математические методы и модели анализа и прогнозирования развити. Модели прогнозирования экономических процессов Трендовые модели на основе кривых роста
 Скачать 300.97 Kb.
|
|
1.1. Построение моделей прогнозирования. В самом широком смысле ПРОГНОЗИРОВАНИЕ (в переводе с греческого πρόγνωσις – знание наперед, предсказание, предвидение) – определение тенденций и перспектив развития тех или иных процессов на основе анализа данных об их прошлом и нынешнем состоянии. Процедуры построения прогнозов используются практически во всех областях знания, в том числе в экономике, социологии, технике, образовании и т. д. Прогнозирование по своему характеру неразрывно связано со временем — посредством прогноза мы как бы пытаемся разглядеть будущее в настоящем. Способы такого «заглядывания в будущее» весьма разнообразны — от внутреннего голоса и исторических аналогий до экспертных оценок и сложных эконометрических моделей. Поэтому необходимость прогноза развития той или иной ситуации, будущих изменений тех или иных обстоятельств, ставит нас перед непростой проблемой выбора вполне конкретного метода прогнозирования. Этот выбор зависит от множества факторов. Отметим некоторые из них: наличие данных (количественное выражение накопленного в прошлом опыта), планируемый момент исполнения и желаемая точность прогноза, а также временные и стоимостные затраты на его составление. По тому, на какой момент или период времени он составляется, прогноз может быть: - краткосрочным – до года, но обычно на квартал; - среднесрочным – от года до трех лет; - долгосрочным – на три года и больше. Интуитивно ясно, что чем меньше промежуток времени, отделяющий настоящий момент от прогнозируемого, тем большим будет объем хорошо предсказываемых событий — для того, что может произойти завтра, прогноз значительно проще и достовернее, нежели для того, что произойдет через год или через пять лет. Хотя, конечно, реальное развитие событий может оказаться и весьма далеким от прогнозируемого. Итеративная процедура построения МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ, основана на идентификации, оценивании и диагностической проверке. Под идентификацией подразумевается использование любой информации о том, как были получены рассматриваемые числовые значения (как был генерирован ряд), с целью отыскания набора экономичных моделей, заслуживающих опробования. Экономичные модели должны обладать максимальной простотой и минимальным числом параметров, но при этом адекватно описывать наблюдения. Методы идентификации определяют класс пробных моделей, для которых применяются более формальные и эффективные методы оценивания. Под оцениванием подразумевается процедура получения оценок параметров моделей, определяющих адекватность моделей, ибо неадекватность выбранной модели может быть вызвана неэффективностью процедуры оценки параметров модели, а не тем, что неадекватен вид модели. Под диагностической проверкой подразумевается проверка согласования подогнанной модели с исходными данными, чтобы вскрыть недостатки модели и улучшить ее. В частности, метод диагностической проверки модели может базироваться на введении избыточного числа параметров, т. е. в оценивании параметров для несколько более общей модели, чем ожидаемая модель. Этот подход исходит из того, что мы можем угадать неадекватные свойства модели, и требует исследования остаточных ошибок после подгонки модели. Он позволяет определить, какие необходимы изменения модели. ИТЕРАЦИОННЫЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВКЛЮЧАЕТ В СЕБЯ СЛЕДУЮЩИЕ ЭТАПЫ. Этап 1. На основе теории и практики явления выбирается класс моделей, ориентируясь на те цели, для которых создается модель. Этап 2. Разрабатываются простейшие методы идентификации подклассов этих моделей. Процесс идентификации может быть использован для получения грубых предварительных оценок параметров моделей. Этап 3. Пробная модель подгоняется к экспериментальным данным; оцениваются ее параметры. Грубые оценки, полученные на этапе идентификации, теперь можно использовать как начальные значения в более точных итеративных методах оценивания параметров. Этап 4. Диагностические проверки позволяют выявить возможные дефекты подгонки и диагностировать их причины. Если такие дефекты не выявлены, модель готова к использованию. Если обнаружено какое-либо несоответствие, итеративные циклы идентификации, оценок и диагностической проверки повторяются до тех пор, пока не будет найдено подходящее представление модели. В практике широко применяются параметрические модели, что повысило интерес к задачам оценивания параметров и к родственным вопросам при построении таких моделей по экспериментальным данным. На практике отыскание подходящей математической модели прогнозирования какого-либо социально-экономического процесса может быть достаточно трудной задачей. При построении модели надо стремиться ответить на следующие вопросы: 1) как оценить качество модели; 2) как учесть всю имеющуюся информацию; 3) в чем состоит оптимальная стратегия получения недостающей информации; 4) как поступить с нелинейностями; 5) можно ли аппроксимировать сложную систему простой моделью. Ответы на эти вопросы зависят от конкретного класса экономико-математических систем. 1.2. Методы составления прогнозов. Многие методы прогнозирования требуют наличия значительного количества начальных данных и при их отсутствии просто не работают. Другие, напротив, разрабатываются при условии отсутствия достоверной количественной информации. Тем самым существующие методы составления прогнозов можно условно разбить на две группы — количественные и качественные. Качественные, или экспертные, методы прогнозирования (qualitative methods) строятся на использовании мнений специалистов в соответствующих областях (экспертов). Количественные методы прогнозирования (quantitative methods) основываются на обработке числовых массивов данных (как значительных по объему, так и сравнительно небольших) и в свою очередь разделяются на каузальные, или причинно-следственные, методы (causal methods) и методы анализа временных рядов (time series methods). Основанный на допущении, в соответствии с которым происшедшее в прошлом дает хорошее приближение в оценке будущего, анализ временных рядов является способом выявления тенденций прошлого и продления их в будущее. Для составления среднесрочных и долгосрочных прогнозов применяются каузальные и качественные методы прогнозирования, которые значительно сложнее методов анализа временных рядов. Каузальные методы применяются в тех случаях, когда искомое состояние зависит не только от времени, но и от нескольких, и даже многих переменных. Отыскание математических связей (уравнений и/или неравенств) между всеми этими переменными и составляет суть каузального метода прогнозирования. Далее мы остановимся на описании особенностей каждого из перечисленных выше типов прогнозирования более подробно, а также расскажем о некоторых конкретных методах составления прогнозов. 1.3. Количественные методы прогнозирования. В задачах прогнозирования временные ряды используются при наличии значительного количества реальных значений рассматриваемого показателя из прошлого и при условии, что наметившаяся в прошлом тенденция ясна и относительно стабильна. При этом неявно предполагается, что прошлое является хорошим проводником в будущее. Анализ временных рядов позволяет предопределить, что должно произойти при отсутствии вмешательства извне, и, значит, не может предсказать изменения тенденции. Тем самым, подобным анализом предпочтительнее пользоваться при составлении краткосрочных прогнозов. Важнейшей задачей анализа временных рядов является выявление основной тенденции поведения системы, как результата влияния комплекса причин, действующих на изучаемый процесс. Можно выделить два вида прогнозируемых характеристик системы, зависящих от времени: переменные состояния и переменные интенсивности. Переменная состояния определяется периодически, и ее значение в течение небольшого интервала времени не зависит от времени, прошедшего с момента начала наблюдения. Переменная интенсивности также определяется периодически, но ее значение пропорционально времени, прошедшему с момента предыдущего наблюдения. Если переменная состояния характеризует количество, то переменная интенсивности — скорость его изменения. Величина промежутков времени между измерениями входных переменных системы с целью проверки и уточнения ранее сделанных прогнозов о выводных переменных зависит главным образом от длительности времени упреждения и наибольшей частоты циклических изменений в системе, которые должна отражать модель. Математическую модель системы называют детерминированной, если входящие в нее описания воздействия и параметры модели являются постоянными или детерминированными функциями переменных состояния и времени. Математическую модель системы называют статистической (стохастической), если функции, описывающие воздействия и параметры модели, являются случайными функциями или случайными величинами. Для стохастических (вероятностных) динамических систем текущее состояние в момент t1, то есть значение показателя x1 = x(t1) и входное воздействие ω = ω(t1,t2) определяют в момент t2 не x2 = Х(t2), а лишь его вероятностное распределение. Модели временных рядов и исследуемых процессов, необходимые для получения оптимального прогнозирования, в действительности являются стохастическими, поскольку на изучаемый процесс действует большое число неизвестных факторов и нельзя предложить детерминированную модель, допускающую точное вычисление будущего поведения объекта. Можно вычислить вероятность того, что некоторое будущее значение будет принадлежать определенному интервалу. В дальнейшем будем различать вероятностную модель или стохастический процесс и наблюдаемый временной (вариационный) ряд: x1, x2,..., xn, который рассматривается как выборочная реализация. Исходные данные обычно представляют собой результаты выборочных наблюдений либо переменной интенсивности, либо переменной состояния. Результаты наблюдений регистрируются с ошибками, которые возникают как при наблюдениях, так и при регистрации данных. Кроме того, изучаемый процесс может иметь стохастическую природу. Результаты наблюдений могут содержать и аномальные эффекты. Поэтому не каждую совокупность зарегистрированных по мере поступления реальных данных следует считать подходящим рядом, на основании которого можно составлять прогноз. Перед тем как подобрать коэффициенты модели по исходным данным, из последних должны быть исключены выбросы, т. е. результаты наблюдений, которые не характеризуют прогнозируемый процесс. Ни в одном из статистических методов прогнозирования не может быть заранее предусмотрено изменение модели прогнозируемого процесса. Во многих случаях изменения в изучаемом процессе можно предвидеть заранее, но в модель прогноза они не менее не включаются, так как последствия таких изменений не могут быть точно рассчитаны. Тем не менее, на основе тщательного анализа различных вариантов можно предсказать характер изменений. В любой отдельный период времени существует, очевидно, несколько серий прогнозов, отличных от простого описательного прогноза. Это позволяет минимизировать время, затрачиваемое на внесение изменений. Модель прогноза может все более усложняться, когда это экономически оправдано и позволяет глубже проникнуть в механизм наблюдаемых явлений. При представлении совокупности результатов наблюдений в виде временных рядов фактически используется предположение о том, что наблюдаемые величины принадлежат некоторому распределению, параметры которого и их изменение можно оценить. По этим параметрам (как правило, по среднему значению и дисперсии, хотя иногда используется и более полное описание) можно построить одну из моделей вероятностного представления процесса. Другим вероятностным представлением является модель в виде частотного распределения с параметрами pj для относительной частоты наблюдений, попадающих в j-й интервал. При этом если в течение принятого времени упреждения не ожидается изменения распределения, то решение принимается на основании имеющегося эмпирического частотного распределения. При проведении прогнозирования необходимо иметь в виду, что все факторы, влияющие на поведение системы в базовом (исследуемом) и прогнозируемом периодах, должны быть неизменны или изменяться по известному закону. Первый случай реализуется в однофакторном прогнозировании, второй — при многофакторном. Многофакторные динамические модели должны учитывать пространственные и временные изменения факторов (аргументов), а также (при необходимости) запаздывание влияния этих факторов на зависимую переменную (функцию). Многофакторное прогнозирование позволяет учитывать развитие взаимосвязанных процессов и явлений. Основой его является системный подход к изучению исследуемого явления, а так же процесс осмысливания явления, как в прошлом, так и в будущем. В многофакторном прогнозировании одной из основных проблем является проблема выбора факторов, обуславливающих поведение системы, которая не может быть решена чисто статистическим путем, а только при помощи глубокого изучения существа явления. Здесь следует подчеркнуть примат анализа (осмысливания) перед чисто статистическими (математическими) методами изучения явления. В традиционных методах (например, в методе наименьших квадратов) считается, что наблюдения независимы друг от друга (по одному и тому же аргументу). В действительности существует автокорреляция и ее неучет приводит к неоптимальности статистических оценок, затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, а также проверку их значимости. Автокорреляция определяется по отклонениям от трендов. Она может иметь место, если не учтено влияние существенного фактора или нескольких менее существенных факторов, но направленных «в одну сторону», либо неверно выбрана модель, устанавливающая связь между факторами и функцией. Для выявления наличия автокорреляции применяется критерий Дурбина—Уотсона. Для исключения или уменьшения автокорреляции применяется переход к случайной компоненте (исключение тренда) или введение времени в уравнение множественной регрессии в качестве аргумента. В многофакторных моделях возникает проблема и мультиколлинеарности — наличие сильной корреляции между факторами, которая может существовать вне всякой зависимости между функцией и факторами. Выявив, какие факторы являются мультиколлинеарными, можно определить характер взаимозависимости между мультиколлинеарными элементами множества независимых переменных. В многофакторном анализе необходимо наряду с оценкой параметров сглаживающей (исследуемой) функции построить прогноз каждого фактора (по неким другим функциям или моделям). Естественно, что значения факторов, полученные в эксперименте в базисном периоде, не совпадают с аналогичными значениями, найденными по прогнозирующим моделям для факторов. Это различие должно быть объяснено либо случайными отклонениями, величина которых выявлена указанными различиями и должна быть учтена сразу же при оценке параметров сглаживающей функции, либо это различие не случайно и никакого прогноза делать нельзя. То есть в задаче многофакторного прогнозирования исходные значения факторов, как и значения сглаживающей функции, должны быть взяты с соответствующими ошибками, закон распределения которых должен быть определен при соответствующем анализе, предшествующем процедуре прогнозирования. 1.4. Каузальные методы прогнозирования. В случае значительных требований к точности прогноза и при наличии большого (даже огромного) массива данных используются каузальные, или причинно-следственные, модели прогнозов, в которых прогнозируемая величина является функцией большого числа переменных. Объемы продаж товара могут зависеть от цены продукта, затрат на рекламу, действий конкурентов, уровня доходов и других независимых переменных. Если связи между этими переменными удается описать математически корректно, то точность каузального прогноза может оказаться довольно высокой. Но как правило, это требует больших объемов данных и существенно больших интеллектуальных, временных и финансовых затрат, чем анализ временных рядов. К тому же расчет каузальных моделей связан с большими объемами вычислений, что возможно лишь при наличии мощной вычислительной техники. Мы ограничимся краткой характеристикой трех каузальных методов прогнозирования 1) Многомерные регрессионные методы (модели) (multiple regression models), посредством которых регрессионная зависимость между величинами устанавливается по статистическим данным, являются наиболее распространенными количественными методами прогнозирования. Простейшее представление о регрессионных моделях дает описанный выше метод проецирования тренда, в котором регрессионная зависимость устанавливается между прогнозируемым показателем и одной переменной — временем. Многомерные модели линейной регрессии можно рассматривать как естественное обобщение этого метода. 1) 2) Эконометрические методы (модели) (econometric models) дают количественное описание закономерностей и взаимосвязей между экономическими объектами и процессами и разрабатываются для прогнозирования динамики экономики. Типичная эконометрическая модель представляет собой систему из тысяч уравнений, решение которой требует мощных вычислительных средств. 2) 3) Компьютерная имитация (computer simulation). С появлением современных вычислительных средств уровень сложности математических моделей, при помощи которых можно делать правильные предсказания о динамике процессов, существенно вырос. Появились модели, способные создавать «иллюзию реальности». Называемые имитационными, эти модели являются как бы промежуточным звеном между реальностью и обычными математическими моделями. |