национальный исследовательский томский политехнический университет
 Скачать 1.38 Mb.
|
|
19 иных процессов, и как вспомогательное средство для построения более сложных вычислительных технологий. В настоящее время наиболее распространены три следующих способа вычисления производных: аналитическое (символьное) дифференцирование; численное дифференцирование; автоматическое (алгоритмическое, вычислительное) дифференцирование. Символьным (аналитическим) дифференцированием называют процесс построения по функции, задаваемой каким-то выражением, производной функции, основываясь на известных из математического анализа правилах дифференцирования составных функций (суммы, разности, произведения, частного, композиции, обратной функции и т. п.) и известных производных для простейших функций. Основы символьного (аналитического) дифференцирования являются предметом математического анализа (точнее, дифференциального исчисления), а более продвинутые результаты по этой теме входят в курсы компьютерной алгебры. Численным дифференцированием называется процесс нахождения значения производной от функции, который использует значения этой функции в некотором наборе точек её области определения. Таким образом, если функция задана таблично (т. е. лишь на конечном множестве значений аргумента), либо процедура определения значений этой функции не может быть выписана в виде выражения или детерминированной программы, то альтернатив численному дифференцированию нет. При автоматическом (алгоритмическом) дифференцировании оперируют не символьными представлениями выражений для функции и производных, как в символьном (аналитическом) дифференцировании, а их численными значениями при заданных значениях аргументов функции. Алгоритмическое (автоматическое) дифференцирование также требует знания 20 выражения для функции (или хотя бы компьютерной программы для её вычисления), но использует это выражение по-своему [2], [7], [8]. 2.2 Применение методов дифференцирования для решения задач финансовой математики В финансовой математике широко применяются методы вычисления производных. Рассмотрим предварительно кратко задачи финансовой математики. 2.2.1 Задачи финансовой математики Задача классической финансовой математики сводится к сопоставлению денежных потоков от различных финансовых инструментов, исходя из критериев временной ценности денег (с учётом фактора дисконтирования), оценки эффективности вложений в те или иные финансовые инструменты (включая оценку эффективности инвестиционных проектов), разработки критериев отбора инструментов. В классической финансовой математике по умолчанию предполагается детерминированность процентных ставок и потоков платежей [1]. Стохастическая финансовая математика имеет дело с вероятностными платежами и ставками. Основная задача состоит в получении адекватной оценки инструментов с учётом вероятностного характера рыночных условий и потока платежей от инструментов. Формально сюда можно отнести оптимизацию портфеля инструментов в рамках средне-дисперсионного анализа. Также на моделях стохастической финансовой математики основаны методы оценки финансовых рисков. При этом в стохастической финансовой математике возникает необходимость определить критерии оценки рисков, в том числе, для адекватной оценки финансовых инструментов. 21 Методы, применяемые в финансовой математике, необходимы и используются при разработке условий контракта, при финансовом проектировании, при сравнении и выборе инвестиционных проектов и т. д. 2.2.2 Анализ расчёта чувствительности цены портфеля ценных бумаг к изменениям различных риск-факторов на основе численного дифференцирования. Постановка задачи. Одним из основных финансовых применений теории ценообразования деривативов является возможность управления рисками на рынке ликвидных опционов. Такой рынок предоставляет возможность фирмам и отдельным лицам адаптировать свои риски в зависимости от их требований хеджирования или спекуляции. Для эффективной оценки таких рисков необходимо рассчитать чувствительность цены опциона к факторам, которые на неё влияют, такие как цена базового актива, волатильность и время до истечения срока действия опциона. Если предположить существование аналитической формулы для цены опциона (например, в случае европейского опциона), то представляется возможным дифференцировать цену по её параметрам. Метод конечных разностей широко используется в ценообразовании деривативов и других областях знаний для решений уравнений в частных производных. Данный метод применяется, в том числе, для аппроксимации частной производной, представляющую собой чувствительность к параметрам [3], однако имеет в качестве недостатка погрешность вычисления. В связи с этим была поставлена задача разработать и реализовать алгоритмы вычисления производных на основе автоматического дифференцирования. Таким образом, методы АД должны отвечать двум критериям: точное вычисление параметров опционов; |