ЛАБРАБ№1_КритерииПР2022. Модели принятие решений в условиях риска

• Название: Модели принятие решений в условиях риска
• Дата: 05.11.2022
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: ЛАБРАБ№1_КритерииПР2022.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #771204

1
Лабораторная работа №1
Тема: Модели принятие решений в условиях риска.
Цель работы: смоделировать систему выбора оптимального решения в
соответствии с заданной целевой функцией.
1.Теоретическая часть.
Введение.
Состояние человека в большой мере зависит от степени удовлетворенности его потребностей. На них в свою очередь оказывают влияние состояние внешней среды и осуществляемая им деятельность. Под влиянием неблагоприятных внешних воздействий у человека появляются новые потребности. По словам Р. Акоффа, из-за их неудовлетворенности он испытывает чувства дискомфорта, беспокойства, волнения, тревоги. Человек стремиться выбраться из этого состояния, как-то изменить окружающую обстановку или приспособиться к ней. Поскольку существует множество вариантов решения данной задачи, возникает проблема выбора наилучшего или оптимального решения. Процесс выбора может протекать на основе различных критериев в зависимости от возможностей и предпочтений людей.
К наиболее часто используемым относятся минимизация издержек и максимизация эффекта. Задача выбора еще больше усложняется в условиях неопределенности или риска. Таким образом, критерии отражают позицию лица,
принимающего решение по отношению к риску.
Критерии выбора оптимального решения.
Поскольку значения критериев оптимальности зависят от величин, описывающих свойства процесса, используемые ресурсы и т. д., то их часто называют критериальными или целевыми функциями или функциями эффективности. В настоящее время можно выделить следующие их основные виды
(классические критерии):
- Оптимистический критерий;
- Минимаксный критерий;
- Критерий Байеса-Лапласа;
- Критерий Сэвиджа.

2
Критерий (функция выбора) Геометрическое представление
Матричное
Критерий
Вальда
(минимаксный)
}.
min max
|
{
0 0
0 0
ij
j
i
i
i
i
e
e
E
E
E
E




1
e
2
e
F
1
F
2
 
min
ij
j
e
E
1 1
1 1
E
2 3
3 3
E
3 7
1 1
E
4 2
2 2
E
5 3
1 1
E
6
4 4 4
E
7 5
1 1
E
8 4
2 2
E
9 5
3 3
E
10 6
2 2
4
Критерий азартного игрока
(оптимистический)
}
max max
|
{
0 0
0 0
ij
j
i
i
i
i
e
e
E
E
E
E




1
e
2
e
F
1
F
2
𝑚ax
𝑗
(𝑒
𝑖𝑗
)
E
1 1 1 1
E
2 3 3 3
E
3
7 1
7
E
4 2 2 2
E
5 3 1 3
E
6 4 4 4
E
7 5 1 5
E
8 4 2 4
E
9 5 3 5
E
10 6 2 6
7

3
Критерий Байеса-Лапласа
}.
1
max
|
{
1 1
0 0
0 0










n
j
j
n
j
j
ij
i
i
i
i
q
q
e
e
E
E
E
E
По умолчанию q=1/n.
1
e
2
e

F
1
F
2 1
n
ij
j
j
e q


E
1 1
1 1
E
2 3
3 3
E
3 7
1 4
E
4 2
2 2
E
5 3
1 2
E
6 4
4 4
E
7 5
1 3
E
8 4
2 3
E
9 5
3 4
E
10 6
2 4
4
Критерий Сэвиджа
)]}.
max
(
max
[
min
|
{
0 0
0 0
ij
ij
i
j
i
i
i
i
e
e
e
E
E
E
E





1
e
2
e
2
e

1
e

1
e

2
e

F
1
F
2 max
ij
ij
i
e
e

max(max
)
ij
ij
j
i
e
e

E
1 1 1 6
3 6
E
2 3 3 4
1 4
E
3 7 1 0
3 3
E
4 2 2 5
2 5
E
5 3 1 4
3 4
E
6 4 4 3
0 3
E
7 5 1 2
3 3
E
8 4 2 3
2 3
E
9 5 3 2
1
2
E
10 6 2 1
2
2
7 4
2

4
При выборе оптимистического критерия человек делает ставку на то, что выпадет наивыгоднейший случай. Фактически он соответствует максимальному значению риска и используется крайне редко. Обычно оптимистический критерий используется совместно с минимаксным критерием, как крайние точки, для оценки результатов принятия решения на основе других критериев.
Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием можно интерпретировать следующим образом. Матрица решений
ij
e
дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов каждой строки. Выбрать надлежит те варианты
0
i
E
, в строках которых стоят наибольшие значения этого столбца.
Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск.
Применение минимаксного критерия бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
- о возможности появления внешних состояний ничего не известно;
- приходиться считаться с появлением различных внешних состояний;
- решение реализуется лишь один раз;
- необходимо исключить какой бы то ни было риск, то есть ни при каких условиях не допускается получать результат, меньший, чем значение оценочной функции.
Критерий Байеса-Лапласа можно интерпретировать следующим образом.
Матрица решений
ij
e
дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты
0
i
E
, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.
При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
- вероятности появления состояний известны и не зависят от времени;
- решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;
- для малого числа реализации решения допускается некоторый риск.
При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой- либо риск практически исключен. Исходная позиция применяющего BL-критерий оптимистичнее, чем в случае минимаксного критерия, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.
Критерию Сэвиджа. Соответствующее S-критерию правило выбора можно интерпретировать так. Каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца. Полученные разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.
Условия применения данного критерия к ситуациям принятия решений соответствуют требованиям, предъявляемым в случае использования минимаксного критерия.

5
По сравнению с минимаксным критерием специфика критерия Сэвиджа состоит в том, что он более приспособлен к полю полезности, а соответствующая ему оптимизация соотносится с утопической точкой, и притом в смысле аппроксимации, равномерной относительно всех возможных состояний.
Из требований, предъявляемых рассмотренными критериями к анализируемой ситуации, ясно, что вследствие их жестких исходных позиций они применимы только для идеализированных решений. На практике учеными чаще всего применяется производные критерии, позволяющие с помощью изменения значений их параметров, устанавливать различную величину риска. К ним относятся в частности критерий Гурвица, критерий Ходжа-Лемана, критерий Гермейера.
Критерий Гурвица. Правило выбора согласно этому критерию можно интерпретировать так. Матрица решений дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки:
ij
j
ij
j
ir
e
c
e
c
e
max
)
1
(
min



Выбираются те варианты
0
i
E
, в строках которых стоят наибольшие элементы
ir
e
этого столбца.
Для
1

c
критерий Гурвица превращается в минимаксный критерий. Для
0

c
он превращается в критерий азартного игрока. Таким образом, путем изменения данного параметра осуществляется варьирование между этими двумя крайними точками исходя из значения допустимого риска.
Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
- о вероятностях появления состояний ничего не известно;
- с появлением состояний необходимо считаться;
- реализуется лишь малое количество решений;
- допускается некоторый риск.
Критерий Ходжа-Лемана. Правило выбора, соответствующее критерию
Ходжа-Лемана, формируется следующим образом. Матрица решений дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными коэффициентами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки:





n
j
ij
j
j
ij
ir
e
q
e
e
1
min
)
1
(


Отбираются те варианты решений
0
i
E
, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.
Рассматриваемым критерием предполагаются следующие свойства ситуации, в которой принимается решение:
- вероятности появления состояний неизвестны, но некоторые предположения о распределениях вероятностей возможны;
- принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;
- при малых числах реализаций допускается некоторый риск.

6
Критерий (функция выбора)
Геометрическое представление
Матричное
Критерий Гурвица
}
1 0
]
max
)
1
(
min
[
max
|
{
0 0
0 0









c
e
c
e
c
e
E
E
E
E
ij
j
ij
j
i
i
i
i
F
1
F
2
)
(
min
ij
j
e
)
(
max
ij
j
e
)
(
max
)
1
(
)
(
min
ij
j
ij
j
e
с
e
с


E
1 1
1 1
1 1
E
2 3
3 3
3 3
E
3
7
1
1
7
4,8
E
4 2
2 2
2 2
E
5 3
1 1
3 2,2
E
6 4
4 4
4 4
E
7 5
1 1
5 3,4
E
8 4
2 2
4 3,2
E
9 5
3 3
5 4,2
E
10 6
2 2
6 4,4
4,8
Критерий Ходжа-Лемана
}
1 0
]
min
)
1
(
[
max
|
{
1 0
0 0
0














n
j
ij
j
j
ij
i
i
i
i
e
q
e
e
E
E
E
E
По умолчанию q=1/n и v=0,5.
F
1
F
2
)
(
min
ij
j
e
1
n
ij
j
j
e q






n
j
ij
j
j
ij
e
q
e
1
]
min
)
1
(


E
1 1
1 1
1 1
E
2 3
3 3
3 3
E
3 7
1 1
4 2,5
E
4 2
2 2
2 2
E
5 3
1 1
2 1,5
E
6
4 4
4 4
4
E
7 5
1 1
3 2
E
8 4
2 2
3 2,5
E
9 5
3 3
4 3,5
E
10 6
2 2
4 3
4

7
Критерий Гермейера
}.
1
min max
|
{
1 0
0 0
0








n
j
j
i
ij
j
i
i
i
i
q
q
e
e
E
E
E
E
По умолчанию q=1/n.
F
1
F
2
𝑚𝑖𝑛
𝑗
(𝑒
𝑖𝑗
𝑞
𝑗
)
E
1 1 1 0,5
E
2 3 3 1,5
E
3 7 1 0,5
E
4 2 2 1
E
5 3 1 0,5
E
6
4 4
2
E
7 5 1 0,5
E
8 4 2 1
E
9 5 3 1,5
E
10 6 2 1
2

8
Критерий Гермейера . Исходно критерий ориентирован на величины потерь.
Правило выбора согласно этому критерию можно интерпретировать так. Матрица решений дополняется столбцом, содержащим минимум произведений элементов строки на вероятности появления соответствующих состояний:
Выбираются те варианты
0
i
E
, в строках которых стоят наибольшие элементы
ir
e
этого столбца.
В известном отношении G-критерий обобщает ММ-критерий. При равновероятном распределении они становятся идентичными. Если функция распределения известна не очень надежно, а число реализаций мало, то следуя G- критерию получаем неоправданно большой риск.
Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
- о вероятностях появления состояний ничего не известно;
- с появлением состояний необходимо считаться;
- решение реализуется один или много раз;
- допускается некоторый риск.
В случаях, когда требуется слишком сильная идеализация, можно одновременно применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится все-таки волевым образом выделять некоторой окончательное решение.
Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.
Задание:
Написать программу на языке высокого уровня, позволяющую осуществлять выбор оптимального решения в соответствии с двумя заданными целевыми функциями, а также сравнить результаты выбора по каждой их них. Оценки e
ij
для каждого i-го варианта решения по каждому j-му состоянию формируются случайно с помощью генератора псевдослучайных чисел. Рекомендуется получать числа в интервале от 1 до 100. В случае, если в критерии выбора предусматривается вероятности появления внешнего состояния, то они задаются произвольным образом так, чтобы их сумма по каждому состоянию для конкретного варианта решения не превышала единицы. Варианты заданий представлены ниже в таблице.
№ вар
Критерий выбора 1
Критерий выбора 2
Количество вариантов решения
Количество возможных состояний
Дополнительные параметры
1.
Критерий Сэвиджа
Критерий Гермейера
10 14
-
2.
Критерий Гурвица
Оптимистический критерий
10 14
с=0.3

9 3.
Критерий Ходжа-
Лемана
Критерий Байеса–
Лапласа
10 14
v=0.3
4.
Критерий Сэвиджа
Критерий Байеса–
Лапласа
10 14
-
5.
Критерий Гурвица
Минимаксный критерий
10 14
v=0.6
6.
Критерий Ходжа-
Лемана
Оптимистический критерий
10 14
с=0.4
7.
Критерий Сэвиджа
Оптимистический критерий
10 14
-
8.
Критерий Гурвица
Критерий Байеса–
Лапласа
10 14
c=0.7
9.
Критерий Ходжа-
Лемана
Минимаксный критерий
10 14
v=0.5
10.
Критерий Сэвиджа
Критерий Гермейера
12 12
-
11.
Критерий Гурвица
Оптимистический критерий
12 12
с=0.2
12.
Критерий Ходжа-
Лемана
Критерий Байеса–
Лапласа
12 12
v=0.5
13.
Критерий Сэвиджа
Критерий Байеса–
Лапласа
12 12
-
14.
Критерий Гурвица
Минимаксный критерий
12 12
v=0.7
12.
Критерий Ходжа-
Лемана
Оптимистический критерий
12 12
с=0.5
16.
Критерий Сэвиджа
Оптимистический критерий
12 12
-
17.
Критерий Гурвица
Критерий Байеса–
Лапласа
12 12
c=0.7
18.
Критерий Ходжа-
Лемана
Минимаксный критерий
12 12
v=0.4
19.
Критерий Сэвиджа
Критерий Гермейера
14 10
-
14.
Критерий Гурвица
Оптимистический критерий
14 10
с=0.6
21.
Критерий Ходжа-
Лемана
Критерий Байеса–
Лапласа
14 10
v=0.8
22.
Критерий Сэвиджа
Критерий Байеса–
Лапласа
14 10
-
23.
Критерий Гурвица
Минимаксный критерий
14 10
v=0.3
24.
Критерий Ходжа-
Лемана
Оптимистический критерий
14 10
с=0.4
25.
Критерий Сэвиджа
Оптимистический критерий
14 10
-
26.
Критерий Гурвица
Критерий Байеса–
Лапласа
14 10
c=0.4
27.
Критерий Ходжа-
Лемана
Минимаксный критерий
14 10
v=0.6
28.
Критерий Сэвиджа
Оптимистический критерий
14 12
–
29.
Критерий Гурвица
Минимаксный критерий
12 12
c=0.5
30.
Критерий Ходжа-
Лемана
Критерий
Байеса–
Лапласа
12 12
v=0.4

10
Контрольные вопросы
1. Записать выражение и геометрическое представление минимаксного критерия (критерия Вальда).
2. Записать выражение и геометрическое представление критерия азартного игрока.
3. Записать выражение и геометрическое представление критерия Сэвиджа
4. Записать выражение и геометрическое представление критерия Байеса-
Лапласа.
5. Записать выражение и геометрическое представление критерия Гурвица.
6. Записать выражение и геометрическое представление критерия Ходжа-
Лемана.
7. Записать выражение и геометрическое представление критерия Гермейера.
8. Какой из двух критериев в вашем варианте является более рискованным?