Лрба. Операторный метод расчета переходных процессов

• Название: Операторный метод расчета переходных процессов
• Дата: 29.04.2022
• Размер: 1.47 Mb.
• Имя файла: operat.pdf
• Тип: Документы; #504781
• страница: 3 из 5

Метод переменных состояния.
Метод переменных состояния – метод, основанный на описании состояния электрической цепи системой дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенной относительно производных искомых переменных, которые называются переменными состояния. Под переменными состояния обычно понимают токи в индуктивностях и напряжения на емкостях, потому что через них можно определить любые другие напряжения и токи в цепи.
Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени, их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами.
Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других. Систему уравнений для первых производных переменных состояния цепи обычно называют уравнениями состояния. При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные
(
)
и
(
)
с самими переменными ѱ (
) и
(
) и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий. Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид
(29)
Здесь X и
- столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени; U- матрица-столбец источников внешних воздействий; Y- столбцовая матрица выходных (искомых) величин;
A- квадратная размерностью n x n (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; B- прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); C- прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно

37 числу искомых величин k, а столбцов – n); D- прямоугольная размерностью k×m матрица связи входа с выходом.
Начальные условия для уравнения (29) задаются вектором начальных значений X(0).
Метод распространяется на непрерывные и на дискретные линейные и нелинейные цепи и системы. Метод переменных состояния часто применяется для расчета разветвленных цепей и цепей со многими входами и выходами.
Применение данного метода расчета потребует решения двух основных задач: 1) составления уравнений состояния цепи и 2) их решения.
Методы составления уравнений состояния цепи.
В данном пособии рассматриваются все указанные методы. Метод уравнений
Кирхгофа и метод наложения более удобно применять для простых цепей с небольшим количеством реактивных элементов. Топологический метод является наиболее формализованным и больше всего подходит для расчета переходных процессов в сложных схемах со многими реактивными элементами с помощью математических пакетов.
Метод составления уравнений состояния с помощью уравнений
Кирхгофа.
Порядок расчета.
1. Выбирают переменные состояния – токи в индуктивностях и напряжения на емкостях.
2. Формируют уравнения состояния. Для этого составляют систему уравнений Кирхгофа для послекоммутационной схемы и разрешают их относительно производных переменных состояния:
Рис. 25

38
;
. Уравнения записывают в канонической форме и в матричной форме при решении на ЭВМ.
3. Составляют алгебраические уравнения для выходных переменных
(искомых токов ветвей и напряжений на элементах). Рассматривая схему, находят уравнения, связывающие переменные состояния и выходные переменные. Полученные уравнения записывают в матричной форме.
Топологический метод составления уравнений состояния.
Порядок расчета.
1. Составляется ориентированный граф схемы, на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения
(ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.
2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами.
3. Составляется таблица связи, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока. Процедура заполнения таблицы заключается в поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи до получения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+» записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию.
4. По таблице связи (табл.3) составляются уравнения Кирхгофа, описывающие данную схему. Осуществляется расписывание таблицы по столбцам и по строкам. В первом случае получаются уравнения по первому закону Кирхгофа, во втором – по второму. При расписывании

39 таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах необходимо брать со знаками, противоположными табличным.
Затем уравнения разрешаются относительно производных переменных состояния (которыми являются токи в индуктивностях и напряжения на емкостях), и таким образом уравнения состояния формируются таким же способом, как и в предыдущем методе. Если схема имеет
«неправильные» размещения: a) контура, состоящие только из ветвей с источниками ЭДС и емкостных ветвей или только из емкостных ветвей; б) узлы схемы, в которых стягиваются ветви либо только с источниками тока и индуктивностями, либо только ветви с индуктивностями; в) узлы схемы, к которым не подключено ни одной емкостной ветви или ветви с источником напряжения и в то же время подключено более одной резистивной ветви, иными словами, в число ветвей связи попадает емкостная ветвь, или в число ветвей дерева – ветвь, содержащая индуктивный элемент, то вычисление U
C и i
L потребует еще и решения систем линейных алгебраических уравнений.
5. Далее по необходимости составляются уравнения выходных переменных. Рассматривая схему, находят уравнения, связывающие переменные состояния и выходные переменные. Полученные уравнения записывают в матричной форме.
Формирование уравнений состояния методом наложения.
Порядок расчета.
1. Выбирают переменные состояния (которыми являются токи в индуктивностях и напряжения на емкостях).
2. Для каждого индуктивного и емкостного элемента записывают выражения для напряжения и тока:
;
………
…………
Тогда в матричной форме:
[
̇
̇
̇
̇
]
=
[
]
[
̇
̇
̇
]
,

40
Или
[
] [
] [
̇
]
3. В послекоммутационной схеме индуктивные элементы заменяют источниками тока, а емкостные элементы – источниками ЭДС. Затем, применяя свойство наложения (ток в любой ветви равен сумме составляющих токов от каждого из источников в отдельности) рассматривают частные схемы, в каждой из которых действует только один из источников, входящих в исходную схему: E, J,
,
.
Суммируя частные решения для отдельных источников с учетом выбранных положительных направлений напряжений и токов, находим полные значения искомых величин.
4. Составляют систему уравнений для выходных переменных.
Рассматривая схему, находят уравнения, связывающие переменные состояния и выходные переменные. Полученные уравнения записывают в матричной форме.
В каждом из приведенных примеров представлены все три указанных способа решения.
Пример 1.
Составить уравнения состояния и уравнения выходных переменных для схемы на рис. 2 после замыкания ключа. Дано: Е=100 В, r=10 Ом, R
1
=40 Ом,
R
2
=50 Ом, С=1000 мкФ.
Найти токи в ветвях и напряжения на всех элементах цепи при замыкании ключа: i
1
(t), i
2
(t), i
3
(t), U
R1
(t), U
R2
(t), U
С
(t), U
r
(t).
Решение.
Составим уравнения состояния с помощью уравнений Кирхгофа.
В соответствии с порядком расчета:
1. Выбираем переменные состояния – напряжение на емкости (
)
2. Составляем уравнения Кирхгофа. Для этого обозначим направления токов в схеме и их номера (см. рис. 26).
Уравнения, описывающие данную схему:
Из данных уравнений следует:

41
Отсюда уравнение состояния:
Или
[
]
Матрицы X и Х′:
[
]
[
]
Коэффициенты матрицы А:
,
1
Данное собственное число совпадаут с корнем характеристического уравнения (см. операторный метод).
Матрица В примет вид:
[1
⁄ ]
Матрица U:
[ ].
3. Составляем уравнения для выходных переменных. Для этого воспользуемся следующими соотношениями, вытекающими из уравнений Кирхгофа:
Столбцовая матрица выходных переменных (искомых величин):
Рис. 26

42
[
]
; матрица С будет иметь следующий вид:
[
]
,
Где
1 1
Матрица D:
[
1
]
Составим уравнения состояния топологическим методом.
В данной схеме неправильные размещения отсутствуют.
1. Составляем ориентированный граф схемы. Включаем С- и Е- ветви в дерево, а R- ветви - в число ветвей связи. Направленность ветвей связи и ветвей дерева выбрана в соответствии с ранее выбранным направлением токов в исходной схеме. Прямыми изображены ветви дерева, дугами – ветви связи. Каждый элемент при формировании графа представляет собой отдельную ветвь (см. рис. 27).
2. Нумеруем ветви графа: 11-емкость, 22 – малый резистор r, 33 – резистор
R
1
3. Составляем таблицу связи: первая строка – ветви дерева, первый столбец – ветви связи.
1 1
1
4. Запишем уравнения Кирхгофа для данной таблицы связи:
, т.е.
,
, или
,
Рис. 27

43
, или
Видно, что уравнения совпали с ранее составленными непосредственно по законам Кирхгофа, поэтому вывод уравнений состояния не приводится (он выполнен выше).
Составим уравнения состояния методом наложения.
1. Выбираем переменные состояния – токи в индуктивностях и напряжения на емкостях (
).
2. Запишем выражения для напряжения и тока:
. Заменим емкость источником ЭДС (см. рис. 28). Оставляя в схеме один источник (неучитываемые источники ЭДС закорачиваются, а неучитываемые источники тока размыкаются), сформируем две частные схемы (см. рис.29 и 30). Схема рис. 29:
Схема рис. 30:
Таким образом,
, и вновь получили уравнение состояния:
Рис. 28
Рис. 29
Рис. 30

44
Уравнения для выходных переменных получены выше.
Пример 2.
Составить уравнения состояния и уравнения выходных переменных для схемы на рис. 31 после замыкания ключа.
Дано:
, н,
, н, м, м,
11 м, мк .
Выходные переменные:
,
,
,
,
,
Решение.
Составим уравнения состояния с помощью уравнений Кирхгофа.
В соответствии с порядком расчета:
1. Выбираем переменные состояния – токи в индуктивностях и напряжения на емкостях (
,
,
)
2. Составляем уравнения Кирхгофа. Для этого обозначим направления токов в схеме и их номера (см. рис. 32). В данной схеме четыре узла, значит, по первому закону Кирхгофа составим три уравнения:
;
;
По второму закону Кирхгофа составим еще три уравнения:
;
;
Рис. 31

45
Разрешая их относительно производных
,
,
, cформируем систему уравнений состояния. Вначале выразим
,
,
, а затем приведем уравнения к нормальной форме, воспользовавшись равенствами:
;
,
:
Найдем
. Для этого используем уравнение:
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
(
)
(
)).
Раскрываем скобки, упрощаем и выражаем
:
(
)
(
)
Теперь получим выражение для
:
(
) ,
После подстановки в это выражение получим:
[
(
)
(
)
]
Рис. 32

46
Упрощаем выражение:
[ 1
]
[
(
)
]
[
(
)
]
Выражение для вытекает из равенства:
(
).
После подстановки в это выражение получим:
[
(
)
(
)
]
Упрощаем выражение:
[1
]
[
(
)
]
[
(
)
]
Приведем уравнения к нормальной форме:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[ 1
]
[
(
)
]
[
(
)
]
[1
]
[
(
)
]
[
(
)
]
Матрицы X и Х′:
[
]
[
]
Коэффициенты матрицы А (после упрощения):
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
[
],
[
(
)
],
[
],

47
[
],
[
],
[
(
)
].
Таким образом, подставив численные значения, можем записать матрицу А (матрицу Якоби) для данной задачи:
[
. 111 . .
1 .
1.
]
Собственные числа матрицы А: λ1=-51.27+179.4j,
λ2=-51.27-179.4j, λ3=-59.16
Матрица В примет вид:
[
1
⁄
]
Матрица U:
[ ]
3. Составляем уравнения для выходных переменных. Для этого воспользуемся следующими соотношениями, вытекающими из уравнений Кирхгофа:
;
⁄ ;
;
⁄ ;
;
⁄ .
Тогда система уравнений для выходных переменных будет выглядеть так:
[
]
[
(
)
]
[
(
)
]
[
1
]
[
1]
[
]
[
]
[
(
)
]
[
(
)
]
[
1
]
[
]
[ 1
]
[
]
[
(
)(
)
]
[
(
)(
)
]

48
[
1
]
[
(
)(
)
]
[
(
)(
)
]
Столбцовая матрица выходных переменных (искомых величин):
[
]
; матрица С будет иметь следующий вид:
[
]
, где коэффициенты:
,
(
)
;
(
)
;
;
(
)
;
(
)
;
;
(
)(
)
;
(
)(
)
;
;
1;
;
;
;
1
;
;
(
)(
)
;
(
)(
)
Наконец, матрица D размером 6×1 будет нулевой, т.к. источник Е не входит в состав ни одного уравнения выходной переменной.
Составим уравнения состояния топологическим методом.
В данной схеме имеются неправильные размещения: узлы, к которым стягиваются резистивные ветви R
3 и R
4
, ветви R
2
и R
3
. Поэтому вывод уравнений состояния потребует решения алгебраических уравнений.
1. Составляем ориентированный граф схемы, включая С- и Е- ветви в дерево, а R- и L- ветви - по возможности в число ветвей связи.
Направленность ветвей связи и ветвей дерева выбрана в соответствии с ранее выбранным направлением токов в исходной схеме. Прямыми изображены ветви дерева, дугами – ветви связи. Каждый элемент при формировании графа должен представлять собой отдельную ветвь (см. рис.33).
2. Пронумеруем ветви графа: ветвь 11 – емкость, ветви 22 и 33 – резисторы дерева, также в число ветвей дерева входит ветвь Е. Таким образом, дерево охватывает все узлы. Далее нумеруем ветви связи: 44 – резистивная ветвь, 55 и 66 – ветви с индуктивностями.

49
3. Составляем таблицу связи: первая строка – ветви дерева 11, 22, 33, Е, первый столбец – ветви связи 44, 55, 66. Таблица заполняется следующим образом. Например, ветвь связи 44 образует контур из ветвей 44, 33, 11, 22 (все остальные ветви образуемого этой ветвью контура должны быть ветвями дерева). Обход контура осуществляется по направлению ветви связи 44, т.е. против часовой стрелки.
Направление ветви 33 совпадает с выбранным направлением обхода, поэтому на пересечении строки 44 и столбца 33 будет стоять +1, направление же ветвей 11 и 22 не совпадает с направлением обхода, поэтому на пересечении строки 44 и соответствующих столбцов будут стоять -1. Следующий контур образовывает ветвь 55, и в него будут входить также ветви 11 (+1), 33 (-1) и Е(+1).
1 1
1 1
1 1
1 1
4. Полученная таблица связи позволяет записать уравнения Кирхгофа для данной схемы. Уравнения по первому закону получаются при расписывании таблицы по столбцам, по второму закону – при расписывании таблицы по строкам (при этом напряжения на пассивных элементах берут с обратным знаком). Запишем полученные по таблице уравнения:
, т.е.
,
, т.е.
,
, т.е.
,
, или
,
, или
,
Рис. 33

50
,или
Если сравнить полученные уравнения с ранее записанными уравнениями по
Кирхгофу, то обнаружится совпадение или возможность получения выше записанных уравнений с помощью подстановок. Вывод уравнений состояния и уравнений выходных переменных уже выполнен выше (см. «Составление уравнений состояния с помощью уравнений Кирхгофа»)
Составим уравнения состояния методом наложения.
3. Выбираем переменные состояния – токи в индуктивностях и напряжения на емкостях (
,
,
).
4. Запишем выражения для напряжения и тока:
;
,
5. Заменим индуктивности источниками тока, а емкости – источниками
ЭДС (см. рис. 34). Оставляя в схеме один источник (неучитываемые источники ЭДС закорачиваются, а неучитываемые источники тока размыкаются), сформируем четыре частные схемы (см. рис. 35).
Рассматривая эти схемы, запишем для каждой выражения, определяющие
,
,
Рис. 34

51
Схема а). В схеме действует источник
, ток
′ можно записать так:
, тогда
(
)
(
)
,
(
)
(
)
Схема б). В схеме действует источник тока
, ток которого делится на
′′ и
′′. Напряжение параллельных ветвей можно записать так:
(
), откуда
. После подстановки в уравнение ток
. Напряжение
, напряжение найдем из выражения
, подставив в него найденные ранее значения токов и
:
[
1]
[
1].
Схема в). В схеме действует источник
, и уравнение по первому закону
Кирхгофа запишем так:
. Напряжение параллельных ветвей можно записать следующим образом:
(
), откуда
Рис.35

52
. После подстановки в уравнение ток
(
)
. Напряжение
, напряжение найдем из выражения
(
), подставив в него найденные ранее значения токов или
:
(
)
Схема г). В схеме присутствует источник Е, однако ветвь с источником разомкнута.
Поэтому
,
,
(
) .
Суммируя частные решения с учетом выбранных направлений токов и напряжений, получим:
(
)
,
(
)
,
(
)
[
1]
(
)
Найдем переменные состояния с помощью равенств
;
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
есто для формулы.
[
]
[
(
)
]
[
]
[
]
[
]
[
(
)
]
Коэффициенты матрицы А совпали с теми, что были получены при решении задачи с помощью уравнений Кирхгофа.