национальный исследовательский томский политехнический университет

• Название: национальный исследовательский томский политехнический университет
• Дата: 28.01.2019
• Размер: 1.38 Mb.
• Имя файла: _TPU543998.pdf
• Тип: Документы; #65603
• страница: 10 из 16

30
〈??????,??????
′
〉
〈??????,??????
′
〉
= 〈
??????
??????
,
??????
′
??????−????????????
′
??????
??????
〉 , ?????? ≠ ??????,
(3.31)
??????????????????〈??????, ??????
′
〉 = 〈?????????????????? (??????), ??????
′
?????????????????? (??????)〉,
(3.32)
??????????????????〈??????, ??????
′
〉 = 〈?????????????????? (??????), −??????
′
??????????????????(??????)〉,
(3.33)
??????????????????〈??????, ??????
′
〉 = 〈??????????????????(??????), ??????
′
??????????????????(??????)〉,
(3.34)
??????????????????〈??????, ??????
′
〉 = 〈?????????????????? (??????),
??????
′
??????
〉 , ?????? > ??????,
(3.35)
〈??????, ??????
′
〉
??????
= 〈??????
??????
, ????????????
??????−??????
??????
′
〉, ?????? ≠ ??????,
(3.36)
|??????, ??????
′
| = 〈|??????|, ??????
′
????????????????????????(??????)〉, ?????? ≠ ??????.
(3.37)
Для первообразной функции ?????? справедливо выражение:
??????(〈??????, ??????
′
〉, 〈??????, ??????
′
〉) = 〈??????(??????, ??????), ??????
??????
(??????, ??????)??????
′
+ ??????
??????
(??????, ??????)??????
′
〉,
(3.38) где ??????
??????
и
??????
??????
– производные
?????? относительно первого и второго аргументов [6].
Если для заданного выражения мы начнём вычисления по выписанным формулам (3.28)–(3.37), заменив исходную переменную ?????? на пары (??????, ??????), а константы ?????? – на пары вида (??????, ??????), то на выходе получим пару, состоящую из численных значений выражения и производной от него в точке ??????. Это рассуждение очевидно обобщается на случай, когда функция зависит от нескольких переменных.
3.2.5
Существующие библиотеки АД
В настоящее время для расчёта производных можно использовать готовые библиотеки автоматического дифференцирования (АД), однако они в совокупности имеют ряд недостатков:

отсутствие обновлений и/или технической поддержки;

сложности при внесении изменений;

вопрос внедрения готовой АД библиотеки в уже существующий и работающий без АД код ещё не исследован (это может вызывать сложности и требовать больше времени, чем самостоятельная разработка).

31
3.3
Разработка алгоритмов и программы автоматического
дифференцирования применительно к задачам финансовой математики
3.3.1
Описание алгоритмов автоматического дифференцирования
Алгоритмы АД могут быть представлены последовательностью шагов, структурные схемы которых изображены на рисунке 3.3 для прямого режима и на рисунке 3.4 для обратного режима.

32
Рисунок 3.3 – Структурная схема прямого режима
Да
Начало
Ввод переменных
?????? = ??????(??????
??????
, ??????
??????
, . . . , ??????
??????
)
?????? = ??????, ??????
??????
??????
= ??????
??????
Требуется
????????????
????????????
??????
??????̇
??????
= ??????
??????̇
??????
= ??????
?????? = ?????? + ??????, ??????
??????
??????
= ??????(??????
??????−??????
, … , ??????
??????
)согласно пп. 3.2.2, 3.2.4
??????̇
??????
согласно п. 3.2.4
Вывод ??????
??????
, ??????̇
??????
Конец

33
Рисунок 3.4 – Структурная схема обратного режима
Начало
Ввод переменных
?????? = ??????(??????
??????
, ??????
??????
, . . . , ??????
??????
)
?????? = ??????, ??????
??????
??????
= ??????
??????
?????? = ?????? + ??????, ??????
??????
̅
??????
= ??????
̅
??????+??????
????????????
??????+??????
????????????
??????
Вывод ??????
??????
,
??????
̅
??????
,
?????? = ??????, ??????
Конец
??????
̅
??????
= ??????
?????? = ?????? − ??????, ??????
??????
??????
= ??????(??????
??????−??????
, … , ??????
??????
)согласно п. 3.2.3