Кодификатор знаний. Инженерка. Н. А. Справчикова, Е. В. Костикова кодификатор знаний
 Скачать 2.59 Mb.
|
|
Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Самарский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра начертательной геометрии и инженерной графики Н.А. Справчикова, Е.В. Костикова КОДИФИКАТОР ЗНАНИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Сборник задач Утвержден редакционно-издательским советом университета 2 декабря 2009 г. Самара 2010 УДК 744.4 (072) Составители: Справчикова Н.А., Костикова Е.В. Кодификатор знаний по начертательной геометрии: сборник задач / сост. Н.А. Справчикова, Е.В. Костикова. – СГАСУ- Самара, 2010. - 78 с. Составлено в соответствии с УМКД дисциплины «Начертательная геометрия» первого семестра первого курса для студентов общетехнических специальностей дневной формы обучения. Сборник задач составлен на кафедре «Начертательная геометрия и инже- нерная графика». В нем содержатся основные правила, аксиомы и определения различных разделов начертательной геометрии, проиллюстрированные подробными и четкими чертежами. Приведены примеры тестовых вопросов и даны подробные объяснения правильных ответов на эти вопросы. Материал, изложенный в сборнике задач, необходим при изучении дисциплины «Начертательная геометрия», а так же для подготовки к раз- личным проверочным тестам, в том числе к централизованному интернет- тестированию, к подготовке экзаменационной работы по дисциплине, к промежуточному тестированию по пройденным разделам начертатель- ной геометрии. Настоящее учебное пособие не может быть полностью или частично воспроизведено, тиражировано (в том числе ксерокопировано) и расп- ространено без разрешения Самарского государственного архитектурно- строительного университета. © Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 2010 3 1 Метод проекций. Виды проецирования Процесс отображения точек пространственного предмета на плоскость проекций с помощью проецирующих линий на- зывается проецированием. Проецирование может быть центральным, параллельным и ортогональным. Проецирование называют центральным, если проецирую- щие лучи проходят через одну точку S – центр проецирования (чертеж 4 рис. 1). С помощью центрального проецирования строятся перспективные изображения. Проецирование называют параллельным, если проециру- ющие лучи параллельны между собой (чертежи 1, 2 и 3 рис. 1). С помощью параллельного проецирования строятся ортого- нальные проекции, проекции с числовыми отметками, аксоно- метрические проекции. Проецирование называют ортогональным, если проецирую- щие лучи перпендикулярны плоскости проекций (чертеж 1 рис. 1). Рис. 1 4 Плоскость, на которой получают изображение геометри- ческого объекта, называют плоскостью проекций. В ортого- нальных проекциях горизонтальнаяплоскость проекций обоз- начается как П 1 , фронтальная – П 2 , профильная – П 3 . Свойства параллельного и центрального проецирования 1. Проекцией точки является точка. 2. Проекцией прямой является прямая. Если направление проецирования совпадает с направлением прямой, то пря- мая проецируется в точку. 3. Если точка пространства лежит на прямой, то еѐ проек- ция лежит на соответствующей проекции прямой. Свойства параллельного проецирования 1. Отношение величин отрезков, лежащих на прямой, и их проекций 2. сохраняется. 3. Если прямые в пространстве параллельны друг другу, то параллельны и их одноименные проекции. 4. Прямая, параллельная плоскости проекций, проецируется в натуральную величину на эту плоскость проекций. 5. Плоская фигура проецируется в натуральную величину на плоскость проекций, если она этой плоскости парал- лельна. 6. Прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна его сторона параллельна, а вторая не перпендику- лярна плоскости проекций. Позиционными называются задачи на определение вза- имного расположения различных геометрических объектов: принадлежность точки прямой, плоскости или поверхности; принадлежность прямой плоскости; взаимное положение пря- мой и плоскости; взаимное положение плоскостей; взаимное положение прямой или плоскости с поверхностью; взаимное положение поверхностей. 5 Метрическими называют задачи на определение нату- ральных величин различных элементов: расстояния от точки до прямой или плоскости; расстояния между двумя парал- лельными или скрещивающимися прямыми; величины плос- кой фигуры или двухгранного угла. 2 Точка в ортогональных проекциях Точка общего положения находится в пространстве и имеет координаты x, y и z отличные от нуля. Рис. 2 Отличительной особенностью точек общего положения является то, что в ортогональных проекциях все проекции точек лежат на плоскостях проекций. Этому правилу соот- ветствует точка В рис. 2, у которой все координаты имеют положительное значение, или точка Е рисунка 3, имеющая отрицательную координату z. 6 Точка частного положения лежит на одной из плоскостей проекций и имеет хотя бы одну из координат, равную нулю. У точек частного положения две или три проекции лежат на осях координат. Если точка лежит на плоскости проекций, то одна из про- екций точки лежит на плоскости проекций, а две другие про- екции – на осях координат. На рис. 2 этому правилу соответст- вуют точки A и С или точка D рис. 3. С проекцией точки, не лежащей на осях координат, совпадает сама точка. Если точка имеет две координаты равные нулю, то она лежит на оси координат. Две проекции такой точки совпадают друг с другом, а третья – с началом координат. Этому условию соответствует точка F рисунка 3. Расстояние от точки до плоскости проекций определяется по оси координат, не принадлежащей этой плоскости проекций. Координата х определяетрасстояние до профильной плос- кости проекций П 3 (у, z), координата у – до фронтальной плоскости проекций П 2 (х, z), координата z – до горизонтальной плоскости проекций П 1 (х, у). Дальше от плоскости проекций находится та точка, у которой больше координата, опреде- ляющая расстояние до заданной плоскости проекций. На рис. 2 дальше от горизонтальной плоскости проекций П 1 расположена точка А, т.к. координата z этой точки больше, чем эта координата других точек. От фронтальной плоскости проек- ций П 2 дальше удалена точка С, от профильной плоскости проекций П 3 – точка В. На рисунке 3 от горизонтальной плоскости проекций дальше удалена точка D, от фронтальной плоскости проекций – точка Е, от профильной плоскости проекций – точка D. Задача 2.1. Определить пространственное положение точек, представленных на рисунке 3. У точки Е рисунка 3 все три проекции лежат на плоскостях проекций, поэтому данная точка находится в пространстве. У точки D горизонтальная и профильная проекции лежат на осях координат x и z, а фронтальная – на фронтальной плоскости проекций. Эта точка лежит на фронтальной плос- 7 кости проекций. Точка F лежит на оси z, т.к. ее горизонталь- ная проекция совпадает с началом координат, а фронтальная и профильная проекции точки совпадают друг с другом и са- мой точкой F. Для определения пространственного положения точки достаточно задание двух ее проекций, т.к. любые две проекции точки содержат все три координаты точки. Поэтому имея две проекции любой точки, можно построить ее третью проекцию. Рис. 3 8 Рис. 4 При построении по двум заданным проекциям третьей про- екции должно выполняться правило: горизонтальная и фрон- тальная проекции точки лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной оси х, фронтальная и профильная проекции – на линии проекционной связи, параллельной оси х. На чертеже 1 рисунка 4 правильно построена профильная про- екция точки А, т.к. у горизонтальной и профильной проекций точки соблюдено равенство координаты y и выполнено правило взаимного положения проекций. На оставшихся чертежах рисунка 2 не сохраняется равенство координат или правило взаимного положения проекций. 9 Конкурирующие точки – это точки, лежащие на одном про- ецирующем луче. Поэтому одна проекций двух точек совпа- дает, а другая - нет. Рис. 5 Из пары конкурирующих точек видима та, у которой больше координата, определяющая расстояние до данной плоскости проекций. На чертеже 1 рисунка 5 точки А и В лежат на перпен- дикуляре к фронтальной плоскости проекций П 2 . Точка А находится перед точкой В, т.к. у точки А больше коорди- ната y. Точка А находится под точкой В на чертеже 2 рисунка 4, поскольку точка В имеет координату z больше, чем у точки А. 10 На чертеже 3 рисунка 4 точка А совпадает с точкой В, т.к. все их координаты равны. Точки А и В чертежа 4 рисунка 4 не являются конкурирующими, поскольку не лежат на одном проецирующем луче. 3 Прямая в ортогональных проекциях Следом прямой называется точка пересечения прямой с плос- костью проекций. Следы прямой являются точками частного положения, ле- жащими на плоскостях проекций. Поэтому горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией, а фрон- тальный след – со своей фронтальной проекцией. На чертеже 1 рисунка 6 горизонтальный след, обозначен- ный буквой M, совпадает со своей горизонтальной проекцией, а фронтальный след, обозначенный буквой N, - со своей фрон- тальной проекцией. Поэтому на этом чертеже следы прямой построены и обозначены правильно. На других чертежах рисунка 6 следы прямой построены или обозначены неверно. На чертеже 2 рисунка 6 горизонтальный след совпадает со своей фронтальной проекцией, а фронталь- ный след прямой – со своей горизонтальной проекцией, что является неправильным. На чертеже 3 рисунка 6 обозначения следов перепутаны, Так горизонтальный след прямой обозначен буквой N, а фрон- тальный след – буквой M. На чертеже 5 рисунка 6 гори- зонтальный след прямой построен верно, а фронтальный отмечен как точка пересечения проекций прямой, что является неправильным решением. Прямые общего положения при своем продолжении пересекают все три плоскости проекций, поэтому их проекции не параллельны и не перпендикулярны осям координат. Этому правилу соответствует чертеж 2 рисунка 6. Прямые частного положения параллельны одной или двум плоскостям проекций одновременно и проецируются на эти плоскости в натуральную величину. Они имеют два или один след соответственно. 11 Рис. 6 Прямые уровня параллельны одной плоскости проекций, поэтому одна их проекция произвольно расположена отно- сительно осей координат, а две другие параллельны осям. На ту плоскость проекций, которой параллельна прямая уровня, она проецируется в натуральную величину. На чертеже 1 рисунка 7 приведен пример горизонтальной прямой, на чертеже 3 – фронтальной прямой. Проецирующие прямые параллельны двум плоскостям проекций одновременно и перпендикулярны третьей, на кото- рую проецируются в точку. Две другие проекции перпенди- кулярны осям и равны натуральной величине отрезка прямой. 12 Чертеж 4 рисунка 7 соответствует горизонтально прое- цирующей прямой; чертеж 5 – профильно проецирующей прямой; чертеж 6 – фронтально проецирующей прямой. Рис. 7 13 Задача 3.1. Определить принадлежность точек прямой n (рис. 8). Рис. 8 Если точка пространства принадлежит прямой, то ее про- екции лежат на одноименных проекциях прямой (свойство центрального и параллельного проецирования). Этому правилу соответствует только точка С рисунка 7. Точки А, В, D, E и G не лежат на прямой n, т.к. одни проекции точек лежат на соответствующей проекции прямой, а другие проекции точек не лежат на одноименной проекции прямой. Натуральная величина отрезка прямой равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является проекция прямой, а другой катет равен разности координат концов отрезка до данной плоскости проекций, взятой с другой его проекции (рис. 9). 14 Рис. 9 Если натуральная величина отрезка прямой определяется с использованием всех трех проекций данного отрезка, то длины построенных гипотенуз прямоугольных треугольников равны между собой. Угол наклона прямой к плоскости проекций определяется величиной угла между проекцией отрезка прямой и его нату- ральной величиной. На рисунке 8 цифрой 1 обозначен угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций; циф- рой 2 – к фронтальной плоскости; цифрой 3 – к профильной плоскости. 15 Взаимное положение прямых Если прямые в пространстве скрещиваются, то точки пе- ресечения их одноименных проекций являются конкури- рующими и не лежат на одной линии проекционной связи. Этому правилу на рисунке 10 соответствуют чертежи 1 и 5, на которых прямые m и n, u и w являются скрещиваю- щимися. Если прямые в пространстве параллельны, то парал- лельны их одноименные проекции. Этому определению соот- ветствует чертеж 2 рисунка 10, где прямые a и b параллель- ны друг другу. Если прямые в пространстве пересекаются, то точки пере- сечения их одноименных проекций лежат на одной линии проекционной связи. На чертежах 3, 4 и 6 рисунка 10 заданы пары пересекающихся прямых – c и d, g и f, p и h. Частный случай пересекающихся прямых – перпенди- кулярные прямые. Если одна сторона прямого угла является прямой уровня, то на ту из плоскостей проекций, которой параллельная прямая уровня, прямой угол проецируется в натуральную величину. На чертеже 4 рисунка 10 прямая f является фронтальной прямой уровня, поэтому на фрон- тальную плоскость проекций прямой угол проецируется в на- туральную величину. Прямая h чертежа 6 рисунка 10 является горизонтальной прямой уровня, соответственно на горизонтальную плоскость проекций прямой угол проецируется в натуральную величину. Задача 3.2. Какие чертежи рисунка 11 соответствуют про- екциям пересекающихся прямых? Правильно пересекающиеся прямые вычерчены на черте- жах 2 и 3 рисунка 11. На чертеже 2 горизонтальные проекции прямых а и b пересекаются, а фронтальные проекции – совпадают. На чертеже 3 - одноименные проекции прямых а и b пересекаются в точках, лежащих на одной линии проек- ционной связи. На двух других чертежах рисунка 11 показаны 16 скрещивающиеся прямые, т.к. одни проекции прямых пере- секаются, а другие проекции параллельны друг другу. Рис. 10 17 Рис. 11 Задача 3.3. Какой чертеж рисунка 12 соответствуют проек- циям перпендикулярных прямых? На чертеже 3 рисунка 12 прямые b и f пересекаются под прямым углом, т.к. одна из прямых является фронтальной. Поэтому на фронтальную плоскость проекций прямой угол проецируется в натуральную величину. Горизонтальная про- екция прямой b расположена под произвольным углом, но проходит через проекцию общей точки заданных прямых. 18 На чертеже 4 рисунка 12 прямая b проведена под углом 90 0 к прямой h, которая является горизонтальной. А фронталь- ная проекция прямой b проведена в произвольном месте. Поэ- тому прямые b и h являются перпендикулярными скрещи- вающимися прямыми. На других чертежах рисунка 11 заданы прямые, которые пересекаются под произвольным углом. Рис. 12 19 Задача 3.4. Какие чертежи рисунка 13 соответствуют про- екциям параллельных прямых? Рис. 13 Параллельные прямые правильно изображены на черте- жах 1 и 2 рисунка 13. На чертеже 1 одноименные проекции прямых а и b параллельны. На чертеже 2 горизонтальные проекции прямых а и b параллельны друг другу, а фрон- тальные – совпадают. На двух других чертежах рисунка 13 заданы скрещива- ющиеся прямые. 20 Задача 3.5. Назовите пары параллельных, пересекающихся и скрещивающихся прямых рисунка 14. Рис. 14 Определению параллельных прямых соответствуют прямые c и d рисунка 14. Пересекающимися прямыми являются пары прямых c и m, d и m, b и m, a и c, a и b. Скрещивающимися прямыми является пара прямых b и l. Перпендикулярными являются пары прямых b и m, a и c. 21 4 Плоскость в ортогональных проекциях Способы задания плоскости представлены на рисунке 15. Рис. 15 22 Плоскость в ортогональных проекциях может быть задана: тремя точками, не лежащими на одной прямой (чертеж 1 ри- сунка 15); прямой и точкой, ей не принадлежащей (чертеж 2); двумя пересекающимися или параллельными прямыми (черте- жи 3 и 4 соответственно); плоской фигурой (чертеж 5); следами (чертеж 6). |