Курсовая работа. Практические+занятия+студенты+(1) (1) (1). Надежность

• Название: Надежность
• Анкор: Курсовая работа
• Дата: 19.10.2022
• Размер: 0.79 Mb.
• Имя файла: Практические+занятия+студенты+(1) (1) (1).docx
• Тип: Учебное пособие; #742930
• страница: 19 из 32

РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ НЕРЕЗЕРВИРОВАННЫХ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ

Цельработы–научить студентов определять показатели надежности объектов, представляющих сложные системы.
Теоретические сведения
Критериями надежности невосстанавливаемых систем являются:

• 
  P_c(t) – вероятность безотказной работы системы в течение времени t;
  
• 
  Т_с – среднее время безотказной работы системы;
  
• 
  λ_с(t) – интенсивность отказа системы в момент t;
  
• 
  f_с (t) – плотность распределения времени до отказа.
  

Между этими показателями существуют следующие зависимости:

𝑃_с⁽𝑡⁾ = 𝑒

⁻ ∫^{𝑡 𝜆}_с^{(𝑡)𝑑𝑡}

0 _;
^{𝑇 =} ∫^{∞ 𝑃 (𝑡)𝑑𝑡;}

с ₀ с

𝜆_с

⁽𝑡⁾ = ^𝑓с(𝑡);

𝑃_с⁽𝑡⁾

с

с
𝑓_с⁽𝑡⁾ = 𝑄^′(𝑡⁾ = −𝑃^′(𝑡⁾;

^{𝑃 (𝑡) = 1 −} ∫^{𝑡 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡.}

с ₀ с
Следует иметь в виду, что среднее время безотказной работы является не- удовлетворительным показателем надежности систем с коротким временем работы.

Структурная схема нерезервированной системы, состоящей из п элемен- тов, приведена на рис. 7.1.




Рис. 7.1. Структурная схема нерезервированной системы
При отказе любого элемента наступает отказ системы. При этом осталь- ные элементы системы прекращают свою работу.

Показатели надежности такой системы вычисляются по формулам:

𝑗=1
𝑃_с⁽𝑡⁾ = ^∏𝑛 𝑝_𝑗 ⁽𝑡⁾;

^{𝑇 =} ∫^{∞ 𝑃 (𝑡)𝑑𝑡;}

с ₀ с


𝑗=1
𝜆_с⁽𝑡⁾ = ^∑𝑛 𝜆_𝑗⁽𝑡⁾;

𝑓_𝑐⁽𝑡⁾ = 𝑓₁⁽𝑡⁾ ∙ 𝑝₂⁽𝑡⁾ ∙ … ∙ 𝑝_𝑛⁽𝑡⁾ + 𝑝₁⁽𝑡⁾ ∙ 𝑓₂⁽𝑡⁾ ∙ … ∙ 𝑝_𝑛⁽𝑡⁾+. . . +𝑝₁⁽𝑡⁾ ∙ 𝑝₂⁽𝑡⁾ ∙ … ∙ 𝑓_𝑛⁽𝑡⁾.

Для случая постоянных интенсивностей отказов элементов имеют место соотношения:

𝑃_с⁽𝑡⁾ = 𝑒^{−𝜆с𝑡};


𝑗=1
𝜆_с = ^∑𝑛 𝜆_𝑗;

𝑇_с

= ¹ ;

𝜆_с

𝑓_с⁽𝑡⁾ = 𝜆_с𝑒^{−𝜆с𝑡}.

Примеры решения задач
Задача 1.

Для работы системы с последовательным соединением элементов при полной нагрузке необходимы два разнотипных насоса. Насосы имеют посто- янные интенсивности отказов, равные λ₁ = 0,0001 ч^-1 и λ₂ = 0,0002 ч^-1. Требуется определить среднее время и вероятность безотказной работы данной системы в течение 100 ч. Предполагается, что оба насоса начинают работать в момент времени t = 0.
Решение.

n

i1

1

2
_{P(t)  e}^i^t_{ e}   t_{ e}0,00010,0002100 _{ 0,97045 .}

n

1
T_с 

^i

_ 1

₁  <sub>2

</sub> 1

0,0001  0,0002

 3333,3 ч.

i1
Задача2.

Нерезервированная система состоит из 5 элементов. Интенсивности их отказов приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1 – Интенсивности отказов элементов

Номер элемента	1	2	3	4	5
λi, ч-1	0,00007	0,00005	0,00004	0,00006	0,00004

Определить показатели надежности системы: интенсивность отказа, сред- нее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надежности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов.
Решение.

Вычислим интенсивность отказа и среднее время безотказной работы си- стемы:

𝑗=1
𝜆_с = ^∑𝑛

𝜆_𝑗 = 0,00007 + 0,00005 + 0,00004 + 0,00006 + 0,00004 =

= 0,00026 ч⁻¹;

𝑇<sub>с

=</sub> 1

𝜆<sub>с

=</sub> 1

0,00026

= 3846 ч.

Получим значения вероятности безотказной работы и плотности распре- деления времени до отказа, табулируя функции
𝑃_с⁽𝑡⁾ = 𝑒^{−𝜆с𝑡} = 𝑒^{−0,00026𝑡} и 𝑓_с⁽𝑡⁾ = 𝜆_с𝑒^{−𝜆с𝑡} = 0,00026 ∙ 𝑒^{−0,00026𝑡}

на интервале от 0 до 1000 часов. Результаты табулирования представлены в табл. 7.2.

Таблица 7.2 – Вероятность безотказной работы и плотность распределения времени до отказа

t, ч	Рс(t)	fc(t)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000

Графическая иллюстрация P_c(t) и f_c(t) показана на рис. 7.2 и 7.3.

Рис. 7.2. Вероятность безотказной работы системы Рис. 7.3. Плотность распределения времени до отказа

Интенсивность отказа системы в данном случае есть величина постоян- ная, равная λ_с = 0,00026 ч^-1, ее графиком является прямая, параллельная оси времени.
Задача 3.

Нерезервированная система состоит из 5 элементов, имеющих различные законы распределения времени работы до отказа. Виды законов распределе- ния и их параметры приведены в табл. 7.3.

Таблица 7.3 – Законы распределения времени до отказа

Номер элемента	1	2	3	4	5
Закон рас- пределения времени до отказа	Вейбулла, а = 1800; b = 2	Гамма, r= 7; 𝑡 = 3000 ч	Рэлея, σ= 1638 ч	Экспоненци- альный, λ = 0,0002 ч-1	Усечённый нормальный, t0 = 2000 ч; σ= 900 ч

Определить показатели надежности каждого элемента и всей системы: ве- роятность безотказной работы, среднее время безотказной работы, интенсив- ность отказа, плотность распределения времени безотказной работы. Для по- казателей, зависящих от времени, получить решение в виде таблиц и графиков.
Решение.

Вычислим вероятность безотказной работы элементов:

Элемент1.Распределение Вейбулла:

• 
  i
  

 ^t^b

 


 ^t ²



 

P₁t  e

 ^a

_{ e} ¹⁸⁰⁰ _.

Элемент2.Гамма-распределение:

2 ^{1 (}

𝑡 ²

)

−𝜆𝑡

_𝑟−1 ⁽𝜆𝑡⁾

_{− 𝑡 ∑}63000

𝑃₂⁽𝑡⁾ = 𝑒

^∑𝑖=0 _𝑖! ^{= 𝑒}

3000 ⁰ 𝑖! _.

Элемент3.Распределение Рэлея:
_𝑡2

−

_{− 𝑡}2

𝑃₃⁽𝑡⁾ = 𝑒

2𝜎² _{= 𝑒}

2∙1638² _.

Элемент4.Экспоненциальное распределение:
_{𝑃4(𝑡) = 𝑒}−𝜆𝑡 _{= 𝑒}−0,0002∙𝑡_.

Элемент5.Усеченное нормальное распределение:

1 𝑡−𝑡

_1−𝑄0(𝑡−2000₎

𝑃 ⁽𝑡⁾ =

(1 − 𝑄



₍⁰_{)) =} 900 _.

0
5 𝑡

𝑄₀( _𝜎 )

0 <sub>𝜎

𝑄 (</sub>2000₎


0
900

Табулируя эти функции от 0 до 2000 часов с шагом 100 часов, получим табл. 7.4.

Таблица 7.4 – Вероятность безотказной работы элементов

t, ч	P1(t)	P2(t)	P3(t)	P4(t)	P5(t)	Pс(t)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000

В последнюю колонку записаны значения вероятностей безотказной ра- боты системы, которые определяются произведением вероятностей безотказ- ной работы элементов:
𝑃_с⁽𝑡⁾ = 𝑃₁⁽𝑡⁾ ∙ 𝑃₂⁽𝑡⁾ ∙ 𝑃₃⁽𝑡⁾ ∙ 𝑃₄⁽𝑡⁾ ∙ 𝑃₅⁽𝑡⁾.

На рис. 7.4 показаны графики функций Р_i(t) и Р_с(t), соответствующих ве- роятностям безотказной работы элементов.
Рис. 7.4. Вероятности безотказной работы элементов Вычислим интенсивности отказов элементов.

Элемент1.Распределение Вейбулла:

𝜆₁

⁽𝑡⁾ = ^𝑏

_𝑎𝑏

_𝑡𝑏−1 ₌ ² 1800²

𝑡.

Элемент2.Гамма-распределение:

𝑟

𝜆₀ = <sub>𝑡

=</sub> 7

3000

= 0,00233 ч^-1

_{𝜆 (𝑡) =} 𝜆₀⁽𝜆₀𝑡^)𝑟−1 ₌ 0,00233∙⁽0,00233∙𝑡⁾⁶_.

^{2 (}𝑟−1⁾! ^{∑𝑟−1(𝜆0𝑡)}𝑖

6!∙<sup>∑6

(</sup>0,0023∙𝑡^)𝑖

𝑖=0

𝑖!

𝑖=0

𝑖!

Элемент3.Распределение Рэлея:

𝜆₃

⁽𝑡⁾ = ^𝑡

_𝜎2

= ^𝑡 .

1638²

Элемент4.Экспоненциальное распределение:
λ₄ = 0,0002 ч^-1.
Элемент5.Усеченное нормальное распределение:

⁽𝑡−𝑡₀<sup>)2


1</sup> _𝑒⁻ 2𝜎<sup>2

(</sup>𝑡−2000<sup>)2

1</sup> _𝑒⁻ 2∙900²

_{𝜆 (𝑡) =} ^𝜎√^2𝜋 ₌ ^900∙√^2𝜋 _.

0
⁵ 1−𝑄 (^𝑡−𝑡0)

𝜎

_{1−𝑄 (}𝑡−2000₎


0
900

Табулируя интенсивности отказов от 0 до 2000 часов с шагом 100 часов, получим табл. 7.5.
Таблица 7.5 – Интенсивности отказов элементов

t, ч	λ1(t)	λ2(t)	λ3(t)	λ4(t)	λ5(t)	λс(t)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000

На рис. 7.5 изображены графики интенсивностей отказов элементов.

Рис. 7.5. Интенсивности отказов элементов
На рис. 7.6 показан график интенсивности отказа системы, равной сумме интенсивностей отказов ее элементов:
𝜆_с⁽𝑡⁾ = 𝜆₁⁽𝑡⁾ + 𝜆₂⁽𝑡⁾ + 𝜆₃⁽𝑡⁾ + 𝜆₄⁽𝑡⁾ + 𝜆₅⁽𝑡⁾.
Рис. 7.6. Интенсивность отказа системы
Интенсивность отказа системы также является возрастающей функцией времени, что говорит о том, что система является стареющей, а закон распре- деления времени до ее отказа не экспоненциальный.

Вычислим плотности распределения вероятностей времени безотказной работы элементов.

Элемент1.Распределение Вейбулла:

_𝑡𝑏−1

−(^𝑡)𝑏

^𝑡 −(

𝑡 ²

)

𝑓⁽𝑡⁾ = 𝑏

_{𝑎𝑏 𝑒} 𝑎

= 2 ∙ ₁₈₀₀₂ 𝑒

1800 _.

Элемент2.Гамма-распределение:

₁ 𝑟

( )

_{𝑡 1} 7


(

)
−


₋ 𝑡

2
𝑓 ⁽𝑡⁾ =^𝑡 𝑡^𝑟−1𝑒

Γ⁽𝑟⁾

_{𝑡 =} ³⁰⁰⁰ _{∙ 𝑡}6 _{∙ 𝑒}

Г⁽7⁾

3000_.

Элемент3.Распределение Рэлея:

𝑓₃⁽𝑡⁾ =
𝑡


_𝜎2

_𝑡2


_𝑒⁻2𝜎² ₌

𝑡 1638²

• 
  
  

_{− 𝑡}2

2∙1638²_.

Элемент4.Экспоненциальное распределение:

4
ft    e^t 0,0002  e^{0,0002t}.
Элемент5.Усеченное нормальное распределение:
₁ ⁽𝑡−𝑡₀⁾² ₁ ⁽𝑡−2000⁾²

𝑓 ⁽𝑡⁾ = 𝑒<sup>−



2𝜎2</sup> = 𝑒⁻



2∙900² _.

0
5 𝑡

^𝑄₀⁽ _𝜎 ^)∙𝜎√^2𝜋

2000


𝑄 (
_{0 900} ^)∙900∙√^2𝜋

Табулируя плотности распределения от 0 до 2000 часов с шагом 100 ча- сов, получим табл. 7.6.

Таблица 7.6 – Плотности распределения времени безотказной работы элементов

t, ч	f1(t)	f2(t)	f3(t)	f4(t)	f5(t)	fс(t)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000

Графики, построенные по данным табл. 7.6, приведены на рис. 7.7.
Рис. 7.7. Плотности распределения времени до отказа элементов Плотность распределения времени до отказа системы f_с(t) изображена на

рис. 7.8. Для ее изображения вычисления выполнялись по формуле:

𝑓_с⁽𝑡⁾ = 𝜆_с⁽𝑡⁾ ∙ 𝑃_с⁽𝑡⁾.

Рис. 7.8. Плотность распределения времени до отказа системы
Из графика отчетливо видна неэкспоненциальность распределения вре- мени до отказа нерезервированной системы, если законы распределения вре- мени до отказа ее элементов не являются экспоненциальными.

Среднее время безотказной работы системы находим по формуле Симп- сона:

^{𝑇 =} ∫<sup>∞ 𝑃 (𝑡)𝑑𝑡 = ℎ (1 + ∑𝑛−1(3 + (−1)𝑘)𝑃 (𝑘ℎ)),



с</sup> ₀ ^с ₃ 𝑘=1 ^с

где h– шаг интегрирования, h= 100 ч;

n– количество точек, n= 21.

Исходя из расчётов, получается примерно Т_с ≈ ч.