2 глава, 9 версия. Нелинейные модели производства
 Скачать 0.61 Mb.
|
|
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 1. В ниже представленной таблице приведена динамика показателей производства продукции: объём производства, предельная и средняя отдачи производственного фактора L «Труд» при изменении его потребления и при фиксированном значении остальных параметров. На основе приведённых данных требуется определить значения показателей, отмеченных «?».
Таблица 2.1. Решение: Предельная отдача производственного фактора, показывающая прирост объёма выпуска при увеличении производственного потребления фактора на одну ед. при неизменных объёмах затрат остальных факторов, может быть определена как отношение приращения объёма производимой продукции к приращению объёма потребления данного производственного фактора: где: – объёмы производства соответственно при базовом потреблении рассматриваемого фактора и при увеличении его потребления на ед. Средняя отдача производственного фактора рассчитывается как отношение объёма выпуска продукции к объёму потребления фактора при неизменных объёмах затрат остальных факторов. В обозначениях рассматриваемой задачи расчётная формула принимает следующий вид: Определим среднюю отдачу фактора в случае его потребления в объёме 12 ед.: На основе (2.202) получим формулу для определения совокупного объёма производства при наличии данных о потреблении производственного фактора и средней отдаче этого фактора: Определим предельную отдачу фактора в случае его потребления в объёме 13 ед. по формуле (2.202): Предельная отдача фактора Lв случае его потребления в объёме 14 ед.: Выразив из (2.203) искомую величину, определим совокупный объём производства в случае потребления фактора в объёме 14 ед.: По завершении всех необходимых вычислений получим следующую таблицу: Таблица 2.2
2.Известно, что при остановке металлообрабатывающего станка (производственный фактор ) дневная выработка продукции уменьшается с 150 ед. до 126 ед. В случае невыхода на работу 15 рабочих (производственный фактор ) объём производства продукции уменьшается с 150 ед. до 120 ед. Сколько работников можно безболезненно сократить для достигнутого объёма выпускаемой продукции, если приобрести дополнительно 1 станок? Решение: Рассмотрим производственный процесс, описываемый функцией , зависящий, в том числе, от производственных факторов: труда и капитала , при условии, что значения остальных факторов фиксированы. Предельная отдача производственного фактора, показывающая прирост объёма выпуска при увеличении производственного потребления фактора на одну ед. при неизменных объёмах затрат остальных факторов, определяется как отношение приращения объёма производства продукции к приращению объёма потребления данного производственного фактора. Определим предельную отдачу обоих производственных факторов: Предельная отдача капитала составляет 24 ед., т.е. каждый дополнительный станок «приносит» дополнительные 24 ед. продукции. Предельная отдача труда - 2 ед., т.е. каждый дополнительный рабочий «приносит» дополнительные 2 ед. продукции. Определим предельную норму замещения факторов капитала и труда как отношение их предельных отдач, взятое со знаком «минус». (Напомним, что знак «минус» экономически обоснован: потребление фактора увеличивается, потребление фактора уменьшается). Определим, скольких рабочих можно сократить: Другими словами, 12 рабочих можно безболезненно сократить в случае приобретения 1-го дополнительного станка. Напомним, что данный показатель называется предельной нормой замены производственных факторов (в данном случае, капитала трудом). 3. Доказать, что в случае эффективного функционирования предприятия на рынке производственных факторов эластичность производственной функции по некоторому фактору совпадает с долей издержек на приобретение данного фактора (в стоимостном выражении) в совокупной выручке от реализации продукции. Решение: Рассмотрим производственную функцию , зависящую от производственных факторов. Определим эластичность выпуска по -му фактору: Известно, что условием эффективного функционирования предприятия на рынках производственных факторов является выполнение следующего условия: Известно также, что максимум прибыли предприятия достигается в случае равенства рыночных цен продукции предельным издержкам производства: . Вернемся к выражению (2.204): Числитель дроби (2.206) - совокупные издержки на приобретение -го производственного фактора, знаменатель - совокупная выручка от реализации продукции. Таким образом, дробь (2.206), равная эластичности выпуска по -му фактору, характеризует долю издержек на приобретение-го производственного фактора в совокупной выручке предприятия. 4. Известно, что производственная деятельность предприятия оптимальна с позиции соотношения объёмов используемых производственных факторов. Это состояние характеризуется следующими параметрами: издержки на приобретение факторов и составляют соответственно 100 и 150 тыс. руб., при этом совокупная выручка - 600 тыс. руб. Фактор используется в количестве 90 ед. Совокупный объём производства равен 4500 ед. продукции. Требуется определить:
Решение: Рассмотрим некоторый однородный производственный процесс , зависящий от двух производственных факторов, при условии, что все остальные факторы производства фиксированы. Определим цену реализации готовой продукции как отношение итоговой выручки к общему объёму реализованной продукции (будем исходить из предпосылки, что объёмы произведенной и реализованной продукции равны): Выше показано, что в случае эффективного функционирования предприятия на рынках факторов производства и готовой продукции факторная эластичность производственной функции совпадает с долей издержек на приобретение данного фактора в совокупной выручке: Используя последнее соотношение, определим степень однородности рассматриваемой производственной функции как величину, равную её суммарной эластичности: Одновременно нами получено, что эластичность выпуска по производственному фактору равна . Факторную эластичность можно определить следующим образом: Используя тот факт, что эластичность выпуска по 1-му производственному фактору равна , определим объём выпуска продукции в результате уменьшения производственного потребления первого фактора на 15 ед.: Определим величину падения выручки при уменьшении объёма потребления фактора на 15 ед.: 5. Дана трехфакторная производственная функция с постоянной эластичностью замещения: Требуется:
Решение:
Таким образом, рассматриваемая ПФ определена на положительном ортанте , на котором существуют неотрицательные первые и неположительные вторые частные производные. ПФ экономически непротиворечива (отсутствие выпуска при нулевых затратах производственных факторов): . Докажем, что ПФ является однородной: Таким образом можно сделать вывод, что ПФ принадлежит классу неоклассических.
В силу теоремы Эйлера суммарная эластичность равна: Полученный результат можно интерпретировать следующим образом: при увеличении потребления всех трех производственных факторов на 1% объём производства (выпуск продукции) увеличивается на Предельные нормы замены факторов определяются следующим образом:
Модель минимизации производственных издержек имеет вид: где: – плановый объём производства. Т. к. и функционал, и ограничения задаются непрерывными и дважды дифференцируемыми функциями на ортанте , то составим и проведём анализ соответствующей этой модели функции Лагранжа: Необходимым условием экстремума функции является совместность следующей системы: Определим необходимые частные производные: и построим систему уравнений, из которой найдём соотношения для объёмов потребляемых производственных факторов а также значение : Выразим соответственно из первого и второго уравнений системы (2.213) и рассмотрим их отношение, из которого выразим : Выразим соответственно из первого и третьего уравнений системы (2.213), рассмотрим их отношение, из которого выразим : Подставим полученные результаты в четвертое уравнение системы (2.213): Откуда: Из первого уравнения системы (2.213) получим :
Т.к. степень однородности производственной функции меньше 1, то оптимальный объём производства соответствует изокванте, расположенной внутри экономической области предприятия, и для его нахождения не требуется дополнительного анализа. Определим точку оптимального предложения, используя формулу (2.80’). Предварительно определим величину издержек производства , приходящихся на одну ед. продукции: Тогда: 6. Производственный процесс фирмы описывается двухфакторной производственной функцией . Известно, что на покупку ед. производственного фактора фирма затрачивает 4 ед., а затраты на приобретение фактора составляют 3 ед. Какие количества факторов и предприятие использует в случае, если стоимость реализованной продукции составляет 84 ед.? Решение: Для рассматриваемого технологического процесса построим модель минимизации производственных издержек: Т. к. функционал и используемые ограничения задаются непрерывными и дважды дифференцируемыми функциями на ортанте , то составим и проведём анализ функции Лагранжа этой задачи. Необходимым условием экстремума функции является совместность следующей системы: Определим необходимые частные производные и построим систему уравнений, из которой найдём соотношения для объёмов потребляемых производственных факторов K, L и множителя Лагранжа : Рассмотрим возможный способ нахождения искомых величин. Выразим цены факторов соответственно из первого и второго уравнений системы (2.219) и рассмотрим их отношение, из которого выразимL: Подставим полученное значение L в третье уравнение системы (2.219), выразим K , а затем получим L: Определим Приведём аналитический вид функции производственных издержек: Определим предельные издержки по объёму производства и сравним полученный результат с найденным ранее значением множителя Лагранжа: Для нахождения оптимального размера фирмы воспользуемся формулой (2.80’) (т.к. степень однородности производственной функции равна , что меньше 1): Подставив полученное значение в (2.221) и (2.222), определим, в каких количествах следует использовать факторы Kи L в случае, если стоимость реализуемой продукции составляет 84 ед.: 7. Для некоторого производственного процесса предельная норма замены капитала трудом увеличилась на 15%. Эластичность этой замены равна 0,4. На сколько процентов изменилось соотношение , равное первоначально 4, при неизменном объёме выпуска? Решение: Рассмотрим некоторый производственный процесс , зависящий, в том числе, от факторов труда Lи капитала K, при условии, что все остальные параметры фиксированы. Определим предельную норму замены капитала K трудовыми ресурсами L как отношение предельных отдач этих факторов, взятое со знаком «минус»: показывающую, на сколько ед. увеличится потребление фактора - заменителя L при уменьшении потребления заменяемого фактора К на одну ед. Поставим «обратный» вопрос: как изменится величина при изменении предельной нормы замещения на 1%? Согласно определению коэффициента эластичности для показателя (капиталовооруженность труда), последний рассчитывается по формуле: В условии дано, что эластичность предельной нормы замещения равна 0,4. Подставим в (2.224) имеющиеся данные и определим процент изменения величины : 8. При заданном объёме оборотного капитала М и рыночных ценах факторов производства: труда и капитала предприятие работает по технологии, описываемой двухфакторной производственной функцией Требуется определить, при каких затратах факторов и объём выпуска будет максимальным, а также, как изменится капиталовооруженность труда в случае, если:
Решение: Для решения поставленной задачи построим модель на максимум выпуска при ограничении на объём оборотного капитала: Т. к. функционал и ограничение задаются непрерывными и дважды дифференцируемыми функциями на ортанте , то можно составить и провести анализ функции Лагранжа: Определим необходимые частные производные и построим систему уравнений, из которой найдём соотношения для объёмов потребляемых производственных факторов : Выразим соответственно из первого и второго уравнений системы (2.229), рассмотрим их отношение, из которого выразим : Подставим полученное значение L в третье уравнение системы (2.229); из полученного уравнения выразим K, затем получим L: Определим капиталовооруженность труда как величину производственного капитала, приходящуюся на одного рабочего, по формуле: Как следует из (2.230), показатель не зависит от величины оборотного капитала М. Другими словами, при увеличении величины оборотного капитала в 2,5 раза показатель капиталовооруженности труда не изменится. Для ответа на второй вопрос проведём следующие рассуждения. Из уравнения (2.230) следует, что показатель прямо пропорционален рыночной цене фактора L. Таким образом, при увеличении рыночной цены фактора Lв 2,5 раза капиталовооруженность труда также возрастет в 2,5 раза. |