Ответы. Модуль непрерывности функции одной переменной на множестве. Равномерная непрерывность

• Название: Модуль непрерывности функции одной переменной на множестве. Равномерная непрерывность
• Дата: 02.10.2022
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: Ответы.docx
• Тип: Документы; #709258
• страница: 4 из 5

17. Предел функции нескольких переменных. Свойства. Предел по направлению.
1.Предел функции.

Определение1 (по Гейне): Пусть задана функция f из некоторого множества A→R ;A ⸦ , точка - внутренняя точка A, если , , то .

Определение: Окрестностью точки называется любое открытое множество, содержащее в себе некоторый открытый шар с центром в точке .

Определение2 (по Коши): , если f определена в некоторой окрестности точки ,

за исключением, быть может, самой точки (в ), и выполняется условие

Определения по Коши и по Гейне эквивалентны, доказательство этого проводится аналогично доказательству для функций одной переменной.
Теорема1 (критерий Коши существования предела функции):

Существование конечного предела функции эквивалентно выполнению условия Коши: выполняется условие Коши:



Доказательство аналогично случаю с одной переменной.
2.Свойства пределов функций многих переменных.

Теорема1 (ограниченность сходящейся функции):

Если функция имеет конечный предел , где – конечное или бесконечное, то ограничена в некоторой выколотой окрестности точки ( в ).

.

Теорема2 (о сохранении знака):

Если функция имеет конечный предел и , а – конечное или бесконечное, то существует окрестность такая, что . Более того, , и .

Теорема3 (предельный переход под знаком неравенства):

Если в некоторой выколотой окрестности , то .

Теорема4: (лемма о двух милиционерах):

Если в некоторой выколотой окрестности , и , то .

Теорема5: (арифметические свойства пределов):

Пусть , где A и B – конечные, – конечное или бесконечное, то

1.

2.

, где С – константа

3. Если
3.Пределы по направлениям.

Пусть задана функция , определенная в некоторой .

Рассмотрим произвольный вектор , тогда, так как функция определена в некоторой окрестности точки , она будет определена для всех точек вида , тогда можно рассмотреть уже функцию одной переменной: . И можно рассмотреть ее предел . Этот предел называется пределом функции по направлению .



18. Непрерывность функции нескольких переменных. Непрерывность функции на замкнутом множестве.
Определение:

Функция f(x,y) непрерывна в точке (x₀,y₀) ,если она определена в некоторой её окрестности, в самой точке (x₀,y₀) и если предел f(x,y) в этой точке равен её значению в ней:



Эквивалентная форма:



Если ввести приращение функции u=f(x,y) в точке (x,y), соответствующее приращениям аргументов,



то функция непрерывна в точке (x,y), если


Определение:

Точка x₀ называется внутренней точкой множества G, если существует круг с центром в точке x₀

, полностью принадлежащий множеству G.

Определение:

Точка x₀ называется внешней точкой множества G, если существует шар с центром в точке x₀

такой, что ни одна его точка не принадлежит множеству G.

Определение:

Точка x₀ называется граничной точкой множества G, если существует шар с центром в точке x₀

, содержащий точки принадлежащие множеству G и не принадлежащие множеству G.
Множество называется открытым, если все его точки – внутренние.
Множество G называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
F(x) – непрерывна в граничной точке какого-то множества A. x⁰ – граничная точка : x⁰


ꓯԐ>0 ∃δ>0 ꓯ < δ -> | f( ) –f( )|< Ԑ
Теорема 1. Если f – непрерывна на А - замкнутое, ограниченное множество, то f ограничена на нем.

Доказательство: 

Пусть не ограничена на , тогда .

Множество - ограниченное, следовательно, и последовательность - ограниченная, значит, по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно извлечь сходящуюся к (в силу замкнутости) подпоследовательность . Мы получаем, что , а , значит в силу непрерывности. Получили с одной стороны больше , а с другой стороны стремится к . Противоречие: не может стремиться к конечному числу, потому что оно больше . Теорема доказана.
Теорема 2. Функция, непрерывная на замкнутом, ограниченном множестве, достигает своего максимального и минимального значения.

Доказательство:

Рассмотрим множество . Это множество по предыдущей теореме ограниченное, значит, существуют и .

Рассмотрим случай максимума, для минимума все аналогично.

Тогда по определению супремума .

Из последовательности (ограниченной) выделяем сходящуюся ,

. Перейдем к пределам, так как непрерывна, получим, что .

Теорема доказана.

19. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных, дифференциал. Необходимые условия дифференцируемости.
Частные производные.

Пусть задана f( ) определена в некоторой окрестности точки .

Зададим приращение h переменной x_i так, чтобы точка попала в ( ).

- частная производная. Частная производная есть обычная производная от функции, рассматриваемой как функция только от той переменной, по которой берется производная при фиксированных остальных переменных.
Если у функции существует частная производная снова по x, то её называют частной производной второго порядка от функции f и обозначают .
Если у функции существует частная производная по y, то её называют смешанной частной производной второго порядка от функции f и обозначают .
Дифференциал:

Определение:

Если приращение функции f в точке (x,y,z) для достаточно малых ( ) может быть записано в виде суммы +o(p) p= ,где A,B,C – числа не зависящие от , то говорят, что функция f дифференцируема в точке (x,y,z). Т.е. приращение функции можно записать в виде суммы двух слагаемых : первое слагаемое есть линейная функция от – главная линейная часть приращения второе же слагаемое зависит от

Теорема  (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет непрерывные частные производные в точке , то ее приращение представимо в виде:

где частные производные вычислены в точке , т.е. не зависят от приращений.

Доказательство:

Пусть задана функцияf(x). Пусть в некоторой точке функция fимеет непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки . Т.к. эти производные непрерывны в точке , это означает, что все они существуют в некоторой окрестности точки . Зададим приращения таким образом, чтобы точка с координатами попала в ту окрестность, в которой функция имеет частные производные.

Рассмотрим приращение функции:

,p->0



Т.к.


Чтд

Пояснения:

По теореме Лагранжа :

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Для того чтобы функция f была дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.

Доказательство:

Проведем теперь рассуждения в обратную сторону: пусть задана функция f, дифференцируемая в точке , тогда ее приращение представимо в виде:

, где , в том числе по любому направлению. Возьмем в качестве приращения ) тогда p=| |->0 при .

Тогда получим, что
Разделим на и устремим к нулю, получим:



Слева – частная производная , справа - , т.е. .

Таким образом, мы получили, что если функция дифференцируема в точке с координатами , то она имеет частные производные первого порядка и дифференциал .

20. Дифференцируемые функции. Касательная плоскость.

Рассмотрим частный случай, функцию трех переменных. Пусть задана функция f: - открытое множество. Пусть в некоторой точке функция fимеет непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки . Т.к. эти производные непрерывны в точке , это означает, что все они существуют в некоторой окрестности точки . Зададим приращения таким образом, чтобы точка с координатами попала в ту окрестность, в которой функция имеет частные производные.
Рассмотрим приращение функции:



Теперь обозначим , тогда условие эквивалентно условию , потому что ранее было показано, что каждый куб содержится в шаре, каждый шар содержится в кубе, и условие .
Докажем, что :

при .

Доказано.
Итак мы получили, что если функция имеет непрерывные частные производные в точке , то ее приращение представимо в виде:

, где частные производные вычислены в точке , т.е. не зависят от приращений.
Определение: Если задана f: - открытое множество, точка и если в этой точке приращение функции представимо в виде: , где не зависят от приращений , то функция f называется дифференцируемой в точке , а - дифференциал функции. Это главная линейная часть приращения функции. Линейная – потому что дифференциал линейно зависит от приращения аргумента, главная – потому что то, на что дифференциал отличается от приращения функции, имеет больший порядок малости.
Итак, мы доказали для случая 3-х переменных (для случая n переменных доказывается точно так же, только более громоздко), что если f имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема и . Кроме того, дифференциал можно рассматривать как линейный оператор:

возьмем в качестве A вектор , то , где .
Проведем теперь рассуждения в обратную сторону: пусть задана функция f, дифференцируемая в точке , тогда ее приращение представимо в виде: , где , в том числе по любому направлению. Возьмем в качестве приращения , тогда при .

Получим, что

Разделим на и устремим к нулю, получим:



Слева – частная производная , справа - , т.е. .

Таким образом, мы получили, что если функция дифференцируема в точке с координатами , то она имеет частные производные первого порядка и дифференциал .

Мы доказали общую теорему:
Теорема (необходимое и достаточное условия дифференцируемости):

• 
  Необходимое условие: если функция f дифференцируема в точке , то она имеет частные производные.
  
• 
  Достаточное условие: если существуют непрерывные частные производные, то функция f дифференцируема.
  

Таким образом, получается следующая цепочка:

непрерывность ч.п. функция дифференцируема существуют частные производные

Ни в том, ни в другом месте стрелку в обратную сторону поставить нельзя, т.е. необходимое условие не является достаточным, достаточное не является необходимым.