6.17. 1. Итоговая аттестация
Вопросы для подготовки к экзамену
1. Матрицы, действия над матрицами. - Математические операции над матрицами. Над данными записанными в виде матрице можно выполнять следующие математические операции: найти определитель матрицы найти собственные числа и вектор матрицы вычислить обратную матрицу вычислить ранг матрицы транспонировать матрицу привести матрицу к треугольному виду привести матрицу к диагональному виду выполнить LU разложение матрицы умножение матрицы на число возвести матрицу в степень.
2. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Правило треугольников. - Правило «треугольников» вычисления определителей 3-го порядка: первое из трех слагаемых, входящих в сумму (1) со знаком «+», есть произведение элементов, стоящих на главной диагонали, и находящихся в. вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.
3. Определители n-го порядка. Теорема Лапласа. - Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е. Определение. Если в определителе n -го порядка выбрать произвольно p строк и p столбцов (p < n), то элементы, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка. Определитель этой матрицы называется минором исходного определителя.
4. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - Обратная матрица определяется формулой: где A ij– алгебраическое дополнение элементов a ij. Т.е. для вычисления обратной матрицы, нужно вычислить определитель этой матрицы. Затем найти алгебраические дополнения для всех её элементов и составить из них новую матрицу. Далее нужно транспортировать эту матрицу. И каждый элемент новой матрицы поделить на определитель исходной матрицы.
5. Ранг матрицы. Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных
преобразований. - Ранг находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении r(A) первым способом следует переходить от миноров низших порядков к высшим минорам. Если уже найден D k-го порядка для А, отличный от нуля, то требуются вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие D, т.е. содержащие его в качестве минора.
6. Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера.
Метод Гаусса. - Формулы (4) получили название формул Крамера. Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных -заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида.
7. Векторы и операции над ними. - Линейные операции над векторами или ещё говорят действия над векторами – это сложение векторов, вычитание и умножение вектора на число (скаляр).
8. Проекция вектора на ось и ее свойства. - Проекцией вектора на ось называется скаляр, равный модулю составляющей вектора по этой оси, взятому со знаком плюс, если направление составляющей совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Если вектор перпендикулярен оси, то его проекция равна нулю.
9. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. - Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла: Вычисляется как сумма произведений соответствующих координат этих векторов (a, b) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. Определение.
10. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах. - Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.
11. Предел функции при x, стремящемся к бесконечности. Замечательные пределы. - Определение бесконечного предела по Коши Предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности (), равен бесконечности, если 1) существует такая окрестность бесконечно удаленной точки |x| > K, на которой функция определена (здесь K – положительное число); 2) для любого, сколь угодно большого числа M > 0, существует такое число NM > K, зависящее от M, что для всех x, |x| > NM, значения функции.
Число е.
12. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точка непрерывности функции.
Точка разрыва функции. Свойства непрерывных функций. Приращение аргумента.
Приращение функции. - Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если при ∆х→0 и ∆у→0, то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:. В противном случае х0 – точка разрыва. Функция, непрерывная в каждой точке некоторого интервала, называется непрерывной в этом интервале.
13. Производная функции. Дифференциал функции. Геометрический смысл
производной. Механический смысл производной. - Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.
14. Таблица производных. Понятие сложной функции. Производная сложной функции. - Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.
15. Схема исследования функции. Область определения функции. Множество
значений функции. Четность и нечетность функции. Нули функции. Промежутки
знакопостоянства функции. Возрастание и убывание функции, правило
нахождения промежутков монотонности. Точки экстремума функции, правило
нахождения экстремумов функции.
16. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной.
Исследование функции с помощью второй производной. - Производные порядка n > 1 называют производными высших порядков. Физический смысл второй производной. Если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, тSсок′′о(рStо0′)с(tт–0и)у)–сксокроерноисетвь мв оммоемнетнтврвермеемнеиниt0t(0С, корость изменения.
17. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного
интеграла. - Неопределённым интегралом от функции f (x) называется выражение F (x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f (x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f (x) dx = F (x) + C где f (x) — называют подынтегральной функцией; f (x) dx — называют подынтегральным выражением; x — называют переменной интегрирования; F (x) — одна из первообразных функции f (x); С — произвольная постоянная. Свойства неопределённого интеграла.
18. Таблица неопределенных интегралов. –
19. Методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования; метод замены
переменной (метод подстановки); метод интегрирования по частям. - Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.
20. Определенный интеграл. Понятие интегральной суммы. Достаточное условие
существования определенного интеграла (интегрируемости функции). - Достаточным условием существования определенного интеграла, т.е. интегрируемости функции f (x) на отрезке [a, b] является ее непрерывность на этом отрезке. Интегрируемы так же, если функция f (x) кусочно непрерывна (т.е. имеет конечное число точек разрыва 1-го рода) на отрезке [a, b].
21. Основные свойства определенного интеграла. Геометрический смысл
определенного интеграла. - Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что его значение равно площади криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции x=g(y) на отрезке [c; d]. Также справедливо для непрерывной и неположительной функции x=g(y) на отрезке [c; d].
22. Методы вычисления определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. - Формула Ньтона - Лейбница дает правило вычисления определенного интегра-ла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f (x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x = b и x = a.
23. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. - Основными геометрическими приложениями определенного интеграла являются: вычисление площади плоской фигуры, вычисление объемов тел вращения вокруг осей координат и вычисление длины дуги плоской кривой.
24. Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение
дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Задача Коши. - Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.
25. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. - К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные физические задачи. Основную трудность при их решении представляет составление дифференциальных уравнений. Универсального метода составления не существует, каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на понимании законов физики, и умения переводить физические задачи на математический язык.
26. Методы решения дифференциальных уравнений. - Оптимальным для решения дифференциальных уравнений. f(x)·y'=g(x). является метод деления обеих частей на. f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида.
27. Комплексные числа. Геометрический смысл. Действия над комплексными числами. - Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi.
6.17.2. Практические задания для экзамена
Вычислить предел 
2. Вычислить пределы:
а)  =   
б) 
в) 
3. Вычислить предел  =  
4. Вычислить предел  = lim (x->0) sin(5x) / 3x
При малых х sin(x) x, поэтому
lim (x->0) sin(5x) / 3x = lim (x->0) 5x / 3x = 5/3
5. Вычислить предел  -
6. Вычислить предел  = 
7. Исследовать функцию на непрерывность в точке x0 = 6. -
8. Исследовать функцию и построить ее график. = f(x)=3x²-x³
D(y)∈(-∞;∞)
f(-x)=3x²+x³ ни четная и ни нечетная
x²(3-x)=0
x=0 x=3
(0;0);(3;0) точки пересечения с осями
y`=6x-3x²=3x(2-x)=0
x=0 x=2
y
 x
9. Вычислить значение производной следующих функций в точке x0 = 4 = 
а) ; б).
10. Найти производную функции y = = 
11. Найти производную функции y = .=
12. Найти производную функции y = = y=e^(5x^2+8x)
y'=e^(5x^2+8x)×(10x+8)
13. Найти производную функции y = ln =
= 1y'=ln(8x^4-3x^2+2)'(lnx)' = 1/x.
(8x^4 - 3x^2 + 2)' = (4 * 8)x^3 - (3 * 2)x^2 = 32x^3 - 6x.
y' = ln(8x^4 - 3x^2 + 2)' = (32x^3 - 6x) / 8x^4 - 3x^2 + 2
Ответ: (32x^3 - 6x) / 8x^4 - 3x^2 + 2.
14. Найти неопределенный интеграл  –
15. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной
16. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной
17. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной
18. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной 
19. Вычислить определенный интеграл
20. Вычислить определенный интеграл 
21. Вычислить определенный интеграл .
22. Скорость движения точки изменяется по закону v = 5t2 +4t +2 (м/с). Найти путь s, пройденный точкой за 4 с от начала движения.
23. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y = х2, y =0, х =1, х =2.
24. Решить дифференциальное уравнение yʺ - 9yʹ +20у=0. - нтегригуешь уравнение, по которому меняется скорость. = (5x^3)/3 + 2t^2 + 2t - это мы получаем уравнение пути в зависимости от времени, подставим 4 с. 320/3 + 32 + 8. или 320/3 + 40 = 440/3 = примерно 147 м 23 Пошаговое объяснение: Ответ: S=7/3=2,3333 кв. ед.
25. Решить задачу Коши:yʹ =6х2+ 4х, y(1) =9.
26. Решить дифференциальное уравнение yʹ =11х.
27. Выполнить действия над комплексными числами
1) 3 6i3 5i = (3+6i) + (-3-5i) = (3 + (-3)) + (6 + (-5))·i = i
2) 2 i9 i = (2 - 9) + (1 - (-1))·i = -7+2i
2 3i6 5i = (2·6 - 3·(-5)) + (3·6 + 2·(-5))·i = 27+8i
4)  , -
5) i6 i16 i26 i36 i46 i56 = i⁴ⁿ= 1, i⁴ⁿ⁺¹= i, i⁴ⁿ⁺²= -1, i⁴ⁿ⁺³= -i, сумма -1+1-1+1-1= -1 |
Скачать 1.43 Mb.