2 глава, 9 версия. Нелинейные модели производства
 Скачать 0.61 Mb.
|
|
ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВА В этой главе рассматривается проблематика моделирования производства в условиях рынка совершенной конкуренции. На основе представления производственной системы как динамической структуры рассматриваются концепция и особенности моделирования производственной функции как основного инструмента анализа, планирования, управления и прогнозирования результатов производственной деятельности объектов микроэкономики. В качестве иллюстрации практического использования в прикладных задачах аппарата производственных функций приводятся математические постановки нелинейных моделей производства, а также условия разрешимости соответствующих оптимизационных задач. Рассмотрены следующие вопросы:
2.1. Представление производственной системы предприятия как конечного автомата. Понятие экономической области предприятия Одним из объектов микроэкономики являются экономические агенты – отдельные предприятия и складывающиеся между ними хозяйственные отношения. Предполагается, что экономические агенты функционируют в условиях рынка совершенной конкуренции, который определяется следующими признаками:
Предприятие, осуществляющее хозяйственную деятельность на рынке совершенной конкуренции, преследует вполне прозрачные цели, связанные с обеспечением эффективной структуры производства и достижением максимально возможного уровня благосостояния собственников (акционеров). Сделанные замечания и предпосылки позволяют предложить математическую модель предприятия1, в которой собственно предприятие понимается как сложная динамическая система, представляемая конечным автоматом второго рода (автомат Мура)2. Определение 2.1. Конечным автоматом называется система , где X – множество входных сигналов; Q – множество состояний автомата; Y – множество выходных сигналов; – функция перехода автомата из одного состояния в другое; – функция выходов. Множества X, Q и Y – конечные. Другими словами, конечный автомат – преобразователь, трансформирующий множество X входных параметров производственной системы, представленных в виде I-мерного вектора , посредством функции δ переходов состояний (множество Q определяется, например, K-мерным вектором , в множество Y выходных параметров, задаваемых, например,J-мерным вектором . В приведённом определении существенную роль играет состояние , в котором в рассматриваемый момент времени t находится производственная система. Под вектором состояний производственной системы будем понимать достигнутую к периоду t технологическую структуру производства, характеризующуюся накопленными активами (в первую очередь, иммобильными), а также производственной составляющей оборотного капитала. Таким образом, функция перехода описывает зависимость состояния производственной системы на шаге от состояния на предыдущем шаге и значения входного сигнала. Функция выходов определяет значение выходного сигнала, зависящего от состояния производственной системы на шаге t и значения входного сигнала. В качестве входного вектора принимают объёмы поступающих на вход производственной системы на шаге факторов производства , а в качестве выходного вектора – объёмы выпуска (в натуральном или стоимостном выражениях) продукции . Если используемая в момент времени технология задаётся состоянием , то результатом производственной деятельности предприятия является доход: где: – рыночная цена ед. продукции j-го наименования; – рыночная цена ед. -го фактора производства. В правой части (2.1) первая сумма характеризует результат (в стоимостном выражении) производственной деятельности, вторая – совокупные затраты ресурсов для периода t. Со вторым слагаемым правой части выражения (2.1) связано понятие экономической области предприятия, которую иначе называют областью производственных возможностей, включающей все допустимые наборы производственных факторов , которые могут быть приобретены предприятием с использованием оборотного капитала величиной Определение 2.2. Экономическая область предприятия задаётся множеством векторов факторов производства в пространстве : Поскольку целью рыночной деятельности предприятия является максимизация дохода3, то, находясь в состоянии , из всего множества векторов выпуска, достижимых на экономической области Ω, следует выбрать вектор с наибольшей стоимостной оценкой: что соответствует условию перевода производственной системы из состояния в состояние , для которого вектор обладает наибольшей стоимостной оценкой : производственная система генерирует не любой вектор продукции, а тот, который обладает наибольшей рыночной стоимостью: Отсюда следует, что рост потребления любого производственного фактора характеризуется увеличением товарного выпуска.2.2. Производственная изокванта. Представление экономической области предприятия в виде верхней полурешётки производственных изоквант На экономической области предприятия зададим бинарное отношение частичного порядка ρ4. Определение 2.3. Отношение ρ( на множестве называется бинарным отношением частичного порядка, если оно обладает свойствами:
для
для из одновременного выполнения условий и следует, что 3) транзитивности: для из одновременного выполнения условий и следует, что Множество называют частично упорядоченным множеством с заданным на нём отношением порядка ρ. В соответствии с (2.3) и определением 2.3 справедливо следующее утверждение: если то: Пусть – подмножество частично упорядоченного множества . Определение 2.4. называется верхней гранью множества , если для всех выполняется неравенство Определение 2.5. называется точной верхней гранью подмножества , если выполняются следующие условия: 1) – верхняя грань ; 2) для любого являющегося верхней гранью , выполняется неравенство Будем рассматривать экономическую область предприятия как частично упорядоченное множество возможных неотрицательных входов . Сделанные предположения позволяют представить экономическую область предприятия в виде упорядоченного набора производственных изоквант – кривых выпуска, для каждой из которых стоимостная оценка результата соответствует определённому значению . Определение 2.6. Производственной изоквантой уровня для заданной технологии называется множество векторов , которым соответствует одна и та же стоимостная оценка результата Из определения 2.6 следует, что производственная изокванта включает множество векторов производственных факторов,обеспечивающих заданный объём (в стоимостном выражении) выпуска продукции. Множество изоквант будем обозначать Каким образом устроено множество изоквант ? Прежде чем ответить на поставленный вопрос, введём следующее определение. Определение 2.7. Частично упорядоченное множество , все подмножества которого имеют точную верхнюю грань, принадлежащую , называется верхней полурешёткой и обозначается . Основываясь на этом определении можно утверждать, что набор производственных изоквант позволяет представить экономическую область предприятия в виде верхней полурешётки . Поскольку бόльшим значениям вектора производственных факторов соответствует бόльшее значение стоимости продукции (производственная изокванта более высокого уровня), то можно утверждать, что верхняя полурешётка имеет иерархическую структуру, у которой на первом этаже находится наименьший элемент, который принято называть нулём 0 верхней полурешётки , а на последнем – наибольший элемент – единица I верхней полурешётки. Определение 2.8. называется наименьшим (наибольшим) элементом экономической области , если для всех справедливо Нулевым элементом 0 верхней полурешётки является либо нулевой вектор5 производственных факторов, либо все такие наборы векторов , для которых объём производства в стоимостном выражении равен нулю, т.е. (сюда можно отнести наборы производственных факторов, использовать которые производительным образом не представляется возможным). Этим наборам производственных факторов соответствует нулевая изокванта . Далее будем отождествлять нуль 0 верхней полурешётки , а соответственно и её нулевой этаж, с нулевой изоквантой . Первый этаж характеризуется производством минимального, экономически обоснованного объёма продукции. Примером может служить производство и реализация единицы самой дешёвой продукции. На верхнем этаже полурешётки находятся максимальные наборы производственных факторов, которым соответствует изокванта максимального значения выпуска продукции (в стоимостном выражении). Изокванта и соответствующие ей наборы производственных факторов принимаются за единицу I верхней полурешётки . В качестве единичного набора или максимального элемента верхней полурешётки может выступать вектор , компоненты которого получаются в предположении максимально возможного объёма каждого из используемых из производственных факторов. В силу ограниченности оборотного капитала вектор является недостижимым, следовательно, недостижима и соответствующая ему единичная изокванта . Напротив, если удается выделить максимальный набор , расположенный на единичной изокванте , то часть составляющих его производственных факторов расходуется полностью, а по некоторым образуются неиспользованные остатки. Верхняя полурешётка производственных изоквант обладает следующими вполне очевидными свойствами:
Заметим, что степень детализации структуры верхней полурешетки всецело определяется характером решаемой задачи моделирования производственной системы. Если задача дискретна, что предполагает считать наборы производственных факторов неделимыми, то верхняя полурешётка заполнена не полностью: в ней присутствуют незаполненные этажи, а также минимальные элементы, что обеспечивает конечность множества производственных изоквант. В непрерывном случае наборы являются делимыми, и верхняя полурешётка в силу свойства выпуклости (между любыми двумя этажами можно поместить третий) оказывается заполненной полностью. Это означает, что «смесь» допустимых векторов и будет находиться на «промежуточной» изокванте : Аппарат производственных изоквант тесно связан с понятием производственной функции. 2.3. Частичные и полные производственные функции. Методы аппроксимации гладких производственных функций Поскольку изокванта характеризуется определённой величиной выпуска (максимально возможной для вектора ), то соотношение задаёт производственную функцию (ПФ) предприятия, а точнее частичную производственную функцию (ЧПФ), определённую в конкретной (-ых) точке (-ах) экономической области . Определение 2.9. Функция где – подмножество экономической области , включающее наборы факторов производства, принадлежащих производственной изокванте , называется частичной производственной функцией. С учётом (2.8) принято указывать: где в качестве принимается величина выпуска , соответствующая изокванте . Чем больше этажей в верхней полурешетке , тем более высокой оказывается степень детализации ЧПФ. Если соотношение (2.8) установлено для всех наборов производственных факторов из экономической области , то соответствующая ПФ является полной (ППФ), определённой на всей верхней полурешётке . Определение 2.10. Функция где – верхняя полурешётка, включающая все допустимые изокванты называется полной производственной функцией. ППФ задаётся выражением: Отметим отличия ППФ и ЧПФ. Во-первых, ППФ определена на всей верхней полурешётке , а не только на выделенных изоквантах , как ЧПФ. Во-вторых, ППФ , обладая заданными аналитическими свойствами, отличается качеством приближения ЧПФ Предполагается, что ППФ обладает свойством гладкости в смысле принадлежности к классу (где – степень гладкости функции) непрерывно дифференцируемых на множестве функций. Поскольку ЧПФ определена на верхней полурешётке производственных изоквант, удовлетворяющей свойствам замкнутости, рефлексивности, антисимметричности, транзитивности и выпуклости, то возникает возможность построения её полного прообраза с помощью кусочно-линейной функции. Однако полученная таким образом ППФ не будет принадлежать классу непрерывно дифференцируемых на множестве функций. Графическая интерпретация этой проблемы показана на рис. 2.1 (двумерный случай), где представлена кусочно-линейная ППФ, не дифференцируемая в узлах решётки, а, следовательно, для этой функциональной зависимости отсутствует возможность расчёта количественных характеристик первого порядка. С другой стороны, ППФ , определённая на всей верхней полурешётке , на каждой наблюдаемой изокванте полностью копирует ЧПФ . Рис. 2.1. Вариант построения полного прообраза производственной функции на основе ЧПФ ППФ выбирается из множества вычислимых на верхней полурешётке функций так, что она наилучшим (в смысле отношения ) образом приближает (аппроксимирует) ЧПФ в узлах . В качестве возможных отношений (мер отличия) , как правило, используются следующие метрики: 1) равномерное приближение: 2) среднеквадратическое приближение (евклидово расстояние): Таким образом, фиксируя узлы или множество изоквант , оценивают значения функций и в узлах подобласти , соответствующей изоквантам . Для выбранной из множества возможных ППФ расстояние в смысле метрики должно принимать наименьшее значение. В зависимости от выбранных способов аппроксимации и метрики удаётся получить ППФ f, принадлежащую к конкретному классу гладкости: . Для целей практических исследований достаточно, чтобы ППФ принадлежала классу : , т.е. являлась дважды непрерывно дифференцируемой на экономической области. Резюмируя изложенное, приведём основные этапы моделирования ППФ:
Аппарат ПФ актуален для широкого круга прикладных задач микроэкономики, и, в первую очередь, задач прогнозирования и управления производственной деятельностью предприятия. Так, для целей прогнозирования планируемого уровня производства или определения реакции на изменение условий рыночной среды принято использовать ЧПФ, предварительно определенные для как можно бόльшего числа точек экономической области . Пусть – набор факторов производства, расположенный на изокванте . Если – вектор рыночных цен на факторы производства, то – совокупные затраты на факторы производства в объёме . Поскольку , то согласно (2.3) – стоимостная оценка вектора выпуска при условии, что – вектор цен на продукцию. Пусть два различных набора производственных факторов и принадлежат одной производственной изокванте . Первому набору факторов производства соответствует оценка совокупных затрат, второму набору оценка . Возможны следующие альтернативы: Напомним, что отношение стоимостной оценки результата к оценке совокупных затрат на приобретаемые производственные факторы называется коэффициентом рентабельности затрат. Различают коэффициент рентабельности полных затрат, рассчитываемый по всему набору производственных факторов (и активов) и коэффициент рентабельности –го производственного фактора (актива : С использованием коэффициента рентабельности приведенные выше условия предпочтительности наборов производственных факторов выглядят следующим образом: Из определения 2.9 следует, что ЧПФ задаются в табличном виде, а именно: конкретному значению объёма выпускаемой продукции (в стоимостном выражении) в соответствие ставится множество наборов факторов производства, образующих конкретную изокванту. Таким образом, ЧПФ обладают количественными характеристиками только нулевого порядка, к которым относятся средняя отдача (рентабельность) активов, образующих вектор и рентабельность -го производственного фактора (актива) в точке Таким образом, в случае, если оказывается возможным определить множество наборов производственных факторов для некоторой изокванты , то можно ставить и решать задачу выбора стратегии поведения предприятия на рынке факторов производства, используя в качестве критерия оптимальности показатели рентабельности полных активов или конкретного, –го актива. 2.4. Система предпосылок к построению неоклассической производственной функции. Понятие однородной производственной функции Далее будем полагать, что ППФ определена на верхней полурешётке , принадлежит классу и удовлетворяет следующим условиям: 1) монотонно неубывающая по каждому аргументу в экономической области (рис. 2.2): Указанное свойство следует из принципов построения верхней полурешётки и соотношения (2.7); 2) выпукла вверх (вогнута) по каждому аргументу: Рис. 2.2. Графическое представление однофакторной производственной функции Условие (2.18) - следствие закона убывающей предельной отдачи производственного фактора: с ростом затрат фактора при постоянных затратах остальных факторов производства его предельная отдача падает; 3) экономически непротиворечива: (отсутствие выпуска при нулевых затратах производственных факторов). Последнее свойство ПФ напрямую вытекает из свойства замкнутости верхней полурешётки , согласно которому нулевой вектор затрат производственных факторов соответствует нулевой изокванте; 4) ПФ однородна по всей совокупности аргументов. Определение 2.11. ПФ однородна по аргументам , если существует константа , называемая показателем эффективности производства или степенью однородности производственной функции, такая, что для и любого масштаба производства такого, что набор , справедливо равенство: Условие однородности ПФ позволяет констатировать наличие конкретной зависимости между пропорциональным увеличением затрат производственных факторов и ростом объёма производства в пределах экономической области . Определение 2.12. ПФ линейно однородна по аргументам , если она является однородной степени однородности, равной единице. Из приведённого определения следует, что пропорциональное увеличение затрат производственных факторов для линейно однородной ПФ приводит к адекватному увеличению выпуска. В этом случае ПФ обладает постоянным эффектом масштаба производства. Если увеличение затрат факторов обусловливает непропорционально больший прирост выпуска, то ПФ обладает возрастающим эффектом масштаба производства . Если пропорциональный рост затрат производственных факторов обусловливает непропорционально меньшее увеличение выпуска, то ПФ обладает убывающим эффектом масштаба производства ; 5) наличие взаимозаменяемости двух или более производственных факторов, позволяющее гарантировать постоянство выпуска путём замещения одного фактора другим. В случае неполной взаимозаменяемости факторов предполагается наличие неуменьшаемого остатка одного фактора при условии возможности замещения необходимого объёма этого фактора соответствующим объёмом другого фактора. Определение 2.13. ПФ , удовлетворяющая условиям 1–5, называется неоклассической. Отметим, что условие 2 дважды непрерывно дифференцируема в любой точке экономической области и вогнута по каждому аргументу) является наиболее важным свойством неоклассической производственной функции. Оно используется в рассматриваемых ниже моделях минимизации производственных издержек и определения оптимального размера предприятия. 2.5. Количественные характеристики производственной функции нулевого и первого порядков. Теорема Эйлера для однородных производственных функций. Понятия «степень однородности» и «масштаб производства», их связь с суммарной эластичностью производственной функции Количественными характеристиками ПФ нулевого порядка являются следующие: 1) полная производительность i-го производственного фактора в окрестности точки где: фиксированные объёмы производственных факторов (кроме -го) в точке . Показатель характеризует величину выпуска, обусловленную затратами i-го фактора, при фиксированных затратах факторов ; 2) средняя отдача (производительность)-го производственного фактора (averageproduct) в точке Средняя отдача -го производственного фактора характеризует величину выпуска, приходящегося на единицу -го фактора (актива);
Совокупная рентабельность характеризует величину выпуска, приходящуюся на единицу обобщенного ресурса (актива).
где: полная стоимость используемых в процессе производственных факторов (величина привлекаемого производственного капитала). Норма отдачи характеризует рентабельность производственного капитала;
Показатель характеризует экономический результат: разница между выпуском в стоимостном выражении и затратами. Количественные характеристики ПФ первого порядка: 1) предельная (маржинальная) отдача (предельный выпуск) (marginalproduct) -го производственного фактора в точке Предельная отдача i-го производственного фактора в случае положительного эффекта масштаба производства характеризует прирост объёма выпуска по -му фактору (в стоимостном выражении) при увеличении потребления этого фактора на одну единицу (при неизменных объёмах затрат остальных факторов). На рис. 2.3 представлена зависимость между предельной и средней отдачам производственного фактора. С ростом объёма производства растёт до некоторого максимума, затем снижается. Величина также увеличивается, достигает максимума, затем снижается. В этом случае каждая дополнительная единица переменного ресурса, соединенная за анализируемый период с постоянным ресурсом, даёт меньшую прибавку к выпуску по сравнению с предыдущей единицей, и объём производства растёт в уменьшающемся темпе. По мере добавления переменного ресурса его эффективность падает, а эффективность постоянного ресурса растёт, что объясняется законом убывающей предельной производительности фактора производства (законом убывающей доходности/отдачи - lawofdiminishingmarginalproductivity): непрерывное увеличение одного переменного ресурса в сочетании с неизменным количеством других ресурсов в определённый момент приводит к прекращению роста, а затем и к его падению6. C 0 MРAР B A AР MР Рис. 2.3. Графическая интерпретация зависимости между предельной и средней отдачами производственного фактора Отметим взаимосвязь предельного и совокупного продуктов. В случае, если , объём совокупного продукта возрастает. Если , совокупный продукт уменьшается. Таким образом, равен 0, когда совокупный продукт достигает максимума;
Показатель эластичности характеризует процентное7 изменение выпуска, связанное с изменением потребления i-го производственного фактора на один процент. Рост производства имеет место, если , в противном случае – падение . Такая ситуация возможна, если финансирование производственного фактора требует больших затрат, чем отдача от его использования; 3) суммарная эластичность по всем производственным факторам в точке Показатель суммарной эластичности характеризует соотношение относительных приростов выпуска и затрат при пропорциональном изменении последних. Показатель суммарной эластичности тесно связан с показателями масштаба и эффективности производства. Для демонстрации этой связи воспользуемся соотношениями (2.19) и (2.28) и сформулируем вариант теоремы Эйлера для однородных ПФ, связывающей суммарную эластичность с масштабом производства и степенью однородности . Теорема 2.1 (Эйлера для однородной ПФ). Пусть ПФ дифференцируема на и является однородной степени . Тогда для справедливо соотношение: в случае Доказательство. Поскольку ПФ является однородной степени , то в силу (2.19) справедливо (для любого такого, что продолжает оставаться в экономической области . В этом случае масштаб производства можно рассматривать как самостоятельный производственный фактор. Фиксируем и дифференцируем обе части (2.19) по , используя правило дифференцирования сложной функции: Поскольку (2.32) справедливо для любого масштаба производства , то положим . Тогда: что совпадает с (2.29). Следовательно, если , то: или На основании (2.27) и (2.28) делаем вывод, что Теорема 2.1 доказана. Таким образом, суммарная эластичность выпуска по производственным факторам в точке совпадает со степенью однородности rпроизводственной функции. Отметим, что в рамках одной производственной изокванты предельная отдача ресурса совпадает с его двойственной оценкой, что позволяет в задачах моделирования оптимальной производственной программы предприятия использовать 1-е, 2-е и 4-е свойства двойственных оценок ресурсов, позволяющие количественно оценить эффективность стратегии предприятия на рынках производственных факторов. Напомним эти свойства. Согласно первому свойству «двойственная оценка – мера дефицитности ресурса». Приведём некоторые пояснения. Неиспользованный полностью ресурс имеет нулевую оценку . Или, что то же самое, равная нулю оценка ресурса свидетельствует о его недефицитности. Напротив, дефицитные ресурсы расходуются полностью. Отсутствие остатков ресурсов дефицитной группы препятствует росту целевой функции (критерия оптимальности) прямой задачи. Оценка таких ресурсов неотрицательна . Если степень дефицитности ресурса измеряется его двойственной оценкой, то с ростом оценки растёт его дефицитность. Согласно второму свойству «двойственная оценка – мера влияния ограничения на функционал модели». В задачах максимизации дохода мера влияния ресурса на величину дохода измеряется его оценкой. Согласно четвертому свойству «оценка – инструмент балансирования затрат и результата». Это свойство демонстрируется выражением: где: – объём производства продукции -го вида, произведённой s-м технологическим способом; – цена реализации продукции -го вида, произведенной s-м технологическим способом; – наличный запас производственного фактора -го вида; – двойственная оценка -го производственного фактора; – план выпуска продукции -го вида; – двойственная оценка -го продукта, характеризующая упущенную выгоду от производства каждой дополнительной -го единицы. В правой части (2.35) первая сумма – совокупный доход, который может быть получен при наилучшем использовании производственных факторов. Вторая сумма – потенциальное уменьшение дохода за счёт упущенной выгоды от включения в производственную программу изделий с ненулевыми двойственными оценками. План оптимален тогда и только тогда, когда затраты компенсируются результатами. 2.6. Математическая модель производственной изокванты Пусть для двухфакторной ПФ факторы и взаимозаменяемы. В силу сделанных предположений (п. 2.4) является монотонно невозрастающей и выпуклой к началу координат: увеличить производственное потребление одного ресурса при сохранении объёма выпуска возможно за счёт снижения потребления другого. 0 Рис. 2.4. Графическое представление производственной изокванты для двухфакторной производственной функции Поскольку производственная изокванта кривая постоянного выпуска, приращение ПФ вдоль изокванты равно нулю: .Так как, ПФ является дифференцируемой в любой точке экономической области (в силу первой предпосылки), то справедливо условие: откуда: где: – предельная норма замены второго фактора первым для производственной изокванты величины . Предельная норма замены характеризует абсолютный объём увеличения затрат первого фактора (при условии сохранения объёма выпуска ) в случае, если затраты второго фактора снизятся на единицу. Используя определение эластичности (2.28), представим соотношение (2.37) в виде: Выражение (2.37), являющееся следствием модели производственной изокванты, составляет основу неокейнсианской теории предельной производительности факторов: норма замены производственных факторов обратно пропорциональна их предельным производительностям. Если предприятие достигло некоторого уровня производства и намерено сохранить его в дальнейшем, то необходимо комбинировать и потреблять производственные факторы в соответствии с соотношением (2.37). Экономическое содержание знака «» в (2.37) и (2.38) объясняется тем, что снижение потребления одного фактора инициирует рост потребления второго. Если же происходит одновременное увеличение потребления обоих производственных факторов, то с учётом свойства транзитивности верхней полурешётки осуществляется переход на изокванту , для которой . Эластичность замещения второго производственного фактора первым может быть определена и выражением: Эластичность замещения второго фактора первым при фиксированном объёме выпуска характеризует процентное изменение объёма потребления первого фактора при изменении объёма потребления второго фактора на один процент. Экономическую область предприятия можно представить упорядоченным набором производственных изоквант, называемого картой изоквант (рис. 2.5), демонстрирующей следующие особенности взаимозаменяемости производственных факторов:
0 Рис. 2.5. Карта производственных изоквант для двухфакторной производственной функции 0 D C B A Рис. 2.6. Эффективные и неэффективные области изокванты для двухфакторной производственной функции
III 0 Рис. 2.7. Варианты расположения производственной изокванты в зависимости от соотношения эластичностей выпуска по факторам производства (для двухфакторной производственной функции) II I 2.7. Модель минимизации производственных издержек. Условие существования решения. Функция производственных издержек и ее количественные характеристики. Аналитическое представление функции производственных издержек для неоклассической производственной функции Фундаментальная отправная точка анализа эффективности производства – функциональная зависимость, связывающая издержки8 производства и выпуск за анализируемый период. Выведем эту зависимость, исходя из базисных предположений неоклассической теории производства. С учётом допущения, что ПФ является неубывающей в экономической области предприятия, а её полный образ для каждого объёма выпуска аппроксимируется гладкой изоквантой (достаточно первого порядка гладкости), сформулируем задачу минимизации производственных издержек: в условиях полной взаимозаменяемости производственных факторов определение на производственной изокванте уровня набора факторов минимальной рыночной стоимости . Математическая модель минимизации производственных издержек предприятия (затрат производственного капитала) имеет вид: 9 где: рыночная стоимость используемого набора производственных факторов; ППФ предприятия, определённая на области ; заданный объём выпуска (в стоимостном выражении). Графическая иллюстрация модели (2.40)-(2.42) приведена на рис. 2.8. Составим функцию Лагранжа задачи (2.40)-(2.42) на условный экстремум с ограничениями в виде неравенств: Поскольку решается задача на минимум, то целевая функция и множество допустимых решений задачи (2.40)-(2.42) должны быть выпуклы. Т. к. линейная функция, то условие выпуклости целевой функции выполняется автоматически. 0 Рис. 2.8. Графическая иллюстрация задачи минимизации производственных издержек для двухфакторной производственной функции ППФ вогнутая по каждому аргументу на множестве функция, а, следовательно, «–» выпуклая функция. Кроме того, очевидно существует вектор такой, что выполняется неравенство . Таким образом, множество удовлетворяет условию Слейтера, что позволяет для модели (2.40)-(2.42) выписать условия теоремы Куна – Таккера оптимальности решения : Из соотношения (2.45) следует, что в случае, если . Т. к. все , а (для ), то для . Наконец, поскольку, то из (2.47) получаем, что . Принимая во внимание полученное равенство, можем заключить, что задача (2.40)-(2.42) эквивалентна следующей задаче на минимум: а условия оптимальности (2.44)-(2.48) решения исходной задачи могут быть сведены к следующей системе из уравнений: где: В точке оптимального набора производственных факторов, как следует из соотношений (2.50), предельные отдачи факторов прямо пропорциональны их рыночным ценам . Возвращаясь к соотношению (2.37), получим следующее его обобщение, ключевое в неоклассической теории предельной полезности факторов производства: указывающее на справедливость следующего тезиса: в точке оптимума предельные производительности факторов прямо пропорциональны, а предельная норма замены обратно пропорциональна их рыночным ценам. Выше на основе (2.45) было получено выражение для множителя Лагранжа: показывающего, что для любого производственного фактора его стоимость, приходящаяся на единицу предельной отдачи, является величиной постоянной. Таким образом, соотношение: для нелинейных моделей производства демонстрирует четвертое свойство двойственных оценок (оценка как инструмент балансировки затрат и результатов). Так как заданному объёму выпуска в экономической области соответствует только одна производственная изокванта , то можно сделать вывод о том, что для каждого уровня производства решение задачи (2.40’), (2.49), (2.42’) является единственным и задаёт зависимость между объёмом производства и парой: минимальный по стоимости набор производственных факторов и множитель Лагранжа. Построим функцию Z(C) производственных издержек, связывающую издержки производства с объёмом С выпускаемой продукции: так как Умножим правую часть соотношения (2.56) на , полагая, что оптимальный набор не принадлежит нулевой изокванте . Получим: С учётом полученного ранее выражения (2.29) для показателя суммарной эластичности в точке , функция производственных издержек может быть представлена в виде: или с учётом условия (2.51): Выражение (2.59) для функции производственных издержек позволяет определить её основные количественные характеристики:
Как правило, вдоль производственной изокванты суммарная эластичность полного набора факторов меняется незначительно, это позволяет утверждать: средние издержки пропорциональны множителю Лагранжа;
Докажем справедливость соотношения (2.61). Найдём значение дифференциала в точке ППФ в силу её принадлежности классу дифференцируема в любой точке . Значение дифференциала в точке принимает вид: Откуда получаем , что и требовалось доказать. Соотношение (2.61) позволяет интерпретировать множитель Лагранжа как предельные издержки для заданного объёма выпуска 3) эластичность издержек производства (costelasticity) в точке Таким образом, эластичность издержек по выпуску в точке оптимума есть величина, обратная суммарной эластичности выпуска. Известно, что любое многономенклатурное производство характеризуется понижающейся отдачей от любого переменного ресурса и, таким образом, масштаб такого производства характеризуется соотношением . Следовательно, для такого производства эластичность издержек больше 1 (издержки изменяются быстрее, чем выпуск). Рассмотрим случай неоклассической ПФ. Если ПФ является неоклассической и, в частности, однородной степени , то выполняется условие (2.19). В силу теоремы Эйлера её суммарная эластичность в точке совпадает со степенью однородности , если . Указанное позволяет определить аналитическую форму функции производственных издержек для случая неоклассической ПФ. Утверждение 2.1. Для ПФ , являющейся однородной степени , функция производственных издержек имеет вид: где Доказательство. Из (2.64) следует: где: – эластичность издержек производства; – суммарная эластичность функции выпуска. Поскольку ПФ является однородной степени , то согласно теореме Эйлера суммарная эластичность выпуска ε совпадает со степенью однородности Запишем (2.66) в следующем виде (полагая , : Используя операцию интегрирования, последовательно получим: где – константа логарифмирования; Положим Тогда В полученном выражении знаки модуля можно опустить ввиду неотрицательности издержек производства и объёма выпуска. В результате, применяя операцию потенцирования, получим: В случае единичного объёма производства получим – производственные издержки единичного объёма выпуска. Утверждение доказано. 2.8. Модель оптимального размера фирмы. Условие существования решения В долгосрочном периоде, когда возможно изменить любые ресурсы, предприятие стремится найти свой оптимальный размер, варьируя выпуском и издержками. Поведение издержек в долгосрочном периоде является главным фактором, определяющим количество и размеры предприятий отрасли. Для полноты анализа рассмотрим графическую иллюстрацию зависимости между предельными и средними издержками. На рис. 2.9 показана динамика этих показателей с изменением объёма производства.
p С 0 MC, AC AC D B MC A Рис. 2.9. Зависимость средних и предельных издержек
В точке средние и предельные издержки совпадают, что соответствует равновесию фирмы на рынке. Прежде чем привести постановку задачи определения оптимального размера производства, отметим следующие предпосылки её построения. Предполагается наличие рынка совершенной конкуренции, что подразумевает отсутствие каких-либо ограничений на приобретаемые и производимые объёмы факторов производства и готовой продукции, а также отсутствие возможности отдельного предприятия влиять на цены реализации продукции и закупаемых производственных факторов. Критерием эффективности деятельности предприятия на рынках является чистый доход, задаваемый функцией балансовой прибыли: где: цена реализации единицы продукции; объём выпуска; производственные издержки. Предполагается, что объём выпускаемой продукции описывается ППФ . Задача выбора оптимального размера предприятия имеет следующий вид: Запишем необходимое условие экстремума функции прибыли: откуда Соотношение (2.76’) свидетельствует, что максимум прибыли достигается в случае равенства предельных издержек рыночным ценам на продукцию. Рассмотрим однородную ПФ. В этом случае: где: степень однородности (масштаб производства) либо равен 1 (линейный случай), либо меньше или больше 1 (нелинейный случай). 1. Постоянная эффективность производства (степень однородности равна 1). Полагая , подставим это значение в функцию прибыли. Получим: Возможны случаи: а) . Издержки, приходящиеся на единицу продукции, превосходят цену реализации, вследствие чего прибыль отрицательна. Логичным является решение отказа от дальнейшего производства: оптимальный выпуск (оптимальный размер фирмы) равен нулю; б) . Издержки и цена реализации единицы выпуска совпадают, что подразумевает нулевую прибыль. Кроме того, прибыль не зависит от объёма производства. В этом случае любой объём производства является оптимальным; в) . Цена реализации продукции превосходит производственные издержки: прибыль тем больше, чем больше запланированный объём производства. В этом случае следует выбрать максимально возможное, достижимое на экономической области значение выпуска . Оптимальный размер фирмы соответствует границе выпуклого симплекса допустимых решений задачи линейного программирования. 2. Возрастающая эффективность от роста масштаба производства . Запишем необходимое условие экстремума функции прибыли для случая : Откуда Определим размер прибыли предприятия при объёме производства , задаваемом выражением (2.80'): Таким образом, в случае возрастающей эффективности от роста масштаба производства объём выпуска, определяемый соотношением , соответствует точке минимума прибыли . Оптимальный размер фирмы, как и в случае постоянной эффективности производства , соответствует границе экономической области . 3. Убывающая эффективность от роста масштаба производства . В этом случае оба сомножителя выражения (2.81) больше нуля, а, следовательно, прибыль при объёме производства положительна. Вторая производная функции имеет следующий вид: что свидетельствует о том, что объём выпуска, определяемый соотношением , соответствует точке максимума функции прибыли . В точке оптимального размера предприятия Объём производства определяемый выражением (2.), соответствует оптимальному размеру предприятия, а зависимость объёма выпуска от цены продукта: задаёт функцию предложения для предприятия с неоклассической ПФ. 2.9. Основные классы двухфакторных производственных функций Приведём перечень основных классов двухфакторных неоклассических функций с указанием количественных характеристик. Для некоторых ПФ приведём аналитические выражения функций издержек и оптимального размера производства. Функция Кобба – Дугласа10 где: Первые и вторые частные производные: Функция Кобба – Дугласа определена, неотрицательна и дважды непрерывно дифференцируема на всём положительном ортанте , причём (по каждому фактору является неубывающей функцией), и (по каждому фактору выпукла вверх). ПФ Кобба – Дугласа является однородной степени Таким образом, можно сделать вывод, что ПФ Кобба – Дугласа принадлежит классу неоклассических. Определим средние отдачи (средние продукты) каждого производственного фактора: Определим коэффициенты эластичности выпуска: В силу теоремы Эйлера суммарная эластичность выпуска: Вдоль производственной изокванты предельные нормы замены второго фактора первым и первого фактора вторым составят: Эластичности замены факторов: Определим аналитический вид функции издержек для частного случая ПФ Кобба – Дугласа, у которой : . Построим модель производственных издержек и соответствующую функцию Лагранжа: (функционал и ограничения модели являются непрерывными и дважды дифференцируемыми на ортанте функциями). Необходимым условием экстремума функции является разрешимость системы: Подставим полученное соотношение в третье уравнение системы (2.105): Откуда: Приведём аналитическое выражение функции издержек: Определим предельные издержки как частную производную функции издержек по объёму производства и сравним полученный результат с полученным выше значением Т. к. ПФ характеризуется постоянной эффективностью производства , то для нахождения оптимального объёма предложения необходимо провести дополнительный анализ. Определим издержки производства на единицу продукции: Рассмотрим три возможных случая соотношения показателей удельных издержек и цены реализации продукции . В первом случае (издержки единицы выпускаемой продукции превосходят её цену). Прибыль отрицательна. Логичным решением является отказ от дальнейшего производства: оптимальный выпуск (оптимальный размер фирмы) равен нулю. Во втором случае (издержки и цена реализации совпадают). Это подразумевает равенство прибыли нулю. В этом случае любой объём выпуска является оптимальным. В третьем случае (цена реализации единицы продукции превосходит производственные издержки). Это свидетельствует о положительном значении прибыли: прибыль тем больше, чем больше объём производства. Оптимальный размер фирмы соответствует производственной изокванте наибольшего возможного выпуска. В заключение отметим, что ПФ Кобба – Дугласа используется при описании объектов среднего масштаба (от промышленного объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием. |