумя точками

Геометрия

Углы

Смежные

Вертикальные

При параллельных прямых

Н акрестлежащие:



Соответственные:



Односторонние:

Теорема Фалеса

Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то и на второй стороне угла, также будут отсечены одинаковые

Треугольники

Произвольные

Общие свойства

1. 
   
   
2. 
   
   

Признаки равенства:

1. 
   Две стороны и угол между ними
   
2. 
   Сторона и углы при основании
   
3. 
   Все стороны
   

Признаки подобия:

1. 
   Два угла
   
2. 
   Две пропорциональных стороны и угол между ними
   
3. 
   Три пропорциональных стороны
   

Медиана

1. 
   Точка пересечения медиан – центр тяжести
   
2. 
   В точке пересечения медиана делиться на отрезки 2:1
   

3. 
   Треугольники образованные медианной имеют одинаковую площадь
   

4. 
   
   

Биссектриса

1. 
   – пересечение биссектрис, центр вписанной окружности
   
2. 
   Биссектриса равноудалена от сторон, образующие угол
   
3. 
   Пропорционально делит сторону:
   

4. 
   
   

Перпендикуляры и Высоты

Точка пересечения срединных перпендикуляров является центром описанной окружности

Высоты также пересекаются в одной точке, но в отличии от медианы и биссектрис, точка пересечения может находиться вне треугольника

Вписанная, описанная окружность и связь

Теорема синусов

Теорема косинусов

Средняя линия

– средняя линия

Равнобедренные

1. 
   Б оковые стороны равны
   
2. 
   Углы при основании равны
   
3. 
   Биссектриса является и медианной, и высотой
   

Равносторонний

Прямоугольный

Проекции

Тригонометрия

Четырёхугольники

Параллелограмм Вариньона: если у любого четырёхугольника соединить все середины сторон, получиться параллелограмм.

Квадрат

Прямоугольник

Паралелаграмм

С войства:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   Диагонали в точке пересечения делятся пополам
   
4. 
   
   

Признаки:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   Диагонали делятся пополам
   

Ромб

Признаки:

1. 
   Параллелограмм, у которого смежные стороны равны
   
2. 
   Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями
   
3. 
   Параллелограмм, в который можно вписать окружность
   

Трапеция

Окружность

Основное

Углы

Углы равны, так как опираются на одну хорду.



Углы образованные от диаметра равны

Вписанная и описанная окружность

Если в четырёхугольнике, углы, опирающиеся на одну сторону равны ( ), то он вписан Если в четырёхугольнике противоположные углы в сумме дают , то он вписан. ( )

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны. Верно и обратное.

Хорды

Многоугольники

1. 
   Выпуклые: нет углов больше
   
2. 
   Невыпуклые
   

Правильный тот многоугольник, у которого все стороны и углы равны

Стереометрия

Шар

Конус / любая пирамида

Остальное