Опорные конспекты по геометрии 8 класс-1. Ок 1 Многоугольники Точки A, B, C, D, е многоугольника

• Название: Ок 1 Многоугольники Точки A, B, C, D, е многоугольника
• Дата: 03.12.2022
• Размер: 5.42 Mb.
• Имя файла: Опорные конспекты по геометрии 8 класс-1.docx
• Тип: Документы; #826478
• страница: 3 из 5

Египетский

треугольник

О К-17 Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники

Т ри отрезка АВ, CD и EF пропорциональны трем отрезкам А₁В₁, С₁D₁ и E₁F₁, если справедливо равенство:
Фигуры одинаковой формы называют подобными.

1. 
   ∠ А=∠А₁, ∠ В=∠В₁, ∠ С=∠С₁
   

(стр. 138) 2)


Коэффициент подобия показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.
Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
= k² (к - коэффициент подобия)
ОК-18 Первый признак подобия треугольников
1-й признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

А Дано:

А₁ ∆ АВС, ∆ А₁В₁С₁

∠А=∠А₁, ∠В=∠В₁

В С В₁ С₁ Док-ть: ∆ АВС ∆ А₁В₁С₁
Док-во:

1. 
   ∠С =180 ^о – (∠А + ∠В)
   

∠С₁ =180 ^о – (∠А₁ + ∠В₁) ∠С=∠С₁

∠А=∠А₁, ∠В=∠В₁

2. 
   Т.к. ∠А=∠А₁ , (1) (1) = (2)
   

3. 
   Т.к. ∠С=∠С₁ , (2)
   

(3)

4. 
   Т.к. ∠В=∠В₁, (4)
   

1. 
   = (4) (5)
   

5. 
   (3) = (5)
   

6. 
   ∠А=∠А₁, ∠В=∠В₁, ∠С=∠С₁
   

∆ АВС ∆ А₁В₁С₁


Следствия :

1. 
   Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
   

M N║AC ∆ MNB ∆ АСВ

2. 
   Прямоугольные треугольники подобны по острому углу.
   

∆ АВС и ∆ А₁В₁С₁ – прямоуг. ∆ АВС ∆ А₁В₁С₁

∠А=∠А₁

ОК – 19 Второй и третий признаки подобия треугольников
2-й признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.




Дано:

∆ АВС, ∆ А₁В₁С₁

∠А=∠А₁



Док-ть: ∆ АВС ∆ А₁В₁С₁
Док-во:

1. 
   Рассмотрим АВ₂С : ∠1=∠А₁, ∠2=∠С₁
   
2. 
   ∠ 1=∠А₁, ∠2=∠С₁ ∆ АВ₂С ∆ А₁В₁С₁
   

( по 1 признаку)

3. 
   (т.к. ∆ АВ₂С ∆ А₁В₁С₁)
   

(по условию)

4. 
   АВ = АВ₂
   

А С – общая ∆ АВ₂С = ∆ АВС ( по 1 признаку)

∠1=∠А₁=∠А

5. 
   ∆ АВ₂С ∆ А₁В₁С₁
   

∆ АВ₂С = ∆ АВС ∆ АВС ∆ А₁В₁С₁
3-й признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.




Дано:

∆ АВС, ∆ А₁В₁С₁



Док-ть: ∆ АВС ∆ А₁В₁С₁

Док-во:

1. 
   Рассмотрим АВ₂С : ∠1=∠А₁, ∠2=∠С₁
   
2. 
   ∠ 1=∠А₁, ∠2=∠С₁ ∆ АВ₂С ∆ А₁В₁С₁ (по 1 признаку)
   

3. 
   ∆ АВ₂С ∆ А₁В₁С₁
   

4. 
   (т.к. ∆ АВ₂С ∆ А₁В₁С₁)
   

АВ = АВ₂ и

(по условию) ВС = В₂С

5. 
   АВ = АВ₂
   

ВС = В₂С ∆ АВ₂С = ∆ АВС ( по 3 признаку)

АС – общая

6. 
   ∆ АВ₂С ∆ А₁В₁С₁
   

∆ АВ₂С = ∆ АВС ∆ АВС ∆ А₁В₁С₁



ОК-20 Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

К – середина АВ (АК=КВ) КМ – средняя

М – середина ВС (ВМ=МС) линия


Теорема (свойство средней линии треугольника):

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Дано:

МN – ср. линия ∆ АВС

Док-ть:

1. 
   MN ║ АС
   
2. 
   MN = АС
   

Док-во:

1. 
   М – середина АВ ВM = АВ =
   

N – середина ВC ВN = ВC

∠B – общий

∆ АВС ∆ МВN (по 1 пр.)

2. 
   ∆ АВС ∆ МВN ∠1=∠2 MN ║ АС
   

∠1 и ∠2 – соотв. при АС и MN и сек. АВ

3. 
   ∆ АВС ∆ МВN к = = MN = АС
   

М N – ср. линия ∆ АВС MN ║ АС и MN = АС
Свойство медиан треугольника:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.




АА₁, ВВ₁, СС₁ - медианы


ОК -22 Синус, косинус, тангенс острого угла

прямоугольного треугольника







sin cos tg - тригонометрические функции
Определение: синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.


Определение: косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.


Определение: тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.



основное тригонометрическое

тождество

Теорема. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

ОК-21 Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Задача. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Дано:

∆ АВС – прямоуг.

СD – высота

Док-ть:

1. 
   ∆ АСD ∆ СDВ
   
2. 
   ∆ АСD ∆ АВС
   
3. 
   ∆ СDВ ∆ АВС
   

Док-во:

1. 
   ∆ АСD и ∆ СDВ – прямоуг. → ∠D = 90⁰
   

∠В = 90⁰ - ∠А →

∠ВСD = 90⁰ - ∠В = 90⁰ - (90⁰ - ∠А) = 90⁰ - 90⁰ + ∠А =∠А

→ ∆ АСD ∆ СDВ ( по 1 пр.)

2. 
   ∆ АСD – прямоуг. → ∠D = 90⁰
   

∆ АВС– прямоуг. → ∠С = 90⁰

∠D = ∠С = 90⁰

∠А – общий → ∆ АСD ∆ АВС ( по 1 пр.)

3. 
   ∆ СDВ – прямоуг. → ∠D = 90⁰
   

∆ АВС– прямоуг. → ∠С = 90⁰

∠D = ∠С = 90⁰

∠В – общий → ∆ СDВ ∆ АВС ( по 1 пр.)



Следствие 1.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

∆ АВС – прямоуг.

СD – высота



CD =