Ответы. Модуль непрерывности функции одной переменной на множестве. Равномерная непрерывность

• Название: Модуль непрерывности функции одной переменной на множестве. Равномерная непрерывность
• Дата: 02.10.2022
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: Ответы.docx
• Тип: Документы; #709258
• страница: 3 из 5

13. Интегрирование по частям. Признаки Абеля и Дирихле.
Рассмотрим , где - непрерывна на ,
.
Пусть – первообразная , тогда



Если существует - конечный и существует - сходящийся, то существует , то есть интеграл сходящийся.
Первый признак сходимости (Абеля).

Если ограничена на , и - сходящийся абсолютно, то - сходящийся.
Доказательство:
Рассмотрим

Рассмотрим , он абсолютно сходящийся:
- сходящийся по условию. Значит,

интеграл сходится.
Признак Дирихле.
Если - ограниченная на , знакопостоянная монотонно стремится к 0 при , то интеграл сходящийся.
Доказательство:

Так как - знакопостоянная, то меняя знак, мы всегда можем добиться того, чтобы . Рассмотрим этот случай.

Очевидно,

Надо доказать, что – сходится. Рассмотрим случай , с учетом невозрастания , тогда

- сходится, тогда исходный интеграл сходящийся по первому признаку.
Пример. Исследуем на сходимость
–

сходящийся.

- расходящийся, а - сходящийся по признаку Дирихле, значит и весь исходный интеграл расходится. Таким образом, сходится условно.

14. Гамма-функция Эйлера. Определение, сходимость, свойства.
О. Пусть задано число – сходится и его значение = Г(

Рассмотрим интеграл .

1) n=1



Далее рассмотрим интеграл

Положим . Исходя из предыдущего, если - натуральное, то



Докажем корректность( то есть, что интеграл сходится):

Если , то единственная особенность в точке .

- две особенности: 0; .

Чтобы сразу захватывать оба случая, рассмотрим интеграл отдельно на двух промежутках.

- сходится вне зависимости от .

Рассмотрим этот интеграл при

интеграл сходится. Таким образом, исходный интеграл сходится при любом положительном .

При доказательстве того, что у нас получилось свойство:

. В доказательстве не было существенно, какое n.

Если в доказательстве этого равенства вместо поставить произвольное положительное , ничего не изменится, следовательно, мы получим свойство гамма-функции:

Таким образом, гамма-функция Эйлера – обобщение понятие факториала на все положительные числа.





15. Открытые и замкнутые множества.
Рассмотрим про-во ,состоящее из точек с координатами

Расстояние между двумя точками:

- Евклидова метрика.

;

• 
  Замкнутым шаром с центром в и радиусом называется множество точек
  
• 
  Открытый шар :
  

Определение: точка называется внутренней точкой множества A, если она принадлежит A вместе с некоторым открытым шаром



множество, у которого все точки внутренние называется открытым.

Примеры:

1. 
   является открытым
   
2. 
   - открытое
   
3. 
   - открытое
   

Док-во:

Возьмем произвольную т. из открытого шара, тогда: возьмем , тогда рассмотрим шар с центром в точке и радиусом : тогда по нер-ву треуг. т.е. любая точка, принадлежащая маленькому шару, принадлежит и большому шару. (т.к. , а мы брали , поэтому , а значит и )

4. 
   - не открытое
   

если взять такую что , то

Определение: предельная точка множества А:

1. 
   Если в шаре (в её окрестности) содержатся эл-ты множества А
   
2. 
   Если точка принадлежит множеству А.
   

Точка называется граничной, если в любой её окрестности есть и точки принадлежащие множеству и точки, не принадлежащие множеству.

Множество, содержащее все свои предельные, точки называется замкнутым.
Пустое множество является одновременно откр и замк.

А - открытое

A – пустое множество открытое

А – замкнутое х- предельное

(пустое множество) – предельных точек нет

А- замкнуто , то – А открыто

А – открыто, то – А замкнуто
Теорема : Дополнение множ-ва

1. 
   А- открытое - замкнуто
   

Предположим, что не замкнуто. предельная точка , .





Но - предельная точка



Противоречие : , - замкнуто

2. 
   А – замкнуто - открыто
   

Нужно доказать : - открыто т.е.

Предположим

Значит

Значит - предельная точка для А, аА замкнуто, - противоречие.
16. Предел последовательности в . Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Предел последовательности – это последовательность точек ;

, если >0  k> ; ( )<

– предельная точка множества А, когда { }, ;

Ограниченное мн-во:

А – огр., если С АВ( ); ( ) 

Утверждение: Пусть { } сходится только тогда, когда имеет место покоординатная сходимость.

i, 

Д-во:

 >0  ( ) <; ( ) = | |;

i | |<;  ;
 i тогда для каждой координаты  будет справедливо

| |< ; ; k> тогда ( ) = =;
Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из любой ограниченной п-ти можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Д-во: Пусть последовательность ограничена: | | } – тоже ограничена, потому что: { }< | |
Сначала извлекаем сходящуюся последовательность из последовательности : она ограничена, поэтому из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность: сход. .Теперь рассмотрим подпоследовательность второй координаты : она тоже является ограниченной, значит из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность , при этом последовательность , осталась сходящейся. , потому что - подпоследовательность , и т.д. Т.е. когда мы получили подпоследовательность , то она будет сходящейся, и все остальные последовательности координат тоже при этом остаются сходящимися. Значит, и - тоже сходится, т.к. есть покоординатная сходимость. Теорема доказана.