2 глава, 9 версия. Нелинейные модели производства

• Название: Нелинейные модели производства
• Дата: 30.04.2018
• Размер: 0.61 Mb.
• Имя файла: 2 глава, 9 версия.docx
• Тип: Глава; #42495
• страница: 2 из 5

Линейная функция

где:

Первые производные:

При ПФ определена и неотрицательна на вместе с первыми производными. При этом её вторые производные, очевидно, равны нулю.

Проверим, является ли линейная функция однородной, т. е.:

Легко убедиться, что если , то ПФ (2.108) является линейно однородной, т. е.

Коэффициенты эластичности выпуска:

Вдоль выбранной производственной изокванты предельные нормы замены второго фактора первым и первого фактора вторым равны соответственно:

Линейная ПФ применяется для моделирования крупномасштабных систем, в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования множества различных технологий.
Функция Леонтьева¹¹

Функция (2.116) – решение следующей задачи математического программирования:

Действительно, проведем следующие преобразования модели (2.118):

Отсюда следует,

ПФ (2.116) определена на и равна нулю, если . Функция Леонтьева дифференцируема на , кроме

Её частные производные имеют вид:

Они определены всюду, кроме луча , и неотрицательны в области определения функции. Вторые производные также определены и равны нулю всюду, кроме луча .

Кроме того, ПФ (2.126) является линейно однородной, а именно:

Определим средние отдачи (средние продукты) по каждому производственному фактору:

Коэффициенты эластичности выпуска:

В силу теоремы Эйлера суммарная эластичность выпуска равна:

Данная функция носит в большей степени теоретический характер и описывает негибкую технологию, использующую набор взаимно независимых факторов. В противном случае ПФ Леонтьева предназначена для моделирования строго детерминированных технологий, не допускающих отклонения от технологических норм использования ресурсов (например, для описания полностью автоматизированных производственных систем).

Однородная функция CES постоянной эластичности замены факторов (ConstantElasticityofSubstitution)

где:

Определим первые и вторые частные производные ПФ (2.127):

Функция CES определена и неотрицательна на положительном ортанте , на котором неотрицательны первые¹² и неположительны вторые¹³ частные производные.

ПФ (2.127) является однородной:

степень однородности .

Таким образом, ПФ CES с постоянной эластичностью замены факторов принадлежит классу неоклассических.

Коэффициенты эластичности выпуска:

В силу теоремы Эйлера:

Предельные нормы замены второго фактора первым и первого фактора вторым имеют вид:

ПФ CES с постоянной эластичностью замены факторов является частным случаем рассмотренной ниже ПФ Солоу. Примеры моделирования функции издержек и определения оптимального размера фирмы будут рассмотрены далее.

Функция CES применяется в случае отсутствия точной информация об уровне взаимозаменяемости производственных факторов и есть основания предполагать, что этот уровень существенно не изменяется при изменении объёмов вовлекаемых в производство ресурсов. Может быть использована для моделирования производственных систем любого уровня (при наличии средств оценивания параметров).

Функция Аллена

где:

Определим первые и вторые производные ПФ Аллена:

Таким образом, функция Аллена определена и дважды непрерывно дифференцируема на положительном ортанте . Первые производные неотрицательны, если , вторые производные неположительны.

ПФ Аллена является однородной:

Степень однородности равна 2.

Таким образом, ПФ Аллена принадлежит классу неоклассических.

Определим коэффициенты эластичности выпуска:

В силу теоремы Эйлера суммарная эластичность равна:

Предельные нормы замены второго фактора первым и первого фактора вторым имеют вид:

Определим аналитический вид функции издержек для частного случая ПФ Аллена: .

Составим модель производственных издержек и соответствующую ей функцию Лагранжа:

Определим частные производные функции Лагранжа и составим систему уравнений, из которой найдём соотношения для оптимальных значений объёмов потребляемых факторов производства и множителя Лагранжа

Рассмотрим возможный способ нахождения искомых величин. Суммируем покомпонентно первое и второе уравнения системы (2.151) и выразим сумму

Теперь из первого уравнения системы (2.151) вычтем второе и выразим разность :

Получим систему уравнений:

Откуда:

Для определения подставим значения в третье уравнение системы (2.151), предварительно выделив в исходном выражении полный квадрат разности:

;

Определим

Определим аналитический вид функции производственных издержек:

Определим предельные издержки по объёму производства и сравним полученный результат со значением множителя Лагранжа:

Так как степень однородности ПФ больше 1, то оптимальный размер фирмы соответствует производственной изокванте максимально возможного объёма производства.

Заметим, что ПФ Аллена предназначена для описания производственных процессов, для которых чрезмерный рост потребления любого производственного фактора оказывает отрицательное влияние на объём выпуска (используется для описания производственных систем небольшого масштаба с ограниченными возможностями использования ресурсов).