Ответы. Модуль непрерывности функции одной переменной на множестве. Равномерная непрерывность

• Название: Модуль непрерывности функции одной переменной на множестве. Равномерная непрерывность
• Дата: 02.10.2022
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: Ответы.docx
• Тип: Документы; #709258
• страница: 2 из 5

7. Свойства определенного интеграла: аддитивность, однородность, неравенства, теоремы о среднем.
Аддитивность:

Функция f интегрируема на [a;b] ⇔ когда она интегрируем на [a;c] ∪ [c;b], c ∊ (a;b) и справедливо:

Д-во: ⊳Если - разбиения соответственно отрезков [a;c] и [c;b], то объединение этих разбиений является разбиением [a;b], причём

Пусть и – интегральные суммы ф-ии f ⟹ = + . И т.к. f интегрируема на [a;b], то она интегрируема на [a;c] и [c;b]. И тогда выполняются условия интегрируемости: тогда перейдя к пределу в равенстве (2) при условии и в силу (1) получим (0).
Однородность:

Ф-ии f и g интегрируемы на [a;b]. λ ∈ R и μ ∈ R, ф-я также интегрируема на этом отрезке и

Д-во: ⊳
Неравенства:

Ф-ии f и g интегрируемы на [a;b] и , x

Д-во: ⊳Из Перейдем к пределу при , получим
Теорема о среднем:

Пусть на [a;b]:

1)f и g интегрируемы.

2) .

3)g не меняет знака.

Тогда

Д-во: ⊳







Если и Если , а при

| :

m , пусть
Следствие:

Если непрерывна на и выполняется условие теоремы, то

Д-во:

Т.к. непрерывна на , то она достигает своего max и min значения, а в силу непрерывности sup=max, inf=min; значит - по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции. Следствие доказано.
Следствие к следствию:

Если непрерывна на , то

Д-во:

Возьмем , тогда (по следствию) . Следствие доказано.

Геометрический смысл этого следствия:
Если считать площадь криволинейной трапеции, то найдется такая точка , что площадь этой криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника с высотой .


8. Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность.

Рассмотрим функцию , интегрируемую на отрезке . По аддитивному свойству интеграла: , можно найти отрезок на котором представляется возможным рассмотреть функцию .

Теорема:

Если функция интегрируемая на отрезке , то непрерывна на отрезке .

Доказательство:

Рассмотрим функцию , где , где . Теорема доказана

9. Дифференцируемость интеграла, как функции верхнего предела. Теорема Ньютона-Лейбница.
Пусть f(x) – непр. на [a,b], значит она интегрируема, значит  F(x). Тогда F(x) дифф-ма на (a,b) и  (a,b) F’( )=f

Д-во:


F= где c[ ] ( если x<0: c[ ])

При . Тогда
Следствие 1:

Если непр. на [a,b], то она имеет первообразную F(x) на [a,b];

Д-во: непр. на [a,b] F(x)= то для непр.
Следствие 2 (Ф-ла Ньютона-Лейбница):
Если непр. на [a,b], то она интегрируема на [a,b]    существует мн-во первообразных F(x). Пусть G(x) – произвольная п/о. Тогда справедливо:
Пусть F(x)= F(b)=

F(a)=0; F(a)-F(b)= G(x)=F(x)+C  G(b)-G(a)=F(b)-F(a)= ;

10. Несобственные интегралы. Определение. Виды. Сходимость. Критерий Коши.
Опр: Пусть задана на луче и интегрируема на любом конечном отрезке . Если существует предел , то он называется несобственным интегралом первого рода и обозначается .

Опр: Пусть задана на полуинтервале , интегрируема на любом конечном отрезке , ( ) и неограниченна в окрестности точки . Если существует предел , то он называется несобственным интегралом второго рода и обозначается .
Если указанные пределы конечные, то интегралы называются сходящимися, если бесконечные, то расходящимися, если пределы не существуют, то, говорят, что несобственные интегралы не существуют.

Теорема: (Критерий Коши сходимости несобственных интегралов)

Пусть задан интеграл с единственной особенностью в точке ( неограниченна в точке или ). Для его сходимости необходимо и достаточно выполнения условия Коши:

Д-во: Рассмотрим функцию Тогда сходимость интеграла означает существование конечного предела функции при , а этот конечный предел, согласно Критерию Коши для функции , существует в том и только том случае, когда удовлетворяет условию:

.

Но . Теорема доказана.


11. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения, предельный признак сравнения, частный признак сравнения с интегралами ,

Теорема: Если , то для сходимости необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена сверху, т.е.

Д-во: Так как возрастающая функция, то из сходимости интеграла следует Обратно, если возрастающая функция и ограничена сверху, то она имеет конечный предел. Теорема доказана.

Теорема: (Признак сравнения). Если выполняется условие , тогда:

а) Из сходимости следует сходимость ;

б) Из расходимости следует расходимость .

Д-во: а) Имеем Так как , то по предыдущей теореме сходится.

б) Из расходимости следует расходимость . Предположим обратное, что сходится, тогда по пункту а) тоже сходится. Противоречие. Теорема доказана.

Теорема: (Предельный признак сравнения). Пусть функции и положительны и , тогда несобственные интегралы и сходятся и расходятся одновременно.

Д-во: . Раскрывая последнее неравенство и используя признак сравнения, получим, что интегралы и сходятся и расходятся одновременно. Теорема доказана. (Частный признак сравнения) Известно, что интеграл вида сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1. Опираясь на теорему о предельном признаке сравнения, находим в подынтегральной функции разность старших степеней числителя и знаменателя и приходим к выводу, что интеграл необходимо сравнить с интегралом вида где р – найденная разность. Предел отношения подынтегральных функций должен оказаться конечным. На основе значения p делаем вывод о сходимости и расходимости.


12. Абсолютно сходящиеся интегралы.

Определение 1. Рассмотрим с единственной особенностью в точке , конечной или бесконечной, тогда если , у него, естественно, тоже единственная особенность в точке , сходящийся, то называется абсолютно сходящимся.
Теорема: если интеграл абсолютно сходится, то он сходится.

Доказательство:

Нам дано, что сходится.

По критерию Коши . Это уже наш обычный определенный интеграл Римана. Для него есть неравенство:
критерий Коши выполняется и для , то есть, по критерию Коши уже для нашего интеграла, он сходящийся.

Кроме того, , тогда , переходя к пределу при . Сразу мы такого сделать не могли, так как мы не знаем, существует ли этот предел слева или нет. Из того, что интеграл ограничен, существование предела еще не следует. Функция может быть не монотонна, поэтому мы и доказали сначала существование этого интеграла, а потом уже неравенство.
По признаку сравнения мы тоже так сделать не могли, так как он только для знакопостоянных функций.

Определение 2. Если - сходящийся, а - расходящийся, то называется условно сходящимся.
Когда мы исследуем интеграл от не знакопостоянной функции, мы должны сначала исследовать его сначала на абсолютную сходимость, если получится, что он абсолютно расходится, то надо исследовать на условную сходимость. Если он сразу абсолютно сходится, то все хорошо.

Пример.

Исследуем на абсолютную сходимость интеграл ;

- сходящийся, значит и исходный интеграл сходящийся, то есть интеграл сходится абсолютно. Признаком сравнения мы сразу не имеем права пользоваться, потому что косинус у нас на этом промежутке может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому мы исследуем интеграл на абсолютную сходимость