Лрба. Операторный метод расчета переходных процессов
 Скачать 1.47 Mb.
|
|
3 Операторный метод расчета переходных процессов Расчет переходных процессов в сложных цепях классическим методом очень часто затруднен нахождением постоянных интегрирования. В связи с этим был разработан операторный метод расчета, основанный на понятии изображения функций времени. В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой, комплексной переменной p=c +jw и наоборот, функции от р отвечает определенная функция времени t. Переход от одной функции к другой осуществляется с помощью преобразования Лапласа. Данный метод облегчает решение системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных для цепи по законам Кирхгофа, а также позволяет освободиться от нахождения постоянных интегрирования путем введения начальных условий в уравнения исходной системы. Таким образом, идея метода заключается в том, что из области действительного переменного t решение переносится в область комплексного переменного p=c +jw, где операции дифференцирования и интегрирования более просты, или же интегродифференциальные уравнения цепи в переходном режиме заменяются алгебраическими относительно некоторой комплексной переменной. Операторный метод расчета сводится к четырем последовательным этапам. 1. От искомой функции f(t), называемой оригиналом, переходят с помощью преобразования Лапласа к функции комплексного переменного р. Новую функцию обозначают через F(p) и называют изображением функции f(t) . 2. Систему уравнений Кирхгофа для оригиналов, согласно правилам преобразования функций, их производных и интегралов преобразуют в операторные алгебраические уравнения для изображений. 3. Полученные операторные уравнения решают относительно F(p) . 4. От найденного изображения F(p) переходят к оригиналу f(t) , который и является искомой функцией. Расчет переходных процессов операторным методом. Операторный метод расчета переходных процессов основывается на использовании линейного интегрального преобразования Лапласа, которое позволяет любые интегральные и дифференциальные временные соотношения свести к алгебраическим выражениям, получив систему алгебраических уравнений, зависимых от комплексной переменной р. ( ) ∫ ( ) 4 f(t) – оригинал, F(p) – изображение, ≓ - символ соответствия между оригиналом и изображением по Лапласу. Каждой функции времени f(t) соответствует единственная функция переменной p: ( ) ≓ ( ) , и наоборот, каждой функции переменной p соответствует только одна функция времени: ( ) ≓ ( ) Изображения наиболее часто используемых функций приведены в таблице 1. Таблица 1 Операторные изображения некоторых функций. Оригинал f(t) Изображение F(p) ( ) 1( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) Применяя преобразование Лапласа, можно установить правило перехода от реальной цепи к операторной. Это правило приведено в таблице 2. Источники энергии переносятся в операторную цепь как операторные изображения констант, поскольку рассматриваются источники постоянного напряжения и тока. Ненулевые начальные условия моделируются источником тока в цепи, содержащей индуктивность, и источником напряжения, направленным в сторону разряда емкости в цепи с емкостью. Пользуясь этой таблицей, легко построить операторную расчетную цепь, 5 которая в дальнейшем рассчитывается как цепь постоянного тока. Из рассмотренного следует, что расчет переходного процесса операторным методом целесообразно начинать сразу с операторной схемы замещения, минуя этап составления системы интегро-дифференциальных уравнений. Свойства преобразования Лапласа. При работе с изображениями можно использовать свойства преобразования Лапласа, которые позволяют упростить операторное изображение искомой функции. Очевидно, что соответствие между оригиналом и изображением взаимно однозначны, т. е. каждой функции f(t) соответствует одна вполне определенная функция F(p) и наоборот. Приведены наиболее часто используемые свойства. Свойство линейности. При умножении оригинала на постоянную величину на ту же постоянную величину умножается и изображение: ( ) ≓ ( ). Если оригинал представлен суммой функций, то изображение этой суммы равно сумме изображений этих функций (изображение линейной комбинации функций есть линейная комбинация изображений): ∑ ( ) ≓ ∑ ( ) 6 Теорема дифференцирования. Допустим, что некоторая функция f(t) имеет изображение F(p) , тогда изображение производной этой функции ( ) ≓ ( ) ( ) Вычисление производной при нулевых начальных условиях (f(0) = 0) соответствует умножению изображения функции на множительp: ( ) ≓ ( ), многократное дифференцирование при нулевых условиях: ( ) ≓ ( ) Теорема интегрирования. Известно изображение некоторой функции f(t). Изображение функции, являющейся интегралом функции f(t) определяется ∫ ( ) ≓ ( ) Многократному (n раз) интегрированию соответствует общее выражение: ∫ ∫ ∫ ( ) ≓ ( ) Теорема запаздывания. Теорема позволяет определить изображение функции f(t - t 1 ) , отличающейся от функции f(t) тем, что она сдвинута вправо вдоль оси времени на t 1 (рис.1) : ( ) { при ( ) при } ( ) ≓ ( ) Таким образом, запаздывание функции на время t 1 соответствует умножению её изображения на Теорема смещения. Теорема смещения позволяет определить, как изменяется изображение при умножении оригинала на показательную функцию e ±at , где a - постоянное число. Рис.1 7 Пусть новая функция имеет вид ( ) ( ) Её изображение ( ) ( ) Таким образом, умножение временной функции на экспоненциальный множитель приводит к «смещению» в области изображений независимой переменной p на p±a Теорема умножения изображений (теорема свертки - интеграл Бореля). Теорема заключается в следующем: если ( ) ≓ ( ), ( ) ≓ ( ), то ( ) ( ) ( ) ≓ ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) Таким образом, произведению изображений двух функций соответствует свертка их оригиналов. Теорема свертки широко используется при составлении таблиц операторных соотношений. Если изображение искомой функции может быть представлено в виде произведения двух (или более) сомножителей, то по оригиналам каждого из сомножителей можно вычислить оригинал исходной функции. Теорема подобия. Теорема позволяет определить изображение функции времени при изменении масштаба её аргумента. Пусть известно изображение функции ( ) ≓ ( ). Изображение функции j(t) = f (at) , где а - некоторая положительная постоянная, будет ( ) ≓ 1 ( ) Умножение аргумента оригинала на положительное постоянное число а приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а. Нахождение оригинала по изображению Существует три способа перехода от изображения к оригиналу. Первый. С помощью обратного преобразования Лапласа. Переход от изображения к оригиналу выполняется с помощью так называемого интеграла Римана - Мелина, являющегося формулой обратного преобразования Лапласа: 8 ( ) 1 ∫ ( ) Для того чтобы функция F(p) являлась изображением функции f(t) необходимо выполнение следующих условий: а) F(p) аналитична в полуплоскости Re p > Co , б) стремится к нулю при |p|→∞, в) интеграл ∫ ( ) абсолютно сходится. Практически чаще применяют теорему о вычетах, согласно которой оригиналом F(p) является функция ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ∫ ( ) 1 ∮ ( ) ∑ ( ) (1) (Интегрирование вдоль бесконечной прямой параллельной мнимой оси и расположенной на расстоянии с > c o заменяется на интегрирование по замкнутому контуру, охватывающему все полюсы функции F(p) . Полюсы F(p) есть значения p, при которых F(p) =∞) Вычетом функции (Res) в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на 2pj контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот полюс. Вычисления по последней формуле требуют применения методов теории вычетов, причем во многих случаях это оказывается весьма сложным. Поэтому большое значение имеют теоремы, позволяющие представить изображение в виде суммы более простых слагаемых и тем самым упростить переход от изображения к оригиналу. Второй способ нахождения оригинала - использование теоремы разложения. Теорема разложения используется, когда изображение найдено в виде рациональной дроби: ( ) ( ) ( ) Где F 1 (p) и F 2 (p) – полиномы относительно p. 9 Предположим, что знаменатель F 2 (p) имеет n простых корней p 1 , p 2 , ... p k , тогда общая формула теоремы разложения: ( ) ( ) ≓ ∑ ( ) ( ) (2) В случае комплексных корней получаются два сопряженных слагаемых, сумма которых равна удвоенному значению действительной части: ( ) ( ) ≓ ∑ ( ) ( ) (3) Если в полиноме F 2 (p) слагаемое , тогда множитель p можно вынести за скобку, и знаменатель принимет вид F 2 = pF 3 . В этом случае при наличии n корней один корень уравнения pF 3 (p) = 0 будет нулевым: p 1 = 0. Для этого частного случая теорема разложения принимает вид ( ) ( ) ( ) ∑ [ ( ) ( ) ] (4) Третий способ определения оригинала заключается в использовании таблиц, где приводятся как изображения, так и соответствующие им оригиналы. Существуют справочники, содержащие несколько сотен изображений и соответствующих им оригиналов. Следует только изображение привести к табличному виду. При использовании готовых таблиц следует выяснить, с помощью какого преобразования они составлены - Лапласа или Карсона. Если изображение дается по Карсону, то его следует поделить на р для получения изображения по Лапласу. Последовательность расчета в операторном методе В общем случае порядок расчета переходных процессов операторным методом следующий: 1) Составляется операторная схема замещения цепи, сложившейся после коммутации по правилу, приведенному в таблице 1. Выбираются положительные направления токов в ветвях. 2) Определяется докоммутационное состояние цепи (определяются токи в индуктивностях и напряжения на емкостях до коммутации). 10 3) Любым способом расчета (с помощью уравнений Кирхгофа, методом контурных токов, методом узловых потенциалов, и т.д.) определяется операторное изображение искомой величины. 4) На основе полученного изображения находится оригинал искомой функции. Примеры. Пример 1. Решить задачу операторным методом. Схема цепи, параметры элементов и ЭДС следующие: Е=100 В, r=10 Ом, R 1 =40 Ом, R 2 =50 Ом, С=1000 мкФ. Найти токи в ветвях и напряжения на всех элементах цепи при замыкании ключа: i 1 (t), i 2 (t), i 3 (t), U R1 (t), U R2 (t), U С (t), U r (t). Решение. 1. Составляем операторную схему замещения для цепи после коммутации, пользуясь таблицей 1 (рис.3): 2. Определяем докоммутационное состояние цепи. Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 2 Рис. 3 11 Здесь необходимо определить напряжение на емкости U C (0), зная, что по закону коммутации U C (0)=U C (0-). Для этого возвращаемся к рис.2. До коммутации в цепи существует постоянный ток, который не протекает через емкость, поэтому мы заменяем ее на разрыв цепи. Значит, ток замыкается в первом контуре. Схема приобретает вид (рис.4). Численное значение тока можно определить, составив для этого контура уравнение по 2-му закону Кирхгофа: ; 1 . зажимам, что и R 1 и R 2 , то есть параллельно с этими резисторами, равно: U C (0-)=U C (0) ( ) ( ) , . 3. Определим операторные изображения искомых величин. Решать задачу можно любым известным способом (воспользоваться уравнениями Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов и пр.). Воспользуемся уравнениями Кирхгофа. В этой схеме три ветви и два узла, поэтому необходимо составить одно узловое и два контурных уравнения: { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) Теперь выразим ток i 2 (p) из второго уравнения системы через ток i 1 (p) : ( ) ( ) (6) А затем, подставив ( ) ( ) в третье уравнение системы (5), выразим ток i 3 (p) через ток i 1 (p): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) (7) 12 После этого можно подставить выражения (6) и (7) в первое уравнение, получив таким образом уравнение относительно i 1 (p) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] Подставляя известные нам значения ЭДС Е, найденное в п.2 U C (0), значения сопротивлений и упрощая выражение, получим операторное изображение тока i 1 : ( ) . 1 . ( . 1 1. ) (8) Теперь по формулам (6) и (7) можем определить операторные изображения токов i 2 (p) и i 3 (p): ( ) ( . 1 . ) ( . 1 1. (9) ( ) 1 ( 1. . 1 1. ) (10) 4. Перейдем к оригиналам полученных величин, пользуясь разными способами. Сначала получим оригинал тока i 1 (t). Поскольку числитель и знаменатель полученного выражения (8) представляют собой полиномы от p, и дробь является рациональной (порядок числителя меньше порядка знаменателя), то перейдем от изображения к оригиналу по теореме разложения. Запишем числитель: ( ) . 1 . , знаменатель ( ) ( . 1 1. ), найдем производную знаменателя: ( ) . 1. . Приравняв знаменатель к нулю, определим его корни: p 1 =0, p 2 =- 125. Подставляя корни, найдем значения числителя и производной знаменателя: ( ) ( ) . , ( ) ( ) 1. , ( ) ( 1 ) 1. , ( ) ( 1 ) 1. . Теперь можно получить оригинал тока i 1 (t) по формуле: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 1. ( 1. ) ( ) 1 Интересно также получить оригинал тока i 1 (t) по теореме о вычетах, при этом также необходимо приравнять знаменатель к нулю и 13 определить его корни. Количество определяемых вычетов (слагаемых) будет равно количеству корней: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( . 1 . )( ) ( . 1 1. ) ( . 1 . )( 1 ) ( . 1 1. ) ( ) ( . ) (1. ) ( 1. . ) 1. 1 Перейдем к отысканию оригинала тока i 2 (t). Здесь необходимо обратить внимание на то, что выражение состоит из двух слагаемых и вспомнить свойство линейности: изображение линейной комбинации функций есть линейная комбинация изображений. То есть будем искать оригинал первого слагаемого, а затем оригинал второго. Нетрудно увидеть, что оригинал первого представляет собой константу – 2.5. Оригинал второго слагаемого отыщем по теореме разложения. Изображение тока i 2 : ( ) ( . 1 . ) ( . ) Второе cлагаемое: ( ) ( . 1 . ) ( . ) Корни знаменателя те же, поскольку переходный процесс един во всей цепи: , 1 . Запишем числитель: ( ) . 1 . , знаменатель ( ) ( . ), найдем производную знаменателя: ( ) . . Подставляя корни, найдем значения числителя и производной знаменателя: ( ) ( ) . , ( ) ( ) , ( ) ( 1 ) 1. , ( ) ( 1 ) . Теперь можно получить оригинал функции ψ(t) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1. ( ) ( ) . . а затем и оригинал тока i 2 (t) по формуле: ( ) . ( ) . . . 14 Получим оригинал тока i 2 (t) по теореме о вычетах: ( ) ( . 1 . ) ( . ) Приведем оба слагаемых к общему знаменателю и упростим: ( ) . ( . ) ( . 1 . ) ( . ) . 1 ( . ) Найдем ток i 2 (t): ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( . 1 )( ) ( . ) ( . 1 )( 1 ) ( . ) ( ) 1 ( 11. 1 ) ( ) Ток i 3 (t) можно искать разными способами: воспользовавшись первым уравнением из системы уравнений Кирхгофа, найти разность токов i 1 и i 2 , оперируя изображениями, а затем перейти к оригиналу; воспользоваться выражением (7), определить изображение этого тока и затем перейти к оригиналу удобным способом; найти непосредственно разность оригиналов токов i 1 и i 2 . Наиболее простыми представляются два последних: Изображение тока i 3 из выражения (7): ( ) ( ( ) ( ) ) В упрощенном виде: ( ) 1 ( 1. . 1 1. ) Здесь при переходе к оригиналу также необходимо вспомнить свойство линейности: при умножении оригинала на постоянную величину на ту же величину умножается и изображение, и наоборот. По теореме разложения: 1 ; ( ) 1. ; . 1; ( ) ( 1. ) . 1 1 1. По теореме о вычетах: ( ) ( )( ) 1 [ 1. ( 1 ) 1 ( 1 ) ] 1. Вычитая непосредственно оригиналы: ( ) ( ) ( ) ( ) ( . ) 1. 15 Осталось определить напряжения на всех элементах этой схемы: U C , U R1 , U R2 , U r ( ) ( . ) 1 ( ) 1 ( ) 1 Напряжение на резисторе R 2 изменилось до 0 в момент коммутации, и мы принимаем это изменение за мгновенное, как и сам процесс коммутации. Напряжение на резисторе R 1 до коммутации равно 40 В ( ), а после нее равно напряжению на емкости. Ту же задачу можно решать и методом двух узлов. Это частный случай метода узловых потенциалов, когда схема имеет только два узла. Потенциал одного из них принимают равным нулю, потенциал второго находят по формуле: ∑ ∑ Где G к – проводимость к-той ветви, подходящей к узлу, Е к – ЭДС в к-той ветви. Напряжение между двумя узлами В данном случае это позволяет сразу найти напряжение U C : ( ) ( ) 1 1 Приводя знаменатель и упрощая, получим операторное изображение напряжения U C : ( ) 1 (1 . ) ( .1 1 . ) Оригинал находим по теореме о вычетах: ( ) 1 . , ( ) .1 1 . , . 1 . , корни знаменателя , 1 , значения числителя F 1 и производной знаменателя : ( ) 1 , ( ) 1. , ( ) 1 . , ( ) 1 . , оригинал: ( ) 1 [ 1 1 . 1. ( 1 . ) ] 1 Рассмотрим случаи, когда в цепи несколько реактивных элементов. |