Лрба. Операторный метод расчета переходных процессов
 Скачать 1.47 Mb.
|
|
4. Уравнения для выходных переменных получены выше. Методы решения уравнений состояния цепи. После того, как уравнения состояния получены, необходимо решить эти уравнения и найти переменные состояния, а затем и выходные переменные. Основные способы решения уравнений состояния представлены на рис. 55.Они делятся на аналитические и численные. Рис. 55 74 Аналитические методы решения уравнений состояния. При аналитическом способе решение уравнений состояния записывают в виде суммы матриц свободной и принужденной составляющих: св пр , где св ( ) - соответствует реакции цепи, обусловленной ненулевыми начальными условиями ( ) при отсутствии внешних воздействий U=0; пр ∫ ( ) ( ) – соответствует реакции цепи от внешних воздействий ( ) при нулевых начальных условиях ( ) ; ( ) - матрица (вектор) начальных значений переменных состояния, полученных при ; –матричная экспоненциальная функция (матричная экспонента). Если в цепи после коммутации нет источников энергии, т.е. ( ) , то решение матричного уравнения имеет вид: ( ) Если же в цепи после коммутации есть источники независимых воздействий, то матрица ( ) , и интегрирование матричного дифференциального уравнения приводит к решению в виде: ( ) ∫ ( ) ( ) , которое состоит из суммы двух слагаемых – реакции цепи при ненулевых начальных условиях и реакции цепи при нулевых начальных условиях и наличии источников внешних воздействий ( ). Матрица выходных переменных: ( ) ∫ ( ) При нулевых начальных условиях ( ) ( 1) ( 1) Наиболее трудным здесь является вычисление матричной экспоненты Можно использовать разложение ее в ряд ∑ , однако ряд медленно сходится и его суммирование трудоемко. Можно также получить матричную экспоненту в виде полинома на основании теоремы Кели-Гамильтона, по методу Сильвестра или вычислить операторным методом. Метод Кели-Гамильтона. Матричная экспонента представляется выражением , где и т. д. Число членов разложения равно порядку n матрицы А (то есть числу переменных состояния). В уравнении …(номер ввести) коэффициенты 75 , , , - некоторые функции f(t, λ 1 , λ 2 , … λ n ), которые определяются из матричного уравнения (ввести номер), если нет кратных корней λ: [ ] [ 1 1 1 ] [ ]. В уравнении (номер) λ 1 , λ 2 , … λ n есть собственные значения матрицы A, совпадающие с корнями характеристического уравнения. Собственные числа матрицы можно определить из уравнения (p1-A)=0, где 1 – единичная матрица порядка n. Характеристическое уравнение получаем, приравняв к нулю определитель системы ( ) ( 1 ) , собственные числа матрицы А определяются из уравнения ( ) ( 1 ) . Если матрица А имеет вид [ ] , то ( ) | | Метод Сильвестра. Матричная экспонента (в случае отсутствия кратных корней ) представляется в виде ∑ , где ∏ ( ) ∏ ( ) , l=1,2,3,…n. Собственные значения λ матрицы А определяются из уравнения (номер). Операторный метод. Матричную экспоненту можно определить путем обращения матрицы (1p-A): ( 1 ) Рассмотрим примеры отыскания матричной экспоненты. Пример 1. 1. По методу Кели-Гамильтона Так как корней два (λ 1 =0, λ 2 =-125), то в разложении будут присутствовать два члена: 1 76 [ ] [1 1 1 ] [ ] 1 1 [ 1 1 1 ] [ ] [ 1 1 1 1 ] 1 1 1 1 Тогда: [1 1 ] ( ) [ 1 ] [ ] [ ] [ ] 2. По методу Сильвестра: Корни характеристического уравнения, совпадающие с собственными числами матрицы А 1 : λ 1 =0, λ 2 =-125. Тогда: 1 [ 1 ] 1 [1 1 ] ( 1 ) [1 ] 1 [ 1 ] [1 1 ] 1 [ 1 ] Тогда [1 ] [ 1 ] [ ] 3.По Лапласу: [ 1 ] 1 =[ ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] 1 ( 1 ) [ 1 ] [ 1 1 1 ] [ ] Пример 2. Вследствие сложности данного примера (схема с тремя реактивными элементами, матрица А размером 3×3, комплексные корни характеристического уравнения) аналитическое решение в данном пособии не приводится. Программа для численного решения данного примера и графики представлены в приложении. 77 Пример 3. Вследствие сложности данного примера (комплексные корни характеристического уравнения) аналитическое решение в данном пособии не приводится. Программа для численного решения данного примера и графики представлены в приложении. Пример 4. 1.По методу Кели-Гамильтона Корней характеристического уравнения два (λ 1 =-20000, λ 2 =-3333), в разложении будут присутствовать два члена: 1 [ ] [1 1 ] [ ] 1 [ 1 1 ] [ ] 1 1 [ 1 1 ] [ ] [ 1. 1 1 ⁄ 1 1 ⁄ ] [ ] [ 1. 1 1 ⁄ 1 1 ⁄ ] 1. 1 1 ⁄ 1 1 ⁄ Тогда: ( . 1. ) [1 1 ] ( 1 1 ⁄ 1 1 ⁄ ) [ 1 ] [ . 1. 1. ] [ ] [ . ] 2. По методу Сильвестра: Корни характеристического уравнения, совпадающие с собственными числами матрицы A: λ 1 =-20000, λ 2 =-3333. Тогда: 78 1 [ 1 ] ( ) [1 1 ] ( ) [ . ] 1 [ 1 ] ( ) [1 1 ] ( ) [ . . ] Тогда [ . ] [ . . ] [ . ] 3.По Лапласу: [ 1 ] 1 =[ ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] 1 ( 1 )( ) [ 1 ] 1 ( )( ) [ 1 ] [ ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 ( )( )] Найдем оригиналы для всех членов этой матрицы: Используем теорему разложения. Тогда оригинал для А 11 : ( )( ) Корни: , Числитель: Знаменатель: ( )( ) Производная знаменателя: Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и рассчитаем эти величины: ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) , ( ) 1 . Таким образом, ( ) . Оригиналы для А 12 и А 21 : ( )( ) Корни знаменателя те же. 79 Числитель: Знаменатель: ( )( ) Производная знаменателя: Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и рассчитаем эти величины: ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) 1 . Таким образом, ( ) ( ) . Оригинал для А 22 : ( )( ) Корни знаменателя те же. Числитель: 1 Знаменатель: ( )( ) Производная знаменателя: Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и рассчитаем эти величины: ( ) , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 . Таким образом, ( ) . [ . ] Пример 5. 1.По методу Кели-Гамильтона Корней характеристического уравнения два (λ 1 =-969.7, λ 2 =-2030.3), в разложении будут присутствовать два члена: 1 [ ] [1 1 . ] [ ] 1 [ . 1 1 ] [ ] 1 1 . [ . . 1 1 ] [ ] [ 1 . 1 . 1 1 . 1 1 . ] [ ] [ 1 . 1 . 1 1 . 1 1 . ] 1 . 1 . 1 1 . 1 1 . 80 Тогда: ( ) [1 1 ] ( ) [ 1 11 ] [ ] [ ] [ ] 2. По методу Сильвестра: Корни характеристического уравнения, совпадающие с собственными числами матрицы A: λ 1 =-969.7, λ 2 =-2030.3. Тогда: 1 [ 1 11 ] ( . ) [1 1 ] . ( . ) 1 1 . [1 . ] 1 [ 1 11 ] ( . ) [1 1 ] . ( . ) 1 1 . [ . 1 . ] Тогда [1 . ] [ . 1 . ] [ ] 3.По Лапласу: [ 1 ] 1 =[ ] [ 1 11 ] [ 1 11 ] 81 [ 1 ] 1 ( 1 )( 11 ) [ 11 1 ] 1 ( . )( . ) [ 11 1 ] [ 11 ( . )( . ) ( . )( . ) ( . )( . ) 1 ( . )( . )] Найдем оригиналы для всех членов этой матрицы: Используем теорему разложения. Тогда оригинал для А 11 : ( . )( . ) Корни: . , Числитель: 11 Знаменатель: ( . )( . ) Производная знаменателя: Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и рассчитаем эти величины: ( . ) 1 . , ( . ) 1 . , ( . ) . , ( . ) 1 . . Таким образом, ( ) Оригиналы для А 12 и А 21 : ( . )( . ) Корни знаменателя те же. Числитель: Знаменатель: ( . )( . ) Производная знаменателя: Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и рассчитаем эти величины: ( . ) 1 . , ( . ) 1 . , ( . ) . , ( . ) 1 . . Таким образом, ( ) ( ) Оригинал для А 22 : ( . )( . ) Корни знаменателя те же. Числитель: 1 Знаменатель: ( )( ) Производная знаменателя: Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и рассчитаем эти величины: ( . ) . , ( . ) 1 . , ( . ) 1 . , 82 ( . ) 1 . . Таким образом, ( ) [ 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . ] Пример 6. 1.По методу Кели-Гамильтона Так как корней два (λ 1 =-0.5, λ 2 =-5), то в разложении будут присутствовать два члена: 1 [ ] [1 . 1 ] [ ] 1 [ . 1 1 ] [ ] [ 1 1 1 1 1 ] [ ] [ 1 1 1 ] 1 1 1 Тогда: (1 ) [1 1 ] ( ) [ . ] [ 1 1 ] [ ] [ ] 2. По методу Сильвестра: Корни характеристического уравнения, совпадающие с собственными числами матрицы A: λ 1 =-0.5, λ 2 =-5. Тогда: 1 [ . ] [1 1 ] . ( ) [1 ] 83 1 [ . ] ( ) [1 1 ] ( ) ( . ) [ 1 ] Тогда [1 ] [ 1 ] [ ] [ 1 ] 1 =[ ] [ ] [ ] [ 1 ] 1 ( . )( ) [ . ] [ 1 1 ] [ ] Отыскание решения уравнений состояния. Пример 1. Получить решение в этой задаче возможно, решив полученное уравнение состояния напрямую, так как обратной матрицы не существует (det [A ]=0). Пример 2. Программа для численного решения данной задачи и получившиеся графики представлены в приложении. Пример 3. Программа для численного решения данной задачи и получившиеся графики представлены в приложении. Пример 4. Искать решение будем в виде: ( ) ( 1) [ . ] [ 1 ] [ ] [1 ] [ ] [ ] ( ) [ ( ) ( ) ] [ . ] 84 Найдем : 1 1 [ 1 ] [ 1 1 1 1 1 1 1 ] [ . ] [ . ] [[ . ] [1 1 ]] [ 1 1 1 1 1 1 1 ] [1 ] [ ] [ . 1 . 11.1 1. ] [ . 1 1. 1 ] [ ] [ . 1 .1 1.1 ] Рассчитанное решение полностью совпадает с найденным операторным методом. Теперь найдем выходные переменные: ( ) ( 1) [ ]; [ 1 1 1 ]; [1 ] . [ ] [ 1 1 1 ] [ . ] [ . ] [ 1 1 1 ] [ . 1 1. 1 ] [ ] [1 ] [ ] [ . 1 . 1 . ] [ ] [ ] [ . 1 . 1 . ] [ ] [ . 1 . 1 . ] Пример 5. Искать решение будем аналогично примеру 4 в виде: ( ) ( 1) 85 [ 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . ] [ 1 11 ]; [ ] [ ]; [ ] ; [ ] ; ( ) [ ( ) ( ) ] [ ]. Найдем : 1 1 11 [ 11 1 ] [ . 1 1. 1 1. 1 . 1 ] [ 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . ] [ ] [ [ 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . ] [1 1 ] ] [ . 1 1. 1 1. 1 . 1 ] [ 1 1 1 ] [ ] [ .1 1 .11 1. ] [ . .1 1. ] [ .1 . 1. . 1. ] Найденное решение полностью совпадает с найденным операторным методом: [ ] [ .1 . 1. . 1. ] Теперь найдем выходные переменные: ( ) ( 1) 86 [ ]; [ ]; [ ] . [ 1 ]; [ 1 ] [ ] [ 1 ] [ .1 1 .11 1. ] [ 1 ] [ . .1 1. ] [ 1 ] [ ] [ ] [ 1. 1. 1 . . 1 1 . ] [ 1. 11 1 . ] [ 1 ] [ ] [ 1 . . 1. 1 . . 1 . ] Полученное решение можно сравнить с результатами операторного метода: умножить токи, полученные выше операторным методом на сопротивления соответствующих ветвей. Нетрудно увидеть, что результаты идентичны. Пример 6. В этом примере для отыскания аналитического решения приняты значения для номиналов источников питания: E=1B, J=0 A. Численное решение найдено для трех случаев: а)E=1B, J=0 A , б) E=1B, J=1 A, в) E=5B, J=3 A Если E=1B, J=0 A , тогда начальные условия - нулевые, искать решение будем в виде: ( 1) [ ] [ . ]; [ 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ 1 1 ] 87 [ ] [ 1 ] ; [ ] ; ( ) [ ( ) ( ) ] [ ]. Найдем : 1 ( . )( ) [ ] [ ] Решение: [ ] [ 1 1 ] [ ] [ 1 1 ] [1 ] [ . ] Таким образом, , что совпадает с решением, полученным операторным методом, если учесть, что направление тока принято различным. Теперь найдем выходные переменные: ( 1) [ ]; [ ] ; [ ] [ ] ; [ ] 88 [ ] [ 1 1 ] [ . ] [ 1 ] [1 ] [ 1 ( . . ) ( ) ( . ) ( ) ( . ) ( ) 1 ( . ) ( ) ] [ ] [ ] [ . .1 ) . .1 ] Численные методы решения уравнений состояния. При численном способе решения уравнений состояния используют различные программы численного интегрирования на ЭВМ: метод Эйлера, метод Рунге- Кутта, метод трапеций и др. В пакете MathCad программа интегрирования уравнений по методу Рунге- Кутта носит имя rkfixed. Обращение к ней производится через операцию присваивания какой - либо переменной (здесь z) имени программы: z: = rkfixed(x, 0, tk, N, D), где x - вектор переменных состояния. Длина этого вектора - n задается предварительным описанием вектора начальных значений и соответствует числу уравнений состояния; 0 и tk - начало и конец временного интервала интегрирования; N - число точек на интервале интегрирования; z - матрица (массив), имеющая размер (N+1, n+1), где первый столбец (он же нулевой) соответствует дискретным значениям времени ti: zi0 = i. Остальные столбцы - совокупность значений переменных состояния: zi1, zi2,…, zin, где индекс i изменяется от 1 до N; D - функция 89 дифференцирования левой части системы уравнений, которая описывает правую часть уравнений, разрешенных относительно первых производных. Для линейных цепей эта функция имеет вид линейного матричного преобразования D(t, x):=A·x+F, где A - квадратная матрица коэффициентов, которые определяются структурой цепи и параметрами элементов; F - вектор независимых переменных, параметры которого определяются входными воздействиями, т.е. независимыми источниками питания цепи, которые могут изменяться во времени. Элементы матриц A и F должны быть определены перед обращением к программе rkfixed. Для контроля правильности задания исходных данных можно (но не обязательно) обратиться к программе определения собственных чисел матрицы A: eigenvals(A). Эта программа выводит информацию о собственных числах, которые совпадают с корнями характеристического уравнения цепи. Необходимым (но недостаточным) условием правильности ввода данных является набор отрицательных собственных чисел, или комплексно-сопряженных с отрицательной вещественной частью. Решение уравнений состояния для примеров 1-6 представлено в приложении. 90 Приложения. Пример 1. Программа для расчета на MATCAD График напряжения на емкости. Продолжение программы: вычисление выходных переменных. Здесь y i,1 – напряжение U 1 , y i,2 – U 2 , y i,3 – i 1 , y i,4 – i 2 , y i,5 – i 3 91 Графики выходных переменных (величины токов нормированы): 92 Пример 2. Программа для вычисления переменных состояния на MATCAD Графики переменных состояния: 93 Продолжение программы: вычисление выходных переменных. Здесь y i,1 – напряжение U 2 , y i,2 – U 3 , y i,3 – U 4 , y i,4 - i 2 , y i,5 – i 3 , y i,6 – i 4 Получившиеся графики: 94 Приложение 3. Пример 3. Программа для расчета переменных состояния на MATCAD Графики переменных состояния: 95 Продолжение программы: вычисление выходных переменных. Здесь y i,1 – напряжение U 1 , y i,2 – U 2 То же, увеличен масштаб по оси времени. 96 Приложение 4. Пример 4. Программа для вычисления переменных состояния на MATCAD Графики переменных состояния: Графики выходных переменных: 97 Приложение 5. Пример 5. Программа для вычисления переменных состояния на MATCAD: Графики переменных состояния: Графики выходных переменных: 98 Приложение 6. Пример 6.1 (E=1, J=0). Программа для расчета переменных состояния на MATCAD Графики переменных состояния: Графики выходных переменных: 99 Приложение 6. Пример 6.2 (E=1, J=1). Программа для расчета переменных состояния на MATCAD Графики переменных состояния: 100 Приложение 6. Пример 6.3 (E=5, J=3). Программа для расчета переменных состояния на MATCAD Графики переменных состояния: Графики выходных переменных: |