Главная страница
Навигация по странице:

  • Теоремы о предельных переходах Теорема 1

  • Теорема о вложенных отрезках Принцип Кантора

  • Теорема Больцано-Вейерштрасса Теорема :У любой ограниченной последовательности существует сходящаяся подпоследовательность.Док-во

  • Первая теорема Коши Теорема

  • Первая теорема Вейерштрасса Лемма

  • Теорема :Если функция непрерывна на (a, b), то она ограничена на этом отрезке.Док-во

  • Вторая теорема Вейерштрасса Теорема: Если функция непрерывна на (a, b), то она достигает своей верхней и нижней грани на этом отрезке.Док-во

  • Теорема: Если функция непрерывна на (a, b), то она и равномерно непрерывна на нем.Док-во

  • Теорема о производной сложной функции

  • доказательства теорем мат анализ. Теоремы. Теорема Архимеда Теорема о предельных переходах в неравенствах


    Скачать 26 Kb.
    НазваниеТеорема Архимеда Теорема о предельных переходах в неравенствах
    Анкордоказательства теорем мат анализ
    Дата05.04.2023
    Размер26 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаТеоремы.docx
    ТипДокументы
    #1039547



    1. Теорема Архимеда

    2. Теорема о предельных переходах в неравенствах

    3. Теорема о вложенных отрезках

    4. Теорема Больцано-Вейерштрасса

    5. Первая теорема Коши

    6. Вторая теорема Коши

    7. Первая теорема Вейерштрасса

    8. Вторая теорема Вейерштрасса

    9. Теорема Кантера

    10. Теорема о производных сложной функции

    11. Теорема о производной обратной функции

    12. Теорема о параметрически заданной функции

    13. Теорема Ферма

    14. Теорема Ролля

    15. Теорема Лагранжа

    16. Теорема Коши

    17. Теорема об остатке формулы Тейлора в форме Пиано

    18. Теорема о достаточных условиях строгого экстремума

    19. Теорема о достаточных условиях точки перегиба



    1. Теорема Архимеда

    Любая последовательность является неограниченной сверху если для любого действительного числа а существует такое натуральное число n, что n>a.

    Док-во (от противного):

    Допустим что n ≤ a, т.е. множество натуральных чисел было бы ограничено сверху. Следовательно у N существовала бы конечная верхняя грань.

    β(бета) = supN ≤ +∞

    Т.к. β-1 < β, то найдется натуральное число n, что n < β-1, т.е. n+1 > β

    Но n+1 также натуральное число, поэтому неравенство противоречит условию.

    1. Теоремы о предельных переходах

    Теорема 1:

    Пусть последовательность {xn} сходится. Если начиная с некоторого номера члены последовательности удовлетворяют неравенству xn ≥ b, то lim xn ≥ b.

    Док-во (от противного):

    Пусть limn = a. Докажем что a ≥ b.

    Пусть a < b. Тогда для любого эпсилон > 0 существует N, такое что для любого n > N => |xn - a|<эпсилон

    Пусть эпсилон = b – a > 0

    Тогда из |xn – a | =>

    - b + a < xn – a < b – a

    - b + 2a < xn < b

    Видим противоречие, т.к. xn ≥ b

    Следовательно a ≥ b, lim xn ≥ b

    Следствие:

    Пусть { xn } и { yn } – сходящиеся последовательности. Если начиная с некоторого номера выполняется неравенство: xn ≤ yn, то lim xn ≤ lim yn

    Док-во: xn ≤ yn => yn - xn ≥ 0

    Lim(yn - xn) ≥ 0

    Lim yn – lim xn ≥ 0

    Lim yn ≥ lim xn

    Теорема 2 (о двух милиционерах):

    Пусть сходящиеся последовательности { xn } и { zn } имеют один предел, т.е. lim xn = a и lim zn = a и начиная с некоторого номера справедливо неравенство xn ≤ yn ≤ zn, тогда последовательность { yn } сходится к тому же пределу, т.е. lim yn = a.

    Док-во:

    Lim xn = а < = > (знак эквивалентности) для любого эпсилон > 0 существует N1 такое что для любого n > N1 => |xn - a| < эпсилон

    Lim zn = a < = > для любого эпсилон > 0 существует N2 такое что для любого n > N2 => | zn -a |< эпсилон

    N = max { N1, N2 } для любого n > N

    a – эпсилон < xn ≤ yn ≤ zn < a + эпсилон

    a – эпсилон < yn < a + эпсилон

    - эпсилон < yn – a < эпсилон

    |yn - a| < эпсилон

    Lim yn = a

    1. Теорема о вложенных отрезках

    Принцип Кантора:

    Пусть дана последовательность числовых множеств An : An+1 < An. Такая последовательность – вложенная.

    Теорема:

    Любая система, такая что An+1 < An имеет общую точку. Если , то эта точка единственна.

    Док-во:

    An+1 < An , An = [ an, bn] , an – возрастающая последовательность, ограниченная снизу b1, bn – убывающая последовательность, ограниченная сверху а1.

    Т.к. an < bn , то по теореме о предельных переходах a ≤ b. Но согласно нашему построению вложенных отрезков an ≤ a ≤ b ≤ bn => [a, b] – общий отрезок для всех отрезков.

    0 ≤ b - a ≤ bn – an

    => a = b , и эта точка единственна.

    1. Теорема Больцано-Вейерштрасса

    Теорема:

    У любой ограниченной последовательности существует сходящаяся подпоследовательность.

    Док-во:

    Пусть xn – ограниченная последовательность, т.е. xn принадлежит [a, b]

    Поделим отрезок [a, b] точкой c => [a, c] и [c, b]. Одно из них бесконечное множество. В бесконечном множестве любое натуральное число обозначим за n1, а в соответствие ему отрезок [a1, b1], т.е. xn1 принадлежит [a1, b1], xn2 принадлежит [a2, b2] … xnk принадлежит [ak, bk]. Следовательно, последовательность ak bk – вложенная и bk – ak = (b – a)/2, при k -> 0.

    По теореме о вложенных отрезках получим, что xnk принадлежит [ak, bk] и существует точка c, которая тоже будет принадлежать [ak, bk], [xnk – c] -> 0 и получим что xnk – искомая последовательность, сходящаяся в точке c.

    1. Теорема'>Первая теорема Коши

    Теорема:

    Если функция непрерывна на [a, b] и f(a) * f(b) < 0, то найдется точка c, принадлежащая [a, b], такая что f(c) = 0

    Док-во:

    Может быть два варианта:

    1. f(a) < 0, f(b) > 0

    2. f(a) > 0, f(b) <0

    Разделим a, b точкой c пополам:

    1. f(c) = 0

    C - искомая точка

    1. f(c) < 0

    Отрезок (с,b) обозначим как (a,b), полученное делим точкой с напополам. Проведя рассуждения, на каком-то шаге найдем точку, которая является искомой, либо построим отрезок, на котором функция меняет знак.

    1. f(c) > 0

    Построим систему вложенных отрезков [ak, bk]

    По принципу Кантера, существует единственная точка с принадлежащая [ak, bk]

    Т.к. функция непрерывна на отрезке (a, b), f(ak)->f(c) => Теорема о предельных переходах.

    F(bk) -> f(c), причем f(c) ≥ 0

    Выполняется только когда F(c) =0


    1. Вторая теорема Коши

    Пусть функция непрерывна на отрезке (а, b), тогда для любых х1,х2 принадлежащих (а, b) существует С, такое что f(x1) ≤ C ≤ f(x2)

    Тогда существует C принадлежащее (a, b), такое что f(c) = C

    Док-во:

    Рассмотрим случай возрастающей функции:

    x1 < x2 => f(x1) < f(x2)

    C принадлежит [f(x1), f(x2)]

    F(x) = f(x) - C

    Рассмотрим вспомогательную функцию:

    F(x) меняет знак на (х1, х2) и в силу непрерывности функции найдется точка С принадлежащая (х1, х2)

    Тогда f(x1) = f(x1) - C < 0

    F(x2) = f(x2) - C > 0 => F(x1) * f(x2) < 0

    F(x) - непрерывна на промежутке (а, b)

    Следовательно существует С, такое что F(c) = 0

    Но если f(c)=0

    F(c) = f(c) - C = 0

    F(c) = C

    1. Первая теорема Вейерштрасса

    Лемма:

    Пусть xn – последовательность со значениями, лежащими на отрезке (a, b) тогда из нее можно выделить сходящуюся последовательность, предел которой принадлежит промежутку (a, b).

    Теорема:

    Если функция непрерывна на (a, b), то она ограничена на этом отрезке.

    Док-во:

    Предположим функция не ограничена сверху, в силу леммы можно выделить подпоследовательность:

    Xnk ----> x0 (при nk -> 0) => f(xnk) -> f(x0) ≥ + ∞

    f(xnk) > nk ≥ ∞

    Следовательно переход к пределу в последнем неравенстве приводит к условию что f(x0) ≥ + ∞.

    Этого быть не может, т.к. f(x0) – действительное число и f(x0) < ∞.

    1. Теорема:_Если_функция_непрерывна_на_(a,_b),_то_она_достигает_своей_верхней_и_нижней_грани_на_этом_отрезке.Док-во'>Вторая теорема Вейерштрасса

    Теорема:

    Если функция непрерывна на (a, b), то она достигает своей верхней и нижней грани на этом отрезке.

    Док-во:

    Проведем sup f(x) = s

    По первой теореме функция ограничена сверху. Следовательно существует sup f(x) = s, x принадлежит (a, b). Но тогда согласно определению sup:

    1. Существует xn принадлежащая (a, b), f(xn) > s – (1/n)

    2. f(xn) ≤ s



    1. Теорема Кантора

    Функция равномерно непрерывна на x если для любого эпсилон > 0 существует дельта > 0, что для любых a, b принадлежащих x из неравенства |a - b| < дельта => неравенство |f(a) – f(b)| < эпсилон.

    Теорема:

    Если функция непрерывна на (a, b), то она и равномерно непрерывна на нем.

    Док-во (от противного):

    Пусть для некоторого эпсилон > 0, какое бы дельта > 0 мы ни выбрали, существует два числа a, b принадлежащие x. Для каждого дельта > 0 рассмотрим пару чисел an и bn. Без ограничения общности можно считать последовательность an, n принадлежащая N, - сходящейся. Последовательность чисел сходящаяся в точке x0 => f(an) – f(bn) -> 0, что противоречит предположению.

    1. Теорема о производной сложной функции

    Теорема:

    Если y = f(u) и u = ϕ(x) (фи от икс) – дифференцируемые функции, то сложная функция y = f(ϕ(x)) является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной: y’ = f’(u) * u’

    Док-во:

    Утверждение получается из равенства (при ≠ 0 и ) предельным переходом при




    написать администратору сайта