билеты. Определение Будем говорить, что во множестве рациональных чисел q произведено сечение, если QАА, а

• Название: Определение Будем говорить, что во множестве рациональных чисел q произведено сечение, если QАА, а
• Анкор: dfghjk
• Дата: 16.10.2021
• Размер: 0.81 Mb.
• Имя файла: билеты.doc
• Тип: Документы; #248827
• страница: 1 из 3

<sub>Определение сечения во множестве рациональных чисел

(Ключевое определение в теории Дедекинда)

Определение: Будем говорить, что во множестве рациональных чисел Q произведено сечение, если Q=АА`, а

АА`

АА`=

rА и r`А` r
При этом множество А называют нижним классом сечения, а

множество А` называют верхним классом сечения.
1. Пусть r0Q

A состоит из всех rQ : r<=r0

A` = {r`Q : r`>r0}

rA, r`A`

r<=r0 r
В А есть самое большое число т.к. r0 <=r0 => r0A

В А` нет самого маленького числа.

Доказательство:
Лемма о плотности множества Q

Пусть r1,r2Q : r12 => существует rQ : r12

Доказательство: 1) r1<0, r2>0 => r=0

2) r1,r2<0 => r= (r1+r2)/2
Доказательство от противного:

rA, r`A`

Пусть r1`A`, r1`<=r` r`A`

r1`>r0, т.к. r1`A` по Лемме существует r2Q : r02</sub>1`

r₂>r₀ => r₂A и r₂1` => r<sub>2</sub>A` => r₂AА` <=> АА`Q <=> r₂Q

Значит наше предположение неверно, в А нет самого маленького числа.
2. Пусть r₀Q

A = {rQ : r0}

A` = {r`Q : r`>=r₀}

В А нет самое большого число

В А` есть самого маленькое числа.
3. A = {rQ : r<=0 или rQ : (r>0)r²<2)}

A` = {r`Q : (r`>0)r`²>2)}
Лемма Не существует r₀Q : r₀²=2

Доказательство:

Пусть существует r₀Q : r₀²=2

Пусть r₀²= |r₀|² т.к. r₀Q

т.е. т.е. т.е.

p₀=2p₁

q₀=2q₁

Значит наше предположение не верно, не существует r₀Q : r₀²=2
Данная лемма rQ выполняется неравенство r²<2)r²>2)

Таким образом получает сечение рациональных чисел.

В полученном сечении В А нет самое большого число

В А` нет самого маленького числа.
Свойство полученного сечения.

В верхнем классе А нет самое большого число

В нажнем классе А` нет самого маленького числа.
Пусть 0


p>=1, q>=1



r₁=

r₁A т.к. r₁² >2 ; r₁>r
Значит в нижнем классе нет наибольшего числа.

Для верхнего класса доказательство аналогично.
Сечение которое показано в 3-ем примере, как будет формально записано позднее задает иррациональное число 2

Основное утверждение о сечениях множества рациональных чисел.

Утверждение: Пусть сечение А,А`. Тогда не может произойти так, чтобы в нижнем классе А было максимальное число, а в верхнем А` минимальное число.

Доказательство:

Пусть верно обратное т.е.

Существует r₀A : rA r<= r₀ и

Существует r₁`A` : r`A` r`>= r<sub>1</sub>`

r₀1` (по 3-му свойству сечений) => существует Q : r<sub>0</sub>< 1`

=>  АА`=Q

Значит наше предположение неверно
Следствие в Q

Пусть существует А,А` тогда:

• 
  либо в А есть наибольшее, а в А` нет наименьшего числа
  
• 
  либо в А` есть наименьшее, а в А нет наибольшего числа
  
• 
  либо в А нет наибольшего, а в А` нет наименьшего числа
  

Доказательство

	Есть	Нет			Есть	Нет			Есть	Нет			Есть	Нет
А	1	0		А	1	0		А	0	1		А	0	1
А`	1	0		А`	0	1		А`	0	1		А`	1	0

Невозможно
Определение: Пусть есть произвольное сечение множества Q. Если для него выполняется 1 или 2 утверждение следствия, то говорят, что это сечение определяет именно то число Q, которое является либо наибольшим в нижнем классе, либо наименьшем в верхнем классе.

Если для него выполняется третье утверждение следствия, то оно определяет некоторое иррациональное число.

Определение: Множество всех рациональных чисел и множество всех иррациональных чисел называется множество вещественных чисел Q+I=R
Равенство вещественных чисел
Считается, что никакое рациональное число не равняется никакому иррациональному числу.

Пусть существует сечение А,A` и А<sub>1</sub>, А<sub>1</sub>` во множестве иррациональных чисел.

Иррациональные числа определяемые сечениями А,A` и А<sub>1</sub>, А<sub>1</sub>` называют равными, если А=А₁ А`=А<sub>1</sub>` => А=А₁ А`=А<sub>1</sub>`, т.к. А определяет А` и А` определяет А.

Неравенство между рациональными и иррациональными числами

Пусть есть иррациональное число определенное сечением А,A` ( и пусть есть произвольное рациональное число.
Пусть r₀Q r₀< <=> > r₀<=> r₀A

Пусть r₁Q r₁> <=>  r₁<=> r₁A`

Неравенство между иррациональными числами.

Пусть есть сечение А,A`) и есть сечение  (B,B`)
Утверждение о множествах А и В

При указанных подмножествах чисел А, В могут существовать три возможности.

1. 
   АB, AB
   
2. 
   A=B
   
3. 
   , BA
   

Определение: Если выполнено 1) то говорят, что 

2) то говорят, что 

3) то говорят, что 

Теорема: Для неравенств между вещественными числами справедливы свойства неравенств, применяемых для рациональных чисел.

Представление вещественных чисел в виде десятичных дробей.

Q₁₀ множество состоящее из чисел вида p/10^m , pZ, mN
rQ, rQ₁₀

Существует единственное mZ : m
Если и т.д. m₁0,1,2..9

r существует m_к :

(m, m₁, m₂, …)

То же для I : m<m+1 существует m₁0,1,2..9 : .
Определение: Будем говорить, что в множестве R проведено сечение, если R= АА`, причем А и А` обладают следующими свойствами

1) АА`

2) АА`=

rА и r`А` r
множество А нижний класс сечения

множество А` верхний класс сечения

Теорема Дедекинда.

Для всякого сечения АА` в области вещественных чисел существует вещественное число , которое производит это сечение. Это число будет

1. 
   Либо наибольшим в нижнем классе А
   
2. 
   Либо наименьшим в верхнем классе А`
   

Доказательство:

1) В А нет наибольшего, в А` нет наименьшего.

Пусть верно обратное, т.е.

Существует ₁A` : `A` <sub>1</sub><=`, существует ₀A : A <=₀

По третьему свойству ₀<₁`

Пусть ₀,₁`I, тогда <sub>0</sub><<sub>1</sub>` <=> C₀С₁ и C₀С₁

Существует rQ : rС₁ <=> r<₁`, rС₀ <=> rС₁ <=> r>₀

П олучаем: Существует rQ : r>₀ => rA

r<₁` => rA` => rАА` => rQ !!

Значит наше предположение неверно: В А нет наибольшего, в А` нет наименьшего.
2) А, А`R

V =AQ V,V`Q

V`=A`Q

₀R тогда ₀A или ₀A`

Пусть ₀A => A выполняется неравенство ₀

Пусть верно обратное, т.е. не наибольшее в А, т.е. существует ^*A : ^*>₀

Существует r₀Q : ₀0<^*

^*A => r₀A и r₀Q => r₀ V

r₀ V, ₀ определяется сечением V,V` =>

r₀<=₀ => значит наше предположение неверно ₀A =>

н о r₀>₀ A выполняется неравенство ₀
Для ₀A` доказательство аналогичное.
Границы числовых множеств

Определение: Пусть существует подмножество E множества R, говорят, что E ограничено сверху, если существует М : xE в.н. x<=M.

Определение: Пусть существует подмножество E множества R, говорят, что E ограничено снизу, если существует N : xE в.н. x>=N.

Определение: Подмножество Е множества R называют ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

Если множество Е ограничено сверху, то его верхней границей называют M : xE в.н. x<=M.

Если множество Е ограничено снизу, то его нижней границей называют N : xE в.н. x>=N.

Определение: Пусть множество Е ограничено сверху, тогда его точной верхней границей называется такая его верхняя граница М₀, что M в.н. M₀<=M, где М верхняя граница

Пусть множество Е ограничено снизу, тогда его точной нижней границей называется такая его нижняя граница N₀, что N в.н. N₀<=N, где N нижняя граница.

Замечание: Если Е ограниченно сверху и если М₀ его точная граница, то xE в.н. x<=M₀ и М₀ – наименьшее число, для которого эти неравенства выполняются для xE

Если Е ограниченно снизу и если N₀ его точная граница, то xE в.н. x>=N₀ и N₀ – наибольшее число, для которого эти неравенства выполняются для xE
Точная верхняя граница – supremum Е Sup E

Точная нижняя граница – Infimum E Inf E
Теорема:

1) Если множество Е ограничено сверху, то оно имеет Sup

2) Если множество Е ограничено снизу, то оно имеет Inf

Доказательство (для(1))

Пусть существует E, существует М : xE в.н. x<=M

Применим теорему Дедекинда.

Проведем сечение во множестве R к А отнесем все верхние границы множества Е, к А` отнесем все остальные числа.

A т.к. Е ограничено т.е. существует М, МA

A` т.к. xE => существует rQ : r
По теореме Дедекинда сечение определяется rA (rR), которое либо наибольшее в нижнем классе А, либо наименьшее в верхнем классе А`.

Покажем r₀, которое задает сечение А,А`

Если число r₀A`, М₀ является наименьшим в верхнем классе (верхней границей)

Пусть r₀A => М₀ не верхняя граница для множества Е т.к. все границы (верхние)A` => x<sub>0</sub>Е : М<sub>0</sub>0 ????
Определение арифметических операций над вещественными числами
Определение: Пусть существует R\Q определяет сечение А,А` множества Q. Покажем сечение B,B` множества Q – утверждения

SB <=> -SA`

S`B` <=> -S`A

По определению сечение B,B` определяет иррациональное число 
Определение: обратного числа

1. 
   Пусть R\Q, A
   

Множество А₀ – подмножество всех rA : r>0

Q_-={rQ : r<=0}

A=Q_-₀

Множества С`, С₀

tC₀ <=> (1/t)А`

tC` <=> (1/t)А₀

C=C₀ Q_-, С`

Но оказывается, что множества С, С` являются сечением множества рациональных чисел. Они задают иррациональное число, которое называется 1/

Свойство: 


 Пусть R\Q, тогда (1/
Определение: суммы чисел

Пусть существует  (любые R или R\Q)

Они определяют сечение А,A` и B,B`

Множество Е={p+q, pА, qB}

Возьмем p₁`A`, q₁`B` и зафиксируем их pA, p
1` ; qB, q1`

p+q
1+q₁ значит множество Е ограничено сверху, т.е. оно имеет sup.

По определению sup E


Определение: умножение чисел

Пусть ,>0 (могут быть рациональными)

 задает сечение А,A` и  задает сечение B,B`

Множество Е={pq : p>0, pА и q>0, qB}

p₁`A`, q₁`B` выполняется неравенство p₁`>0, q<sub>1</sub>`>0

pA, p>0 0

1`

qB, q>0 01`

pq
, тогда Е ограничено сверху, т.е. оно имеет sup

sup E

Свойство:



  

-((- -((- ((--
Определение: Существует ,R, 0


Теорема: Арифметические операции определенные ранее при их совершении над рациональными числами, дают такое же результат, как и при применении стандартных операций. Для всех арифметических операций справедливы все те свойства, которые используются для рациональных чисел.
Алгебраические операции над вещественными числами

Определение: Пусть существует 

² =

ⁿ⁺¹=ⁿ 

^-1=(1/0

^-2=(^-1²

.. …

^-n=(^-1ⁿ

⁰=1