2 глава, 9 версия. Нелинейные модели производства

• Название: Нелинейные модели производства
• Дата: 30.04.2018
• Размер: 0.61 Mb.
• Имя файла: 2 глава, 9 версия.docx
• Тип: Глава; #42495
• страница: 3 из 5

Однородная функция LES линейной эластичности замены факторов
(Linearelasticityofsubstitution)

где:

Определим первые и вторые производные ПФ (2.158) по каждому аргументу:

Таким образом, ПФ (2.158) дважды непрерывно дифференцируема на положительном ортанте . Здесь неотрицательны первые и неположительны вторые частные производные ПФ по факторам производства.

ПФ (2.158) является однородной:

степень однородности

Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что ПФ (2.158) принадлежит классу неоклассических.

Определим коэффициенты эластичности выпуска:

В силу теоремы Эйлера суммарная эластичность равна:

Предельные нормы замены второго фактора первым и первого фактора вторым вдоль выбранной производственной изокванты имеют следующий вид:

Определим аналитический вид функции производственных издержек для частного случая ПФ с линейной эластичностью замены факторов при дополнительных условиях:

Составим модель производственных издержек и соответствующую ей функцию Лагранжа:

Определим частные производные функции Лагранжа и построим систему уравнений для нахождения оптимальных объёмов потребляемых факторов производства и множителя Лагранжа :

Рассмотрим один из возможных способов нахождения искомых величин. Выразим из первого и второго уравнений системы (2.173) цены производственных факторов, и рассмотрим их отношение:

Подставим значение в третье уравнение системы (2.173) и получим последовательно значения и

Подставим значения и в преобразованное второе уравнение системы (2.173):

Определим аналитический вид функции производственных издержек:

Найдём предельные издержки и сравним полученный результат с определённым выше значением множителя Лагранжа:

Так как ПФ характеризуется постоянной эффективностью от роста масштаба производства , то для нахождения оптимального объёма предложения предприятия необходимо провести дополнительный анализ.

Определим издержки производства единицы продукции:

В случае (издержки, приходящиеся на единицу продукции, превосходят цену реализации) прибыль отрицательна. Логичным является решение отказа от дальнейшего производства.

В случае (издержки и цена единицы продукции совпадают) прибыль равна нулю. Любой объём выпуска является оптимальным.

В третьем случае (цена реализации продукции превосходит издержки на единицу выпуска): Прибыль положительна. Оптимальный размер фирмы соответствует изокванте наибольшего возможного выпуска.

ПФ LES рекомендуется использовать для описания производственных процессов, у которых возможность замещения производственных факторов существенно зависит от структуры оборотных активов.
Производственная функция Солоу¹⁴

где:

Определим первые частные производные функции Солоу:

Вторые производные:

Таким образом, можно сделать вывод, что ПФ Солоу является дважды непрерывно дифференцируемой на положительном ортанте , монотонно возрастает и является выпуклой вверх по каждому аргументу.

Проверим, является ли функция (2.179) однородной:

Очевидно, если , то функция (2.179) будет однородной, а именно

Степень однородности .

Таким образом, можно сделать вывод, что ПФ Солоу, в случае, если , принадлежит классу неоклассических.

Коэффициенты эластичности выпуска:

Если , то в силу теоремы Эйлера суммарная эластичность равна:

Вдоль производственной изокванты предельные нормы замены второго фактора первым и первого фактора вторым имеют следующий вид:

Определим аналитический вид функции производственных издержек и аналитическое выражение оптимального размера предприятия для частного случая функции Солоу со следующими значениями параметров:

Составим модель производственных издержек и соответствующую ей функцию Лагранжа:

Определим частные производные функции Лагранжа и построим систему уравнений, из которой найдём соотношения для оптимальных объёмов потребляемых производственных факторов и множителя Лагранжа

Предложим следующий способ нахождения искомых величин. Из первого и второго уравнений системы (2.194) выразим и рассмотрим их отношение:

Подставим значение в третье уравнение системы (2.194) и далее последовательно найд`м

Приведём аналитический вид функции производственных издержек:

Определим предельные издержки и сравним полученный результат с найденным значением множителя Лагранжа:

Оптимальный размер фирмы находится внутри экономической области фирмы и для его нахождения не требуется дополнительных исследований.

Определим издержки единицы продукции:

и далее найдём объём оптимального предложения предприятия, используя формулу (2.80'):

Отметим, что ПФ Солоу может быть использована в тех же случаях, что и ПФ CES постоянной эластичности замены факторов, однако предпосылки, лежащие в её основе, слабее предпосылок функции CES. По этой причине её используют в случаях, когда предположение об однородности ПФ ставится под сомнение. ПФ Солоу удовлетворяет требованиям моделирования производственных систем любого масштаба.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 
   Что является доминантой в моделях производства: рынок или фирма? Дайте развёрнутый ответ.
   
2. 
   Что характеризует и как задаётся экономическая область предприятия?
   
3. 
   Какую закономерность производственной деятельности предприятия характеризует производственная функция?
   
4. 
   Перечислите различия между частичной и полной производственной функциями. Предварительно раскройте содержание этих понятий.
   
5. 
   Перечислите этапы моделирования ППФ. Приведите содержание каждого этапа.
   
6. 
   Перечислите количественные характеристики полной производственной функции нулевого и первого порядков. Как они определяются? Что характеризуют?
   
7. 
   Приведите определения среднего и предельного продуктов фактора производства. Как эти показатели рассчитываются? Какая взаимосвязь между ними? Как эта взаимосвязь иллюстрируется графически?
   
8. 
   Перечислите свойства неоклассической производственной функции.
   
9. 
   Какая производственная функция называется однородной? Сформулируйте и приведите доказательство теоремы Эйлера для однородной ПФ.
   
10. 
    В чём заключается убывающая (взрастающая, постоянная) отдача от увеличения масштаба производства?
    
11. 
    Сформулируйте закон убывающей предельной производительности факторов производства. Какие ограничения в применении этого закона?
    
12. 
    Существует ли взаимозависимость между средними (предельными) издержками и средним (предельным) продуктом? Если да, то выразите соответствующую аналитическую зависимость.
    
13. 
    Поясните отличие средней и предельной норм замены производственных факторов. Как рассчитываются и в каких единицах измеряются эти показатели?
    
14. 
    Если средний продукт некоторого производственного фактора равен предельному продукту этого же фактора, то каким будет соотношение средних переменных и предельных издержек?
    
15. 
    Какую зависимость характеризует производственная изокванта? Какие факторы влияют на угол наклона изокванты к координатным осям?
    
16. 
    Сформулируйте понятие и приведите основные свойства верхней полурешётки производственных изоквант.
    
17. 
    Какие наборы производственных факторов формируют нулевой и единичный этажи верхней полурешётки производственных изоквант? Являются ли эти изокванты достижимыми? Приведите развёрнутый ответ.
    
18. 
    Приведите описание модели производственной изокванты. Отметьте предпосылки и особенности её построения.
    
19. 
    Приведите описание модели производственных издержек. Отметьте основные её особенности.
    
20. 
    Является ли обязательным условием построения модели минимизации производственных издержек принадлежность производственной функции предприятия классу дважды непрерывных и дифференцируемых функций? Если да, то почему?
    
21. 
    Поясните экономическое содержание множителя Лагранжа задачи минимизации производственных издержек.
    
22. 
    Приведите характеристики взаимосвязи производственной функции и функции производственных издержек.
    
23. 
    Верно ли утверждение о том, что для любого предприятия, эффективно функционирующего на рынках товарной продукции и факторов производства, предельные отдачи производственных факторов прямо пропорциональны их рыночным ценам? Приведите обоснование этого утверждения.
    
24. 
    Приведите доказательство обратной пропорциональности суммарной эластичности производственной функции и эластичности производственных издержек.
    
25. 
    Приведите описание модели дохода. Возможность определения какой ключевой характеристики рыночной деятельности предприятия является непосредственным следствием этой модели?
    
26. 
    Что характеризует величина оптимального размера фирмы? Поясните необходимость рассмотрения этого показателя при моделировании производственной деятельности предприятия. Как он рассчитывается?
    
27. 
    При каком значении показателя степени однородности неоклассической производственной функции непосредственно (без дополнительно анализа, на основе её количественных характеристик) определяется величина оптимального размера производства?
    
28. 
    Приведите описание основных классов двухфакторных производственных функций. Частным случаем какой производственной функции является функция с линейной эластичностью замены факторов?
    
29. 
    В чём отличие изоквант производственных функций Леонтьева и Кобба-Дугласа?
    
30. 
    При любых ли параметрах функция Солоу является однородной производственной функцией? Приведите необходимые доказательства.
    

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ (ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ)

1. 
   Для двухфакторной производственной функции изокванта есть геометрическое место точек:
   

1. 
   постоянной предельной производительности факторов;
   
2. 
   постоянной средней производительности факторов;
   
3. 
   постоянного (в стоимостном выражении) выпуска;
   
4. 
   постоянной предельной нормы замещения факторов производства;
   
5. 
   максимально возможного выпуска для фиксированного объёма оборотного капитала.
   

2. 
   Точка производственной изокванты характеризует:
   

1. 
   объём производимой продукции;
   
2. 
   соотношение производственных факторов;
   
3. 
   соотношение объЁмов выпуска продукции;
   
4. 
   все предыдущие ответы верны.
   

3. 
   Полное приращение производственной функции при переходе от одной точки изокванты к другой равно:
   

1. 
   объёму производства;
   
2. 
   объёму (в стоимостном выражении) затрачиваемых производственных факторов;
   
3. 
   некоторой заранее неизвестной величине;
   
4. 
   некоторой константе, отличной от нуля;
   
5. 
   нулю.
   

4. 
   Возможность замещения в производственном процессе одного фактора другим для различных производственных функций различна. Какая из приведенных ниже карт изоквант характеризует двухфакторную производственную функцию с фиксированной структурой капитала?
   

5. 
   Какой из приведённых ниже рисунков отображает карту изоквант, характеризующих производственную функцию ?
   

6. 
   На показанных ниже рисунках представлены различные виды производственных изоквант, характеризующих двухфакторный производственный процесс. Соотнесите их с перечисленными случаями:
   

1. 
   производство предполагает затраты ресурсов в различных количествах;
   
2. 
   в производстве используются абсолютно специализированные ресурсы;
   
3. 
   в производстве используются абсолютно универсальные ресурсы;
   
4. 
   ресурсы не носят ни абсолютно специализированного, ни абсолютно универсального характера;
   
5. 
   применение ресурсов носит взаимоисключающий характер.
   

6. 
   Если два набора производственных факторов принадлежат одной производственной изокванте и отличаются одной компонентой, то такие факторы являются:
   

1. 
   взаимодополняемыми;
   
2. 
   взаимозаменяемыми;
   
3. 
   взаимно независимыми.
   

6. 
   Верхняя полурешетка производственных изоквант не обладает свойством:
   

1. 
   замкнутости;
   
2. 
   рефлексивности;
   
3. 
   симметричности;
   
4. 
   транзитивности;
   
5. 
   выпуклости.
   

6. 
   Известно, что производственная функция называется неоклассической, если она удовлетворяет определённым условиям. Какое из нижеперечисленных свойств не относится к определяющим неоклассическую ПФ характеристикам:
   

1. 
   ПФ в экономической области предприятия должна быть непрерывной и монотонно неубывающей по каждому аргументу;
   
2. 
   должна быть выпуклой вверх (вогнутой) по каждому аргументу;
   
3. 
   должна быть экономически непротиворечивой;
   
4. 
   должна быть линейно однородной;
   
5. 
   наличие взаимозаменяемости в группе двух или более производственных факторов, гарантирующей постоянство выпуска путём замещения одного фактора другим.
   

6. 
   Отношение показывает величину:
   

1. 
   нормы замены первого фактора вторым;
   
2. 
   предельной нормы замены первого фактора вторым;
   
3. 
   эластичности замены первого фактора вторым;
   
4. 
   нормы замены второго фактора первым;
   
5. 
   предельной нормы замены второго фактора первым;
   
6. 
   эластичности замены второго фактора первым;
   
7. 
   суммарной эластичности.
   

6. 
   Абсолютная величина предельной нормы замена одного фактора другим равна:
   

1. 
   отношению эластичностей выпуска по этим факторам;
   
2. 
   отношению средних производительностей этих факторов;
   
3. 
   отношению предельных производительностей этих факторов;
   
4. 
   отношению рыночных цен факторов;
   
5. 
   отношению объёмов затрачиваемых факторов.
   

6. 
   Производственная функция предприятия имеет вид: , где – производственные факторы «капитал» и «труд» соответственно. Предельная норма замены «капитала» «трудом»:
   

1. 
   равна 1;
   
2. 
   пропорциональна отношению ;
   
3. 
   равна ;
   
4. 
   равна .
   

6. 
   К количественным характеристикам производственной функции первого порядка не относятся:
   

1. 
   полная производительность - го производственного фактора;
   
2. 
   предельная (маржинальная) отдача - го производственного фактора;
   
3. 
   средняя суммарная отдача (рентабельность) обобщенного фактора;
   
4. 
   эластичность выпуска по - му производственному фактору;
   
5. 
   суммарная эластичность по всем производственным факторам.
   

6. 
   Для производственной функции , где - производственные факторы () предельная производительность второго фактора с ростом объёма его потребления при постоянном объёме потребления первого фактора:
   

1. 
   растёт (строго);
   
2. 
   остаётся постоянной;
   
3. 
   убывает (строго);
   
4. 
   может вести себя по-разному в зависимости от величины используемого первого фактора.
   

6. 
   Для некоторой используемой в производстве технологии достижение максимально возможного объёма производства означает:
   

1. 
   средний продукт (средняя производительность) обобщённого ресурса достигает максимума, а предельный продукт (предельная производительность) равен нулю;
   
2. 
   средний продукт достигает максимума, а предельный продукт убывает;
   
3. 
   средний продукт достигает максимума, а предельный продукт растёт;
   
4. 
   предельный продукт достигает максимума, а средний продукт равен нулю;
   
5. 
   предельный продукт равен нулю, а средний продукт убывает;
   
6. 
   средний и предельный продукты для некоторого фактора равны;
   
7. 
   средний продукт обобщённого ресурса достигает максимума, а предельный продукт – минимума.
   

6. 
   При рыночной цене производственного фактора K«капитал» 45 ед. и фактора L«труд» 15 ед. предприятие использует такую технологию, при которой предельная отдача «капитала» составляет 60 ед., а предельная отдача «труда» – 40 ед. В целях повышения эффективности производства предприятию следует:
   

1. 
   использовать большее количество фактора «капитал» и меньшее количество фактора «труд»;
   
2. 
   использовать больше е количество фактора «труд» и меньшее количество фактора «капитал»;
   
3. 
   уменьшить объёмы производства;
   
4. 
   увеличить цену реализации продукции.
   

6. 
   Для некоторого технологического процесса эластичность замены фактора L «труд» фактором K «капитал» равна «-2» . Отсюда следует, что:
   

1. 
   при увеличении потребления фактора «труд» на 1% для сохранения данного объёма производства необходимо уменьшить потребление фактора «капитал» на 2%;
   
2. 
   при уменьшении потребления фактора «труд» на 1% для сохранения данного объёма производства необходимо увеличить потребление фактора «капитал» на 2%;
   
3. 
   при уменьшении потребления фактора «труд» на 1% для сохранения данного объёма производства необходимо изменить потребление фактора «капитал» на 2% в ту же сторону;
   
4. 
   при увеличении потребления фактора «капитал» на 1% для сохранения данного объёма производства необходимо изменить потребление фактора «труд» на 2% в ту же сторону.
   

6. 
   Эластичность выпуска продукции по затратам ресурса равна:
   

1. 
   произведению предельной и средней производительностей ресурса;
   
2. 
   сумме предельной и средней производительностей ресурса;
   
3. 
   отношению предельной производительности ресурса к средней;
   
4. 
   отношению средней производительности ресурса к предельной.
   

6. 
   Для производственной функции , где , эластичность выпуска по фактору равна:
   

1. 
   предельной производительности этого фактора;
   
2. 
   средней производительности этого фактора;
   
3. 
   постоянной величине ;
   
4. 
   постоянной величине.
   

6. 
   Закон убывающей предельной производительности заключается в следующем:
   

1. 
   при снижении выпуска себестоимость продукции ограничена некоторой величиной;
   
2. 
   с уменьшением совокупных затрат выпуск снижается до предельно возможного;
   
3. 
   с ростом совокупных затрат прирост выпуска продукции снижается;
   
4. 
   с ростом цен на ресурсы предельный продукт снижается.
   

6. 
   Какая из перечисленных последовательностей, характеризующих изменения величины совокупного продукта, иллюстрирует закон убывающей предельной производительности:
   

1. 
   2500, 2000, 8000, 12000;
   
2. 
   2500, 3000, 5000, 11000;
   
3. 
   2500, 3000, 3200, 3300;
   
4. 
   2500, 3800, 3900, 4100.
   

6. 
   Отдача от масштабов производства характеризует:
   

1. 
   увеличение прибыли с ростом объёма выпуска;
   
2. 
   изменение выпуска при увеличении совокупных затрат ресурсов;
   
3. 
   изменение затрат ресурсов с ростом объёма выпуска;
   
4. 
   изменение себестоимости с ростом цен на факторы производства;
   
5. 
   изменение рыночной цены продукции при изменении цен на факторы производства.
   

6. 
   Если предприятие увеличивает объём используемых ресурсов на 15%, а выпуск растёт на 25%, то наблюдается:
   

1. 
   возрастающая отдача от масштаба;
   
2. 
   постоянная отдача от масштаба;
   
3. 
   убывающая отдача от масштаба.
   

6. 
   Какая производственная функция характеризуется возрастающей отдачей от масштаба?
   

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   .
   

6. 
   Предельные издержки:
   

1. 
   равны средним совокупным и средним переменным издержкам в точках минимума;
   
2. 
   равны разнице между совокупными и переменными издержками;
   
3. 
   как правило, растут, а затем снижаются вместе с общим доходом;
   
4. 
   изменяются с ростом объёма выпуска.
   

6. 
   Средние постоянные издержки:
   

1. 
   равны предельным в точке минимума средних совокупных издержек;
   
2. 
   для любого объёма выпуска равны сумме средних переменных и средних совокупных издержек;
   
3. 
   на двухмерном графике имеют U-образную форму;
   
4. 
   уменьшаются с ростом объёма выпуска.
   

6. 
   Если средние совокупные издержки с ростом объёма производства снижаются, то:
   

1. 
   предельные издержки больше средних совокупных ;
   
2. 
   кривая средних постоянных издержек находится выше кривой средних переменных;
   
3. 
   предельные издержки меньше средних совокупных;
   
4. 
   совокупные издержки снижаются.
   

6. 
   Задача минимизации производственных издержек заключается в выборе набора производственных факторов, обеспечивающего минимум:
   

1. 
   предельных издержек на покупку ресурсов при заданных ценах;
   
2. 
   цен на входящие в набор производственные факторы;
   
3. 
   совокупных затрат выпуска заданного объёма продукции при фиксированных ценах на факторы производства;
   
4. 
   постоянных издержек производства заданного объёма продукции.
   

6. 
   Функция Лагранжа задачи минимизации производственных издержек предприятия с двухфакторной производственной функцией имеет вид:
   

где: – двухфакторная производственная функция; C – планируемый объём производства; - рыночная стоимость i-го производственного фактора .

6. 
   Экономической интерпретацией множителя Лагранжа задачи минимизации производственных издержек являются (-ется):
   

1. 
   издержки на производство первой ед. продукции;
   
2. 
   минимальные совокупные издержки производства, при которых выпуск продукции больше либо равен планируемому уровню;
   
3. 
   предельные издержки производства;
   
4. 
   превышение издержек производства над минимально допустимыми, обеспечивающими планируемый объём выпуска.
   

6. 
   Фирмы обеспечивают минимальный уровень совокупных производственных издержек:
   

1. 
   поддерживая равенство переменных и постоянных издержек;
   
2. 
   поддерживая максимальный уровень производства;
   
3. 
   соблюдая равенство предельной нормы замещения производственных факторов и соотношению рыночных цен факторов;
   
4. 
   приобретая ресурсы на конкурентных рынках по более низкой цене.
   

6. 
   В точке рыночного равновесия отношение предельных производительностей потребляемых предприятием ресурсов равно:
   

1. 
   отношению средних производительностей ресурсов;
   
2. 
   отношению рыночных цен ресурсов;
   
3. 
   отношению эластичностей выпуска по ресурсам;
   
4. 
   отношению норм замены ресурсов.
   

6. 
   При определении величины показателя «оптимальный размер фирмы» с неоклассической производственной функцией не учитывается следующий параметр деятельности предприятия:
   

1. 
   цена реализации продукции;
   
2. 
   рыночные цены на производственные ресурсы;
   
3. 
   численность сотрудников фирмы;
   
4. 
   степень однородности производственной функции, описывающей технологический процесс.
   

6. 
   Пусть технологический процесс, характеризующийся постоянной эффективностью производства, обеспечивает равенство производственных издержек и цены готовой продукции. В этом случае оптимальный объём выпуска:
   

1. 
   равен нулю;
   
2. 
   может быть любым;
   
3. 
   невозможно определить;
   
4. 
   следует искать на границе экономической области, решая задачу Л.В. Канторовича на максимум финансового результата.
   

6. 
   Какое из представленных ниже соотношений задаёт производственную функцию Кобба-Дугласа?
   

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4.