2 глава, 9 версия. Нелинейные модели производства

Название	Нелинейные модели производства
Дата	30.04.2018
Размер	0.61 Mb.
Формат файла
Имя файла	2 глава, 9 версия.docx
Тип	Глава #42495
страница	5 из 5

1 2 3 4 5

9. Предприятие, технологический процесс которого описывается двухфакторной производственной функцией , располагает капиталом К в количестве 300 ед. Факторы производства закупаются по неизменным ценам: цена фактора «Труд» - 3 ед.; цена фактора «Капитал» – 10 ед. Ценаp продукции - 200 ед.

Требуется определить объём фактора «Труд» и величину дохода предприятия.

Решение:

Составим модель минимизации производственных издержек:

где С – плановый объём производства продукции.

Т. к. и функционал, и используемые ограничения задаются непрерывными и дважды дифференцируемыми функциями на ортанте , то можно составить и провести анализ функции Лагранжа:

Определим требуемые частные производные и построим систему уравнений, из которой найдём соотношения для объёмов потребляемых производственных факторов и множителя Лагранжа :

Выразим соответственно из первого и второго уравнений системы (2.235) и рассмотрим их отношение, из которого выразим :

Объём производства С равен:

Для того, чтобы определить аналитический вид множителя Лагранжа , необходимо построить функции объёмов потребления производственных факторов Kи

Lот рыночных цен факторов и планового объёма производства:

Определим аналитический вид функции издержек:

Найдём предельные издержки по объёму производства и сравним полученный результат со значением множителя Лагранжа:

Построим функцию прибыли и определим величину прибыли предприятия:
10. Технологический процесс предприятия описывается двухфакторной однородной производственной функцией с линейной эластичностью замены факторов: . Цены факторов: . Предприятие стремится максимизировать выпуск при условии, что финансовые ресурсы на приобретение производственных факторов ограничиваются бюджетом M величиной 50 ед.

Требуется определить комбинацию факторов , обеспечивающую наибольший выпуск продукции и предельную отдачу оборотного капитала предприятия.

Решение:

Построим модель максимизации выпуска при ограничении на величину оборотного капитала:

Т. к. и функционал, и используемые ограничения задаются непрерывными и дважды дифференцируемыми функциями на ортанте , составим и проведём анализ функции Лагранжа:

Необходимым условием экстремума функции является совместность следующей системы:

Определим необходимые частные производные:

Построим систему уравнений, из которой найдём соотношения для объёмов потребляемых производственных факторов и множителя Лагранжа :

Преобразуем левую часть первого уравнения системы (2.241):

Выразим соответственно из первого (преобразованного) и второго уравнений системы (2.241) и рассмотрим их отношение, из которого выразим :

Подставим полученное значение в третье уравнение системы (2.241), из полученного уравнения выразим , а затем получим выражение для :

На основе полученных соотношений определим численные значения искомых параметров:

Определим численное значение параметра

Напомним, что - двойственная оценка бюджетного ограничения (2.237)¸ для рассматриваемой задачи - предельная отдача оборотного капитала.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти предельную отдачу факторов, эластичность производственной функции по факторам и суммарную эластичность для следующих производственных функций.

Трёхфакторная функция Аллена:

Однородная двухфакторная функция с линейной эластичностью замещения факторов LES:

2. Дана однородная трёхфакторная производственная функция с постоянной эластичностью замещения:

Доказать, что производственная функция является неоклассической (включая определение степени однородности).
Определить эластичность выпуска по каждому производственному фактору, а также предельные нормы замены для всех комбинаций факторов i и j.
Составить модель минимизации производственных издержек и соответствующую ей функцию Лагранжа. Определить оптимальные по критерию минимума совокупных издержек объёмы потребляемых факторов.
Определить аналитический вид функции производственных издержек.
Найти предельные издержки. Показать, что они совпадают с множителем Лагранжа.
Составить функцию прибыли и определить оптимальный размер предприятия.

3. Составить модель определения оптимального размера фирмы по критерию максимума дохода, определяемого формулой , и найти объём оптимального предложения для технологических процессов, описываемых двухфакторными производственными функциями Солоу:

4. Технологический процесс предприятия, находящегося в состоянии рыночного равновесия, может быть представлен двухфакторной производственной функцией: , где – производственный факторы «Капитал» и «Труд» соответственно. Известно, что среднерыночный уровень заработной платы – 10 ед., цена производственного капитала – 20 ед.

Определить капиталовооруженность и среднюю производительность труда.

5. На земельном участке фиксированной площади фермер с двумя сыновьями осуществляют сельскохозяйственное производство. Зависимость объёма товарной продукции хозяйства от числа работников приведена в табл. 2.2.

Имеет ли смысл для фермера нанимать работников? Будет ли данное хозяйство эффективным при использовании наёмных работников и, если да, то скольких, в случае, если их заработная плата будет равна 250 д.е. в месяц?

Таблица 2.2

Число работников, чел.	1	2	3	4	5	6	7	8
Выпуск продукции в месяц (тыс. д.е.)	5	16	25	33	41	47	51	52

6. Для некоторого производственного процесса предельная норма замены труда капиталом уменьшилась на 10%. Эластичность этой замены равна 0,3. На сколько процентов изменилось соотношение , равное первоначально 5,5, при неизменном объёме выпуска?
7. Рассматривается некоторый производственный процесс , зависящий, в том числе, от производственных факторов труда и капитала , при условии, что все остальные параметры фиксированы. Известно, что структура потребления факторов производства оптимальна. Рыночная цена рабочей силы составляет 800 д.е., рыночная цена одного производственного станка составляет 2400 д.е.

Требуется определить прирост производства продукции при найме четырёх дополнительных рабочих, если два дополнительно установленных станка позволили увеличить объём производства продукции на 150 д.е.
8. Известно, что фирма функционирует на рынке эффективно. Эластичность замены труда капиталом равна 5%; рыночная стоимость фактора «труд» в 2 раза меньше рыночной стоимости фактора «капитал». Определить капиталовооруженность труда.
9. Технологический процесс предприятия, объём оборотного капитала которого равен 80 д.е., описывается однородной производственной функцией с линейной эластичностью замены: . Рыночные цены факторов производства:.

Определить: какой комбинацией факторов обеспечивается наибольший выпуск продукции, чему равна предельная отдача оборотного капитала?
10. Предприятие характеризуется следующими данными: число работающих = 2000 чел., объём выпуска продукции = 15000 ед., средняя заработная плата = 1000 руб., цена ед. готовой продукции = 200 руб. Предельная норма замены производственного станка рабочими равна 10 чел./ст.

Определить объём используемого производственного капитала в случае, если отдача от масштаба постоянна, комбинация факторов и объём производства оптимальны.

11. Технологический процесс предприятия может быть описан трёхфакторной производственной функцией Известно, что на покупку ед. производственного фактора предприятие затрачивает 4 д.е., а издержки на приобретение факторов и составляют 3 и 5 д.е. соответственно.

Определить какие объёмы производственных факторов предприятию следует использовать в случае, если стоимость реализуемой продукции составляет 84 д.е.?

1 В качестве целевого критерия может быть рассмотрен критерий максимума получаемого дохода, где под доходом следует понимать стоимостную оценку разности результата и полных затрат производственной деятельности предприятия.

2 Более подробно с теорией автоматов читатель может ознакомиться в любом учебном пособии по основам дискретной математики. Например, можно рекомендовать книгу А.Е. Соловьева «Специальная математика», Пермь (Изд-во Пермского Государственного Технического Университета), 2001 г., стр.43-48.

3 На самом деле, это одна из целей агента, функционирующего в рыночной среде. Для дальнейшего следует уточнить, что критерий дохода актуален для кратко- и среднесрочного интервалов планирования.

4 Простейшим бинарным отношением является отношение нестрогого неравенства «» на множестве действительных чисел , где каждому числу в соответствие ставится число так, что выполняется неравенство .

5 Следует обратить особое внимание, что здесь имеется в виду именно нулевой вектор 0, а не алгебраический ноль.

6 Этот закон применим ко всем переменным факторам во всех отраслях. Например, можно рассмотреть действие закона в сельском хозяйстве. Одним из переменных факторов является удобрение. При внесении большего количества удобрений выпуск продукции растёт, но с определённого момента прирост на каждую дополнительную тонну будет снижаться. Фактически переизбыток удобрений отравит посадки

1 2 3 4 5