Опорные конспекты по геометрии 8 класс-1. Ок 1 Многоугольники Точки A, B, C, D, е многоугольника

• Название: Ок 1 Многоугольники Точки A, B, C, D, е многоугольника
• Дата: 03.12.2022
• Размер: 5.42 Mb.
• Имя файла: Опорные конспекты по геометрии 8 класс-1.docx
• Тип: Документы; #826478
• страница: 4 из 5

Следствие 2.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное

для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
∆ АВС – прямоуг.

СD – высота




АC =
ВC =

ОК-23 Значения тригонометрических функций для углов 30⁰, 45⁰, 60⁰



ОК - 24 Взаимное расположение прямой и окружности
Общие сведения об окружности



В О – центр окружности (точка, равноудаленная от

К всех точек окружности)

R = ОА - радиус окружности (отрезок,

ОА соединяющий центр окружности с любой

ее точкой)

М КМ – хорда (отрезок, соединяющий две точки

С окружности)

d = СВ – диаметр (хорда, проходящая через центр окружности)
Свойства окружности:

1. 
   Все радиусы одной окружности равны.
   
2. 
   Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.
   
3. 
   Центр окружности является серединой диаметра.
   
4. 
   Р адиус равен половине диаметра.
   

d = 2R R= d/2
Взаимное расположение прямой и окружности

d – расстояние от прямой до окружности

r – радиус окружности

d < r	d > r	d = r
если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. В таком случае, прямая называется секущей поотношению к окружности.	если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.	если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. В таком случае, прямая называется касательной к окружности.

ОК – 25 Касательная к окружности

• 
  Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
  

Прямая р – касательная к окружности

Точка Н – точка касания

• 
  Свойство касательной к окружности: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
  

р – касательная

ОН – радиус, проведенный в точку касания р ┴ ОН

• 
  С войство отрезков касательных, проведенных из одной точки: Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  

С Дано:

АС, АВ - касательные

Док-ть:

АС = АВ

∠САО =∠ВАО

В

• 
  Признак касательной:
  

р Если прямая проходит через конец радиуса,

Н лежащий на окружности, и перпендикулярна к

этому радиусу, то она является касательной.
Н р

р ┴ ОН р – касательная
ОК-26 Градусная мера дуги окружности




L Дуга– часть окружности.
В B
А

A
M
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.
Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности.



∠АОВ - центральный




- длина окружности

В

А = м, дм, см
= м, дм, см, ⁰

больше полуокружности А В меньше полуокружности
Если АВ меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера равна градусной мере ∠АОВ.	Если АВ больше полуокружности, то ее градусная мера равна 3600 – ∠АОВ .

ОК-28 Свойство биссектрисы угла
Т очка равноудалена от двух прямых точка находится на одинаковом расстоянии от этих прямых.




а (A;a) = (A; b)

А ∙

b
Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла

равноудалена от его сторон.

К В Дано:

АМ - бис-са ∠ВАС

А М М АМ

Док-ть:

L C МК = МL
Док-во:

1. 
   проведем МК┴ АВ и МL ┴ АС
   
2. 
   рассмотрим ∆АКМ и ∆АLМ - прямоуг.
   
3. 
   ∠ 1 = ∠2 ( т.к. АМ - бис-са) ∆АКМ = ∆АLМ
   

АМ - общая гипотенуза ( по гипотенузе и острому углу)

МК = МL
Обратная теорема. Каждая точка, лежащая внутри угла и

равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.
Следствия:

1. 
   Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвернутого угла и равноудаленных от сторон угла, является биссектриса этого угла.
   
2. 
   Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
   

О К-27 Вписанный угол
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на

окружности, а стороны пересекают окружность.

∠АВС – вписанный

∠АВС опирается на АС
Теорема. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Дано:

∠АВС – вписанный

Док-ть: ∠АВС = АС

Док-во:

Луч ВО совпадает со стороной ∠АВС

1. 
   ∠АОС = АС
   

∠АОС = ∠1 + ∠2 (как внешний угол ∆АВО)

2. 
   ∆ АВО – равнобедренный(ОА=ОВ=R) ∠1 = ∠2
   

∠АОС = 2 ∙ ∠1

3. 
   ∠АВС = ∠1 = ∠АОС = АС
   

Луч ВО делит ∠АВС на два угла (внутри угла)

∠АВD = АD

∠CВD = D

∠АВС = ∠АВD + ∠CВD = АD + D = = АD + D) = АС



Луч ВО не делит ∠АВС на два угла (вне угла)

∠АВD = АD

∠CВD = D

∠АВС = ∠АВD – ∠CВD = АD – D = = АD – D) = АС

Следствия:

1. 
   Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
   

1 ∠1 = АС

2 ∠2 = АС ∠1 = ∠2

А С

2. 
   Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
   

1

А ∙ С ∠1 = АС

АС = 180 ⁰ ∠1 = 90 ⁰

ОК-29 Серединный перпендикуляр
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.




а ┴ АВ

АО = ОВ а - серединный перпендикуляр

О
Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку

равноудалена от концов этого отрезка.




Дано:

а - сер. ┴

М а

Док-ть:

АМ = МВ
Док-во:

1. 
   а - сер. ┴ а ┴ АВ и АО = ОВ
   
2. 
   Рассмотрим ∆ МАО и ∆ МВО - прямоуг.
   

АО = ОВ ∆ МАО = ∆ МВО

МО - общий катет (по двум катетам) АМ = МВ
Обратная теорема. Каждая точка, равноудаленная от концов

отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Следствия:

1. 
   Геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка , является серединный перпендикуляр к нему.
   

2. 
   Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
   

ОК-30 Замечательные точки треугольника
Т еорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

ВВ₁ ┴ АС

АА₁ ┴ ВС ВВ₁ АА₁ СС₁ = О

СС₁ ┴ АВ

т.О - ортоцентр
Ортоцентр - точка пересечения высот треугольника.

• 
  В остроугольном треугольнике ортоцентр - внутри треугольника.
  
• 
  В прямоугольном треугольнике ортоцентр - вершина прямого угла.
  
• 
  В тупоугольном треугольнике ортоцентр - вне треугольника.
  

Замечательные точки треугольника:

точка пересечения медиан точка пересечения биссектрис



точка пересечения точка пересечения высот

серединных перпендикуляров