Курсовая работа. Практические+занятия+студенты+(1) (1) (1). Надежность

• Название: Надежность
• Анкор: Курсовая работа
• Дата: 19.10.2022
• Размер: 0.79 Mb.
• Имя файла: Практические+занятия+студенты+(1) (1) (1).docx
• Тип: Учебное пособие; #742930
• страница: 20 из 32

РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ

Цель работы – научить студентов определять показатели надежности объектов, представляющих резервированные системы.
Теоретические сведения
Критерии надежности резервированных невосстанавливаемых систем те же, что и нерезервированных невосстанавливаемых систем.

Основными видами резервирования являются: общее постоянное, общее замещением, раздельное постоянное, раздельное замещением. Структурные схемы резервированных систем приведены на рис. 8.1.



Рис. 8.1. Структурные схемы резервированных систем: общее резервирова- ние с постоянно включенным резервом (а), раздельное резервирование с по- стоянно включенным резервом (б), общее резервирование замещением (в), раздельное резервирование замещением (г)
Приведем основные соотношения для показателей надежности резерви- рованных систем.

Общеерезервированиеспостоянновключеннымрезервом
Пусть p_i(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента за время t, q_i(t)

– вероятность отказа i-го элемента за время t, f_i(t) – плотность распределения времени до отказа i-го элемента в момент времени t. Тогда вероятность безот- казной работы, плотность распределения времени безотказной работы и ин- тенсивность отказов системы с кратностью резервирования т определяются соотношениями:
𝑃_с⁽𝑡⁾ = 1 − ^∏𝑚 (1 − 𝑝_𝑖⁽𝑡⁾);

𝑖=0


𝑖=0

𝑖=0
𝑓_с⁽𝑡⁾ = ^∑𝑚 𝑓_𝑖⁽𝑡⁾ ∙ (1 − 𝑝₀⁽𝑡⁾) ∙ … ∙ (1 − 𝑝_𝑚⁽𝑡⁾),

𝜆_с⁽𝑡⁾ =

𝑚


∑
𝑖=0

𝑓_𝑖⁽𝑡⁾∙^∏𝑚

𝑞_𝑖⁽𝑡⁾_.

1−^∏
𝑚

𝑖=0

𝑞_𝑖⁽𝑡⁾

В частности, для экспоненциальных распределений времени до отказа элементов с одинаковыми параметрами λ имеют место равенства:

с
𝑃 ⁽𝑡⁾ = 1 − (1 − 𝑒^−𝜆𝑡)^𝑚+1;


с
𝑓 ⁽𝑡⁾ = ⁽𝑚 + 1⁾𝜆𝑒^−𝜆𝑡(1 − 𝑒^−𝜆𝑡)^𝑚;

𝜆_с⁽𝑡⁾ =

⁽𝑚+1⁾𝜆𝑒^−𝜆𝑡(1−𝑒^−𝜆𝑡)^𝑚

𝑚+1 ^.

1−(1−𝑒^−𝜆𝑡)

Среднее время безотказной работы системы определяется выражением:
𝑇 = ^{1 ∑𝑚+1 1}.



^с _𝜆 𝑖=1 _𝑖
Формулы справедливы для случая, когда нерезервированная система рас- сматривается как один элемент, показатели надежности которого известны. В действительности любая система состоит из большого числа элементов, каж- дый из которых имеет показатель надежности, самостоятельно учитываемый при расчете. В таком случае формула для вероятности безотказной работы имеет вид:

𝑃_с⁽𝑡⁾ = 1 − ^∏𝑚 (1 − ^∏𝑛

𝑝_𝑖𝑗⁽𝑡⁾),

𝑖=0 𝑗=1
где n– число элементов нерезервированной системы;

p_ij(t) – вероятность безотказной работы элемента с номером (i, j).
Общеерезервированиезамещением
Вероятность безотказной работы, плотность распределения времени до отказа и среднее время безотказной работы системы определяются выражени- ями:

𝑖=1
𝑃_с⁽𝑡⁾ = 𝑝₀⁽𝑡⁾ + ^∑𝑚 𝑓₀⁽𝑡⁾ ∙ 𝑓₁⁽𝑡⁾ ∙ … ∙ 𝑓_𝑖−1⁽𝑡⁾ ∙ 𝑝_𝑖⁽𝑡⁾;

𝑓_с⁽𝑡⁾ = 𝑓₀⁽𝑡⁾ ∙ 𝑓₁⁽𝑡⁾ ∙ … ∙ 𝑓_𝑚⁽𝑡⁾;

^{𝑇 =} ∫^{∞ 𝑃 (𝑡)𝑑𝑡 = ∑𝑚 𝑇 .}

с ₀ с

𝑖=0 ^𝑖

Если все элементы равнонадежны, то

𝑖=0
𝑃_с⁽𝑡⁾ = ^∑𝑚

𝑓^𝑖(𝑡⁾ ∙ 𝑝⁽𝑡⁾.

Если интенсивность отказов элементов постоянна и равна λ, то формулы для вероятности и среднего времени безотказной работы системы имеют вид:

𝑃 ⁽𝑡⁾ = <sup>∑𝑚

(</sup>𝜆𝑡^)𝑖 _{𝑒−𝜆𝑡;}

^с 𝑖=0

𝑖!

𝑇_с

= ^{1 (}𝑚 + 1⁾.

𝜆

Раздельноерезервирование
Пусть исходная система состоит из п элементов. Тогда вероятность без- отказной работы системы при раздельном резервировании выражается следу- ющими формулами:

- раздельное резервирование с постоянно включенным резервом:

𝑗=1
𝑃_с⁽𝑡⁾ = ^∏𝑛

𝑚


(1 − ^∏
𝑖=0

(1 − 𝑝_𝑖𝑗⁽𝑡⁾));

- раздельное резервирование замещением:

𝑗=1
𝑃_с⁽𝑡⁾ = ^∏𝑛

𝑚


∏
𝑖=0

𝑓_0𝑗⁽𝑡⁾ ∙ 𝑓_1𝑗 ⁽𝑡⁾ ∙ … ∙ 𝑓_{𝑖−1,𝑗}⁽𝑡⁾ ∙ 𝑝_𝑖𝑗⁽𝑡⁾.

Резервированиесдробнойкратностью
Приведем формулы для показателей надежности мажоритарных систем (систем с дробной кратностью резервирования), в которых n – общее число элементов, (n - m) основных и m резервных элементов. Отказ такой системы наступает при отказе (т+ 1)-го элемента.

Показатели надежности мажоритарной системы при условии, что все эле- менты имеют одинаковую надежность, вычисляются по формулам:

𝑖=0

𝑛
𝑃_с⁽𝑡⁾ = ^∑𝑚 𝐶^𝑖 𝑞^𝑖(𝑡⁾𝑝^𝑛−𝑖(𝑡⁾;


𝑛
𝑓_с⁽𝑡⁾ = ⁽𝑛 − 𝑚⁾𝐶^𝑚𝑞^𝑚(𝑡⁾𝑝^{𝑛−𝑚−1(}𝑡⁾𝑓⁽𝑡⁾;


^{( ) 𝑛 ( )}.
⁽𝑛−𝑚⁾𝐶^𝑚𝑞^𝑚(𝑡⁾𝑝^{𝑛−𝑚−1(}𝑡⁾

𝜆_с 𝑡 = 𝜆 𝑡

𝑛

∑
𝑚

𝑖=0

𝐶^𝑖 𝑞^𝑖(𝑡⁾𝑝^𝑛−𝑖(𝑡⁾

Скользящеерезервирование
Скользящее резервирование представляет собой резервирование замеще- нием с кратностью т/(п- т), где п– общее число элементов, т– число резерв- ных элементов, (п - т) – число основных резервируемых элементов.

Если элементы системы имеют экспоненциальное распределение вероят- ности времени до отказа и все элементы системы имеют одинаковую надеж- ность, то вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднее время безотказной работы системы соответственно равны:

𝑃 ⁽𝑡⁾ = ^∑𝑚

𝑘

(⁽𝑛−𝑚⁾𝜆𝑡)


_𝑒−⁽𝑛−𝑚⁾𝜆𝑡_;

^с 𝑘=0

𝑘!

(⁽𝑛−𝑚⁾𝜆𝑡 ^𝑚

𝜆_с⁽𝑡⁾ = ⁽𝑛 − 𝑚⁾𝜆

𝑚!

_𝑘 ;

_∑𝑚

(⁽𝑛−𝑚⁾𝜆𝑡)

𝑇_с

𝑘=0

₌ 𝑚+1 _𝑡.

𝑛−𝑚

𝑘!

Примеры решения задач
Задача 1.

Два одинаковых двигателя работают в системе с резервированием, при- чём если один из них выходит из строя, то другой способен работать при пол- ной системной нагрузке. Найти безотказность системы в течение 400 ч при условии, что интенсивности отказов двигателей постоянны и равны λ= 0,0005 ч^-1. Отказы двигателей статистически независимы, и оба двигателя начинают работать в момент времени t = 0.
Решение.

В случае идентичных элементов:

P(t)



 1 _

i1

1

_e_it_

1 1

_et_² _

1 1

_2et <sub>

e</sub>2t<sub>

2e</sub>t <sub>

e</sub>2t_.

Для λ = 0,0005 ч^-1 и t= 400 ч имеем:
_{P(400)  2e}0,0005400 _{ e}20,0005400 _{ 0,9671 .}
Средняя наработка на отказ определяется по формуле:

T <sup>1

n 1</sup> _ ¹ _1 ¹  _ ³ _ ¹ _



1,5

 3000 ч.

)

 i

2

2



 


0 