Лрба. Операторный метод расчета переходных процессов

• Название: Операторный метод расчета переходных процессов
• Дата: 29.04.2022
• Размер: 1.47 Mb.
• Имя файла: operat.pdf
• Тип: Документы; #504781
• страница: 2 из 5

Пример 2.
Дано:
, н,
, н, м, м,
11 м, мк . Переменные состояния:
( ),
( )
Выходные переменные:
,
,
,
,
,
Решить задачу операторным методом, схема цепи на рис. 5

16
Решение.
1. Составляем операторную схему замещения для цепи после коммутации, пользуясь таблицей 1 (рис.6):
2. Определим докоммутационное состояние цепи. До коммутации в данной схеме отсутствует источник энергии, поэтому
( )
( )
( ) .
3. Данная схема содержит три реактивных элемента и шесть ветвей, поэтому искать токи, пользуясь уравнениями Кирхгофа, нерационально.
Воспользуемся методом контурных токов для нахождения операторных изображений токов. Уравнения, составленные по рисунку 7:
(
)
(11)
(
1
)
(12)
(
)
(13)
Выражаем контурный ток из уравнения (11):
, подставляем в (13):
Рис.5
Рис.6
Рис.7

17
(
)
(
)
, упрощаем и выражаем ток
:
[
(
)
] [
].
Полученные таким образом токи подставляем в уравнение (12), и получаем уравнение относительно одной неизвестной, тока
:
[
(
)
] (
1
)
[
]
После преобразований и упрощений полученного выражения операторное изображение тока будет следующим:
(1 1
1. 1
)
( .
. 1 1. 1
Проверить правильность этого выражения можно, если отыскать корни знаменателя и сравнить с собственными числами матрицы А, найденной методом переменных состояния (см. стр. 47). Определим также два других контурных тока:
( . )
. 1 1. 1
(1 1.1 1 1 . 1
)
( . 1 )( .
. 1 1. 1
)
После отыскания контурных токов нетрудно найти изображения токов в ветвях, однако полученные выражения громоздки, и отыскание оригиналов также потребует больших вычислений, поэтому здесь они не приводятся.
Пример 3.
В схеме второго порядка на рис. 8 после замыкания ключа рассчитать переходный процесс операторным методом. Дано: м н, м,
1 м, м, мк , .
Переменные состояния:
( ),
( )
Выходные переменные: напряжения на резисторах R
1 и R
2
-
,
Переходный процесс в цепи вызван перераспределением энергии между реактивными элементами после коммутации ключа S.
Решение.
1. В соответствии с порядком расчета составим схему замещения цепи для послекоммутационного состояния (рис. 9).

18
2. Определим докоммутационное состояние цепи (токи в индуктивностях и напряжения на емкостях). Цепь для расчета представлена на рис.10. В цепи действует постоянный ток, поэтому заменяем индуктивность перемычкой, а емкость – разрывом цепи, и анализируем данную цепь.
( )
( ) (
) .
3. Теперь, определив все параметры операторной схемы замещения, составим операторные уравнения (см. рис.9) и определим операторные изображения искомых величин.
( )
( )
( )
( )
( )
1
( )
( )
( )(
)
( )
( )
Выразим ток
( ) из третьего уравнения, а ток
( ) – из второго, и подставим их в первое:
Рис. 8
Рис.9
Рис. 10

19
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) [
( )
( )
]
( ) [
( )
( )
]
( )
( )
Таким образом, получили выражение, в котором все величины, кроме
( ), известны. Выразим ток
( ).
( ) [1
]
( )
( )
Домножим на числитель и знаменатель и получим выражение:
( )
[
( ) ] (
)
( )
(
)(1
)
Так как
( ) , то
( )
[
( ) ] (
)
( )
(
)(1
)
( )
После упрощения данного выражения имеем:
( )
[
(
)
( )]
( ) [
]
(
)
Операторное изображение тока
:
( )
1 1
.1 1
. 1
( )
1 1
.1 1
. 1
4. Определим оригиналы функций. Воспользуемся теоремой разложения.
Определим корни знаменателя, приравняв его к нулю. В первом случае имеем три корня, во втором два.
,
,
Поскольку корни являются комплексно-сопряженными (в первом случае к ним добавится нулевой корень), решение может быть найдено с помощью выражения (3).
Тогда ток
С
( ) после преобразований получится:
( )
[ ,1 ( )]
При анализе выражения для тока
( ) видим, что в полиноме знаменателя слагаемое
. В этом случае при наличии n корней

20 один корень уравнения pF
3
(p) = 0 будет нулевым: p
1
= 0. Для этого частного случая теорема разложения принимает вид (4), и ток равен:
( ) 1
[ . ( . )]
Пример 4.
Решить задачу операторным методом для схемы второго порядка на рис. 11 после размыкания ключа.
Дано:
м, м, м, мк , .
Переходный процесс в цепи вызван перераспределением энергии между реактивными элементами после коммутации ключа S (ключ размыкается).
Решение.
1.
В соответствии с порядком расчета составим схему замещения цепи для послекоммутационного состояния (рис.12).
2. Определим докоммутационное состояние цепи (напряжения на емкостях). Цепь для расчета представлена на рис.13.
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14

21
В цепи действует постоянный ток, поэтому заменяем емкости разрывами цепи, и анализируем данную цепь. Ток в цепи равен
( )
. ,
( )
,
,
После коммутации (рис.14) ток равен нулю,
3. Применим для решения данной задачи метод двух узлов.
Напряжение между точками a и b может быть найдено по формуле:
∑
∑
( )
( )
1
[
1
]
1 1
[
1
]
Упростив данное выражение и подставив числа, получим изображение напряжения
:
4. Определим оригинал этого напряжения, воспользовавшись теоремой разложения.
 Найдем корни знаменателя, приравняв его к нулю.
.1 1 1
Корни:
,
,
Числитель:
. 1 1 . 1 1
Знаменатель:
.1 1 1
Производная знаменателя:
.1 1
. 1
Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и рассчитаем эти величины:
( ) 1
,
( ) 1
,
(
)
11 ,
(
) 1,
(
) 11 ,
(
) .
Таким образом,
( )
1
Проверим, подставив нулевое значение времени:
( ) 1
. . То же значение получено нами при анализе цепи до коммутации, а поскольку
( ), то для этого напряжения действует закон коммутации, и его значение до коммутации равно значению в первый момент после нее. Подставив же бесконечное

22 время, получим
, что также соответствует сделанному ранее анализу цепи после коммутации.
Определив оригинал данного напряжения, можно определить все остальные искомые величины:
1 1
.11
.11
( .
)
.1 1 .1
.1 1.
Проверить это решение можно, найдя ток через производную от последнего выражения:
1
[( .1)( )
( 1. )( )
] .
.1
 Определим теперь оригинал напряжения
, пользуясь теоремой о вычетах:
. 1 1 . 1 1
.1 1 1
Корни знаменателя:
,
,
. Три корня – значит, вычетов тоже будет три.
( )
( )(
)
( )(
)
( )(
)
( )
( . 1 1 . 1 1
)( )
.1 1 1
( . 1 1 . 1 1
)( )
.1 1 1
( . 1 1 . 1 1
)( )
.1 1 1

23
( )
1 1
( . 1 1 . 1 1
)
.1 1
( )
( . 1 1 . 1 1
)
.1 1
( )
1
Пример 5.
Определить токи и напряжения в цепи второго порядка (рис.15) операторным методом. Переходный процесс возникает в цепи после замыкания ключа.
Дано:
1 м, м, м, м н, .
Переходный процесс в цепи вызван перераспределением энергии между реактивными элементами после коммутации ключа S (ключ закрывается).
Решение.
1. Составим схему замещения данной цепи для послекоммутационного состояния (см. рис. 16).
2. Определим докоммутационное состояние цепи, чтобы найти токи в индуктивностях в нулевой момент времени, которые по закону коммутации сохраняют свое значение и в первый момент времени после коммутации. Для этого воспользуемся схемой на рис.17
Отсюда
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Также проанализируем схему в новом установившемся режиме (после коммутации) – рис.18. Поскольку в установившемся режиме нет падения напряжения на индуктивных элементах цепи, то заменяем индуктивности отрезками проводов. Таким образом, получаем параллельное соединение трех резисторов.
Подставив
Рис. 15

24 численные значения, получим токи в цепи по окончании переходного процесса:
1. 1
3. Решать эту задачу удобнее, составив для нее уравнения Кирхгофа:
⁄
(14)
(15)
(16)
( )
(17)
( )
(18)
Из уравнения (14) выразим
, подставим в (15), из (16) получим
:
⁄
⁄
⁄
Теперь можно исключить ток из контурных уравнений:
(
)
( )
Рис.17
Рис. 16
Рис. 18

25
(
)
(
)
( )
Из уравнения (17) выражаем ток
:
( )
(
)
, и подставляем в (18):
(
) (
) [
( )
(
)
]
( )
После упрощения данного выражения и подстановки известных чисел, получим изображение тока
:
( )
1 1 1 1 1
1 1 1 1
4. Определим оригинал тока.
 При использовании теоремы разложения корни знаменателя будут:
. ,
Числитель выражения:
1 1 1 1 1 , знаменатель выражения:
1 1 1 1 , производная знаменателя:
1 1 1
1 . Определим значения числителя и производной знаменателя при разных корнях:
(
) 1
(
)
(
) .
(
) 1
(
)
(
) 1 .
Тогда:
( ) . .
1.
Найдем изображения и оригиналы других искомых токов. Определим изображение тока
( ) по формуле:
( )
(
)
После упрощений получим выражение:
( )
11 1 1
[1 1 1
]
Корни знаменателя будут те же. Определим оригинал тока. Числитель выражения:
11 1 1 , знаменатель выражения:
[1 1 1
], производная знаменателя:
1 11 1
. Определим значения числителя и производной знаменателя при разных корнях:
(
) 1
(
) 1
(
) 1
(
)
(
) 1 .
(
) 1 .
Тогда:
( ) . . 1
Зная оригиналы двух токов и оперируя ими, можем найти все остальные:

26
Имеем:
( ) . 1.
( ) .1 .
1.
( ) 1. 1 1.
Проверим результат на сходимость, подставив ноль в показатель экспоненты. Получим:
( ) 1. 1 1. .
( ) . . 1.
( ) .
( ) 1. 1
( ) .
 Определим оригиналы с помощью вычетов.
( )
1 1 1 1 1
1 1 1 1
Корни знаменателя те же:
. ,
Тогда:
(
)
(
)(
1
)
1 1
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1 1 1 1
)
( )
1 1 1 1
(1 1 1 1 1 )( . )
1 1 1 1
(1 1 1 1 1 )( . )
1 1 1 1
(
)
1 1
(1 1 1 1 1 )
(
)
1
( . )
(
)
(1 1 1 1 1 )( . )
1
( . )
(
)
1.
( )
11 1 1
[1 1 1
]

27
(
)
(
)(
1
)
1 1
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
11 1 1
)
( )
[
1 1 1
]
( 11 1 1 )( . )
1 1
[
( . )( . )
]
( 11 1 1 )( . )
1 1
[
( . )( . )
]
(
)
1
( 11 1 1 )
1 1
( . )
( 11 1 1 )
1 1
(
)
. . 1
Пример 6.
Определить токи и напряжения в цепи второго порядка (рис.19) операторным методом. Дано:
1 м, м, 1 , , н.
Переходный процесс в цепи вызван перераспределением энергии между реактивными элементами после коммутации ключа S (ключ закрывается).
Рис. 19
Рис. 20

28
Решение для этой схемы в данном пособии проведено дважды: сначала проанализирована работа схемы при наличии источника тока, затем – при равенстве тока источника нулю (при отсутствии источника).
Первое решение для схемы с источником.
,
1. Составим схему замещения данной цепи для послекоммутационного состояния (рис.20). Резисторы и оказываются замкнуты накоротко перемычкой, поэтому ток через них не протекает, т.о. ток равен:
( )
. . Напряжение
2.
Определим докоммутационное состояние цепи.
Для этого воспользуемся схемой на рис.21 Видно, что источник энергии отключен, поэтому все токи во всех ветвях, кроме ветви
, нулевые.
В ветви протекает ток источника.
3.
Составим уравнения Кирхгофа для операторной схемы замещения
(рис.22):
(19)
(20)
(21)
( )
(22)
( )
(23)
( )
(24)
Тогда из уравнения (24) ток
( )
, из (20) ток
Подставим ток в уравнение (22):
Рис. 21
Рис. 22

29
( )
1
(
)
( )
Тогда
( )
1
(
)
Найдем ток из (21):
Подставив найденные токи в уравнение (23), получим:
[
( )
]
( )
После упрощения данного выражения получим:
(
)
(
)
( )
( )
(25)
Теперь выразим ток через и
:
Подставим в него все токи, полученные ранее в зависимости от и
:
( )
1
(
)
( )
Упрощая, получим:
[
1
]
[(1
)
1
]
( )
( )
(26)
Далее выражаем ток через ток и подставляем в выражение (25).
После упрощений и подстановки численных значений получим операторное изображение тока
:
11 1
Теперь можно вычислить операторное изображение тока
, подставив полученное изображение тока в выражение (26):
1
Изображение тока найдем, воспользовавшись уравнением (24):
(1
)
1
(
1 )
Изображение тока в емкости:

30 1
1
Изображение тока
:
1
(1
)
4. Получим теперь оригиналы токов.
 Ток
:
1
Числитель:
( ) , заменатель:
( ) 1
, производная знаменателя:
( ) . Корни знаменателя будут:
. Определим значения числителя и производной знаменателя при разных корнях:
(
)
(
)
(
)
(
)
Тогда:
( ) .1
.1
Ток
:
11 1
Числитель:
( ) 11, заменатель:
( ) 1
, производная знаменателя:
( ) . Корни знаменателя будут:
Определим значения числителя и производной знаменателя при разных корнях:
(
)
(
)
(
)
(
)
Тогда:
( ) .1
.1
Ток
:
1
(
1 )
Числитель:
( ) 1 , заменатель:
( )
1 , производная знаменателя:
( )
1 1
Корни знаменателя будут:
,
. Определим значения числителя и производной знаменателя при разных корнях:
(
)
(
)
(
)
(
) 1
(
)
(
)
Тогда:
( ) . .
Для проверки получим напряжение двумя способами:
( .1
.1
) ( .1
.1
)
. ( . )( )

31
Теперь получим остальные токи, оперируя полученными оригиналами:
.1
.1
. .1
.1
.1
.1
.1
. .1
. .1
 Получим теперь те же оригиналы с помощью теоремы о вычетах:
1
( )
( )(
)
( )(
)
( )
( . )
1 ( )( . )
( )
1 ( )( . )
( )
1 .
1 ( . )
.1
.1 11 1
( )
( )(
)
( )(
)
( )
(11 )( . )
1 ( )( . )
(11 )( )
1 ( )( . )
( )
(11 )
1 .
(11 )
1 ( . )
.1
.1 1
(
1 )
( )
( )(
)
( )(
)
( )(
)
Здесь к уже известным корням добавляется еще один:
,
( )
1 ( . )( )
( )( . )
1 ( . )( . )
( )( . )
1 ( . )( )
( )( . )

32
( )
1
( )
1 ( . )
( )
1
( )
1 1
( )
Второе решение (источник тока отключен)
1 ,
1. Составим схему замещения данной цепи для послекоммутационного состояния (рис.20). Резисторы и оказываются замкнуты накоротко перемычкой, поэтому ток через них не протекает, т.о. ток равен:
( )
. . Напряжение
2.
Определим докоммутационное состояние цепи.
Для этого воспользуемся схемой на рис.21 Видно, что источник энергии отключен, поэтому все токи во всех ветвях нулевые.
3.
Составим уравнения Кирхгофа для операторной схемы замещения
(рис.22):
,
,
Тогда ток
, ток
. Подставим ток в первое контурное уравнение:
Рис. 23
Рис. 24

33 1
(
)
Тогда
1
(
)
Найдем ток
:
Подставив найденные токи во второе контурное уравнение, получим:
[
]
После упрощения данного выражения получим:
(
)
(
)
(27)
Теперь выразим ток через и
:
Подставим в него все токи, полученные ранее в зависимости от и
:
1
(
)
Упрощая, получим:
[
1
]
[1 1
]
Далее выражаем ток через ток
:
[
]
(28) и подставляем в выражение (27):
После упрощений и подстановки численных значений получим операторное изображение тока
:
1.1 11
Теперь можно вычислить операторное изображение тока
, подставив полученное изображение тока в выражение (22):
. 1.
11
Изображение тока найдем, воспользовавшись третьим контурным уравнением:
( . )( )
4. Получим теперь оригиналы токов
,
,

34
 Ток
:
1.1 11
Числитель:
( ) 1.1 , заменатель:
( )
11 , производная знаменателя:
( ) 11. Корни знаменателя будут:
Определим значения числителя и производной знаменателя при разных корнях:
(
) 1.1
(
) 1.1
(
)
(
)
Тогда:
( ) .1
.1
Ток
:
. 1.
11
Числитель:
( ) . 1. , заменатель:
( )
11 , производная знаменателя:
( ) 11. Корни знаменателя будут:
Определим значения числителя и производной знаменателя при разных корнях:
(
) 1.1
(
) 1.1
(
)
(
)
Тогда:
( ) .1
.1
Ток
:
(
11 )
Числитель:
( ) . , заменатель:
( )
11
, производная знаменателя:
( )
. Корни знаменателя будут:
,
. Определим значения числителя и производной знаменателя при разных корнях:
(
) .
(
)
(
) .
(
)
(
)
Тогда:
( ) . .
Для проверки получим напряжение двумя способами:
( .1
.1
) ( .1
.1
)
. ( . )( )
Теперь получим остальные токи, оперируя полученными оригиналами:
.1
.1
. .1
.1
.1
.1
.1
. .1
. .1

35
 Получим теперь те же оригиналы с помощью теоремы о вычетах:
1.1 11
( )
( )(
)
( )(
)
( )
1.1 ( . )
( )( . )
1.1 ( )
( )( . )
( )
1.1 1.1
( . )
.1
.1
. 1.
11
( )
( )(
)
( )(
)
( )
( . 1. )( . )
( )( . )
( . 1. )( )
( )( . )
( )
( . ( . ) 1. )
( . ( ) 1. )
( . )
.1
.1
(
11 )
( )
( )(
)
( )(
)
( )(
)
Здесь к уже известным корням добавляется еще один:
,
( )
( . )( )
( )( . )
( . )( . )
( )( . )
( . )( )
( )( . )
( )
( )
( . )
( )
( )
1
( )
Как видно, изменение параметров источников привело к изменению вида изображения, при этом корни знаменателя остались неизменными. Именно

36 они определяются структурой цепи, то есть количеством, видом и схемой включения элементов.