национальный исследовательский томский политехнический университет
 Скачать 1.38 Mb.
|
|
37 std::vector Все элементы вектора должны принадлежать одному типу. Например, нельзя совместно хранить данные типов char и int в одном экземпляре вектора. Класс vector обладает стандартным набором методов для доступа к элементам, добавления и удаления элементов, а также получения количества хранимых элементов [14], [15], [16]. 38 4 РЕАЛИЗАЦИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛЗА 4.1 Модель Блэка-Шоулза Модель ценообразования опционов Блэка–Шоулза (англ. Black–Scholes Option Pricing Model, OPM) – это модель, которая активно используется для описания так называемого базового актива (например, цены акции). Модель широко используется для оценки справедливой стоимости производных финансовых инструментов. Помимо европейских опционов модель позволяет исследовать теоретические цены и других инструментов, таких как варранты, конвертируемые ценные бумаги и т. д. Согласно модели Блэка–Шоулза, ключевым элементом определения стоимости опциона является ожидаемая волатильность базового актива. В зависимости от колебания актива, цена на него возрастает или понижается, что влияет на стоимость опциона. Таким образом, если известна стоимость опциона, то можно определить уровень волатильности, ожидаемой рынком. Аналитическая формула оценки справедливой стоимости опционов впервые была выведена Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в 1973 году в статье «Оценка опционов и коммерческих облигаций» (The Pricing of Options and Corporate Liabilities). Чтобы вывести свою модель ценообразования опционов, Блэк и Шоулз сделали следующие предположения: по базисному активу опциона дивиденды не выплачиваются в течение всего срока действия опциона; нет транзакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акции или опциона; краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона; 39 любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части её цены; короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене; торговля ценными бумагами (базовым активом) ведётся непрерывно, и поведение их цены подчиняется модели геометрического броуновского движения с известными параметрами (в частности, эти параметры являются постоянными в течение всего срока действия опциона); не существует возможности арбитража. Вывод модели основывается на концепции безрискового хеджирования. Покупая акции и одновременно продавая опционы call на эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот. Безрисковая хеджированная позиция должна приносить доход по ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли и инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который определяется моделью. Цена (европейского) опциона call: ??????(??????, ??????) = ????????????(?????? ?????? ) − ???????????? −??????(??????−??????) ??????(?????? ?????? ), (4.1) где ?????? ?????? = ???????????? ??????/??????+(??????+ ?????? ?????? /??????)(??????−??????) ??????√??????−?????? ; ?????? ?????? = ?????? ?????? − ??????√?????? − ??????; ??????(??????, ??????) – текущая стоимость опциона call в момент ?????? до истечения срока опциона; ?????? – текущая цена базисной акции; ??????(??????) – функция распределения стандартного нормального распределения; 40 ?????? – цена исполнения опциона; ?????? – безрисковая процентная ставка; ?????? − ?????? – время до истечения срока опциона (период опциона); ?????? – волатильность доходности (квадратный корень из дисперсии) базисной акции [17]. 4.1.1 «Греки» и их применение Для характеристики чувствительности цены (премии) опциона к изменению тех или иных величин, применяют различные коэффициенты, называемые «греками». Название происходит от греческого алфавита, буквами которого обозначаются эти коэффициенты (за исключением «веги»). «Греки» в рамках модели Блэка – Шоулза вычисляются явным образом (таблица 4.1): Таблица 4.1 – «Греки» для опциона call [18], [19] «Грек» Что Опционы call Дельта ???????????? ???????????? ??????(?????? ?????? ) Гамма ?????? ?????? ?????? ???????????? ?????? ?????? ′ (?????? ?????? ) ????????????√?????? − ?????? Вега ???????????? ???????????? ???????????? ′ (?????? ?????? )√?????? − ?????? Тета ???????????? ???????????? − ???????????? ′ (?????? ?????? )?????? ??????√?????? − ?????? − ?????????????????? −??????(??????−??????) ??????(?????? ?????? ) Ро ???????????? ???????????? ??????(?????? − ??????)?????? −??????(??????−??????) ??????(?????? ?????? ) 4.2 Методы оценки опционов Существующие методы оценки опционов (как экзотических, так и стандартных) делятся на две группы: |