Опорные конспекты по геометрии 8 класс-1. Ок 1 Многоугольники Точки A, B, C, D, е многоугольника

• Название: Ок 1 Многоугольники Точки A, B, C, D, е многоугольника
• Дата: 03.12.2022
• Размер: 5.42 Mb.
• Имя файла: Опорные конспекты по геометрии 8 класс-1.docx
• Тип: Документы; #826478
• страница: 2 из 5

ОК-9 Осевая и центральная симметрия
Осевая симметрия – симметрия относительно прямой.

Центральная симметрия – симметрия относительно точки.
Задание 1. Построить треугольник, симметричный данному относительно данной прямой.

Задание 2. Построить отрезок, симметричный данному относительно данной точки.


Задание 3. Ответить письменно на вопросы 18-22 (стр. 114 учебника)

ОК -10 Площадь многоугольника
Площадь многоугольника – это величина части плоскости, которую занимает многоугольник.



Свойства площадей:

1. 
   Равные многоугольники имеют равные площади.
   
2. 
   Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
   

3. 
   Площадь – величина положительная.
   
4. 
   Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
   

ОК-11 Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма
П лощадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

А В

S_ABCD = ab

a

C D

b

Основание - одна из сторон параллелограмма.

В ысотой параллелограмма, проведённой к стороне, называется перпендикуляр, проведённый из любой точки противолежащей стороны к прямой, содержащей основание.
CD – основание ВС – основание

AE, MN, BK– высоты OP, AF – высоты
Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его

основания на высоту.




Дано:

ABCD –

CD – основание

АЕ – высота

Док-ть:

S_ABCD = CD∙AE

Док-во:

1. 
   Рассмотрим прямоугольные ∆ADE и ∆BCK:
   

AD =ВС(противоп. стор. парал-ма) ∆ADE = ∆BCK

∠1=∠2 (соответсв. при AD║ВС и сек.DC) (по гипот. и остр. углу)

2. 
   ∆ ADE = ∆BCK S_ADE = S_BCK
   
3. 
   ABKD – трапеция
   

S_ABKD = S_ABCD + S_BCK

S _ABKD = S_ABKE + S_ADE S_ABCD = S_ABKE

S_ADE = S_BCK

4. 
   A BKE – прямоугольник S_ABKE = АВ∙АЕ
   
5. 
   S_ABCD = S_ABKE = АВ∙АЕ
   

А В = CD S_ABCD = CD∙AE

ОК-13 Площадь трапеции
Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований на другое основание или его продолжение.



Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту.

Дано:

АВСD – трапеция

АВ, СD – основания

АЕ – высота

Док-ть:

S _ABCD = ∙ AE

Док-во:

1. 
   Проведем диагональ АС
   

S _ABCD = S _ABC + S _ACD

S _ACD = ∙ AE

2. 
   Проведем СК - высоту ∆АВС
   

S _ABC = ∙ СК

СК = АЕ S _ABC = ∙ АЕ

3. 
   S _ABCD = S _ABC + S _ACD
   

S _ABCD = ∙ АЕ + ∙ AE

S _ABCD = ∙ AE




Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту.







ОК-12 Площадь треугольника
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение.

Одну из сторон треугольника называют основанием. Под словом «высота» подразумевают высоту треугольника, проведенную к основанию.




Основание - ВС, высота – АК

Основание – АС, высота - ВЕ

Основание – АВ, высота - СF


Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Дано:

∆ АВС

АС – основание

ВЕ – высота

Док-ть:

S_АВС = АС∙ВЕ

Док-во:

1. 
   Достроим ∆ АВС до параллелограмма АВDC (СD║АВ, BD║АС)
   
2. 
   СD=АВ (противопол. стор. #)
   

BD=АС (противопол. стор. #) ∆ АВС=∆ DВС

ВС – общая (по III признаку)

3. 
   ∆ АВС=∆ DВС S_АВС = S _DВС
   
4. 
   S_АВDС = S_АВС + S _DВС = 2 S_АВС
   

S_АВС = S_АВDС

S_АВDС = АС∙ВЕ S_АВС = АС∙ВЕ
Следствия:

1. 
   П лощадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.
   

S_АВС = АС∙ВС

2. 
   Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то их площади относятся как основания.
   

∆ АВС: АС – основание, ВЕ – высота

∆ CВD: CD – основание, ВЕ – высота

S_АВС = АС∙ВЕ; S_CВD = CD∙ВЕ




Теорема 2. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.


S

S₁

∆ АВС

∆ А₁В₁С₁

∠А₁=∠А₂

ОК-14 Площади

Фигура	Обозначение	Формула площади
треугольник	h a	S = a h
Прямоугольный треугольник	a b	S = ab
параллелограмм	h a	S = a h
прямоугольник	a b	S = ab
трапеция	a h b	S = (a+b) h
ромб	d2 d1	S = d1 d2
Четырехугольник (d1 ┴ d2)		S = d1 d2

ОК-15 Теорема Пифагора
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.




Д ано:

∆ АВС – прямоуг.

а, b - катеты ac

с – гипотенуза

Док-ть: b

c² = a² + b²
Док-во:

1. 
   Достроим треугольник до квадрата со стороной (a+b), как на рисунке.
   

S_кв = (a+b)²

2. 
   С другой стороны S_кв = 4 S_тр + S_кв1
   

S_тр = , S_кв1 = с²

S_кв = 4 ∙ + с²

4 ∙ + с² = (a+b)²

2 + с² = a² +2аb + b²

с² = a² +2аb + b² – 2

c² = a² + b²
Алгоритм решения задач с применением теоремы Пифагора:

• 
  Указать прямоугольный треугольник;
  
• 
  Записать для него теорему Пифагора;
  
• 
  Подставить известные значения сторон;
  
• 
  Найти неизвестную сторону, произведя вычисления или решив уравнение.
  

Примеры задач.
№ 1. № 2.




5 ? ? 20
12 16

ОК-16 Теорема, обратная теореме Пифагора
Теорема. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.


Дано:

∆ АВС

АВ² = АС² + ВС²

Док-ть:

∆ АВС – прямоугольный

Док-во:

1. 
   Рассмотрим ∆ А₁В₁С₁ – прямоугольный такой, что:
   

∠С₁ - прямой

А₁С₁ = АС

В₁С₁ = ВС

2. 
   По теореме Пифагора в ∆ А₁В₁С₁ – прямоуг.
   

А₁ = А₁ + В₁

А₁С₁ = АС А₁ = АС² + ВС²

В₁С₁ = ВС

3. 
   А ₁ = АС² + ВС²
   

АВ² = АС² + ВС² А₁ = АВ² А₁В₁ = АВ

4. 
   А₁С₁ = АС
   

В₁С₁ = ВС ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁ (по III признаку)

А₁В₁ = АВ ∠С = ∠С₁ = 90⁰ ∆ АВС – прямоугольный
Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.