доказательства теорем мат анализ. Теоремы. Теорема Архимеда Теорема о предельных переходах в неравенствах
Скачать 26 Kb.
|
Теорема Архимеда Теорема о предельных переходах в неравенствах Теорема о вложенных отрезках Теорема Больцано-Вейерштрасса Первая теорема Коши Вторая теорема Коши Первая теорема Вейерштрасса Вторая теорема Вейерштрасса Теорема Кантера Теорема о производных сложной функции Теорема о производной обратной функции Теорема о параметрически заданной функции Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема Коши Теорема об остатке формулы Тейлора в форме Пиано Теорема о достаточных условиях строгого экстремума Теорема о достаточных условиях точки перегиба Теорема Архимеда Любая последовательность является неограниченной сверху если для любого действительного числа а существует такое натуральное число n, что n>a. Док-во (от противного): Допустим что n ≤ a, т.е. множество натуральных чисел было бы ограничено сверху. Следовательно у N существовала бы конечная верхняя грань. β(бета) = supN ≤ +∞ Т.к. β-1 < β, то найдется натуральное число n, что n < β-1, т.е. n+1 > β Но n+1 также натуральное число, поэтому неравенство противоречит условию. Теоремы о предельных переходах Теорема 1: Пусть последовательность {xn} сходится. Если начиная с некоторого номера члены последовательности удовлетворяют неравенству xn ≥ b, то lim xn ≥ b. Док-во (от противного): Пусть limn = a. Докажем что a ≥ b. Пусть a < b. Тогда для любого эпсилон > 0 существует N, такое что для любого n > N => |xn - a|<эпсилон Пусть эпсилон = b – a > 0 Тогда из |xn – a | => - b + a < xn – a < b – a - b + 2a < xn < b Видим противоречие, т.к. xn ≥ b Следовательно a ≥ b, lim xn ≥ b Следствие: Пусть { xn } и { yn } – сходящиеся последовательности. Если начиная с некоторого номера выполняется неравенство: xn ≤ yn, то lim xn ≤ lim yn Док-во: xn ≤ yn => yn - xn ≥ 0 Lim(yn - xn) ≥ 0 Lim yn – lim xn ≥ 0 Lim yn ≥ lim xn Теорема 2 (о двух милиционерах): Пусть сходящиеся последовательности { xn } и { zn } имеют один предел, т.е. lim xn = a и lim zn = a и начиная с некоторого номера справедливо неравенство xn ≤ yn ≤ zn, тогда последовательность { yn } сходится к тому же пределу, т.е. lim yn = a. Док-во: Lim xn = а < = > (знак эквивалентности) для любого эпсилон > 0 существует N1 такое что для любого n > N1 => |xn - a| < эпсилон Lim zn = a < = > для любого эпсилон > 0 существует N2 такое что для любого n > N2 => | zn -a |< эпсилон N = max { N1, N2 } для любого n > N a – эпсилон < xn ≤ yn ≤ zn < a + эпсилон a – эпсилон < yn < a + эпсилон - эпсилон < yn – a < эпсилон |yn - a| < эпсилон Lim yn = a Теорема о вложенных отрезках Принцип Кантора: Пусть дана последовательность числовых множеств An : An+1 < An. Такая последовательность – вложенная. Теорема: Любая система, такая что An+1 < An имеет общую точку. Если , то эта точка единственна. Док-во: An+1 < An , An = [ an, bn] , an – возрастающая последовательность, ограниченная снизу b1, bn – убывающая последовательность, ограниченная сверху а1. Т.к. an < bn , то по теореме о предельных переходах a ≤ b. Но согласно нашему построению вложенных отрезков an ≤ a ≤ b ≤ bn => [a, b] – общий отрезок для всех отрезков. 0 ≤ b - a ≤ bn – an => a = b , и эта точка единственна. Теорема Больцано-Вейерштрасса Теорема: У любой ограниченной последовательности существует сходящаяся подпоследовательность. Док-во: Пусть xn – ограниченная последовательность, т.е. xn принадлежит [a, b] Поделим отрезок [a, b] точкой c => [a, c] и [c, b]. Одно из них бесконечное множество. В бесконечном множестве любое натуральное число обозначим за n1, а в соответствие ему отрезок [a1, b1], т.е. xn1 принадлежит [a1, b1], xn2 принадлежит [a2, b2] … xnk принадлежит [ak, bk]. Следовательно, последовательность ak bk – вложенная и bk – ak = (b – a)/2, при k -> 0. По теореме о вложенных отрезках получим, что xnk принадлежит [ak, bk] и существует точка c, которая тоже будет принадлежать [ak, bk], [xnk – c] -> 0 и получим что xnk – искомая последовательность, сходящаяся в точке c. Теорема'>Первая теорема Коши Теорема: Если функция непрерывна на [a, b] и f(a) * f(b) < 0, то найдется точка c, принадлежащая [a, b], такая что f(c) = 0 Док-во: Может быть два варианта: f(a) < 0, f(b) > 0 f(a) > 0, f(b) <0 Разделим a, b точкой c пополам: f(c) = 0 C - искомая точка f(c) < 0 Отрезок (с,b) обозначим как (a,b), полученное делим точкой с напополам. Проведя рассуждения, на каком-то шаге найдем точку, которая является искомой, либо построим отрезок, на котором функция меняет знак. f(c) > 0 Построим систему вложенных отрезков [ak, bk] По принципу Кантера, существует единственная точка с принадлежащая [ak, bk] Т.к. функция непрерывна на отрезке (a, b), f(ak)->f(c) => Теорема о предельных переходах. F(bk) -> f(c), причем f(c) ≥ 0 Выполняется только когда F(c) =0 Вторая теорема Коши Пусть функция непрерывна на отрезке (а, b), тогда для любых х1,х2 принадлежащих (а, b) существует С, такое что f(x1) ≤ C ≤ f(x2) Тогда существует C принадлежащее (a, b), такое что f(c) = C Док-во: Рассмотрим случай возрастающей функции: x1 < x2 => f(x1) < f(x2) C принадлежит [f(x1), f(x2)] F(x) = f(x) - C Рассмотрим вспомогательную функцию: F(x) меняет знак на (х1, х2) и в силу непрерывности функции найдется точка С принадлежащая (х1, х2) Тогда f(x1) = f(x1) - C < 0 F(x2) = f(x2) - C > 0 => F(x1) * f(x2) < 0 F(x) - непрерывна на промежутке (а, b) Следовательно существует С, такое что F(c) = 0 Но если f(c)=0 F(c) = f(c) - C = 0 F(c) = C Первая теорема Вейерштрасса Лемма: Пусть xn – последовательность со значениями, лежащими на отрезке (a, b) тогда из нее можно выделить сходящуюся последовательность, предел которой принадлежит промежутку (a, b). Теорема: Если функция непрерывна на (a, b), то она ограничена на этом отрезке. Док-во: Предположим функция не ограничена сверху, в силу леммы можно выделить подпоследовательность: Xnk ----> x0 (при nk -> 0) => f(xnk) -> f(x0) ≥ + ∞ f(xnk) > nk ≥ ∞ Следовательно переход к пределу в последнем неравенстве приводит к условию что f(x0) ≥ + ∞. Этого быть не может, т.к. f(x0) – действительное число и f(x0) < ∞. Теорема:_Если_функция_непрерывна_на_(a,_b),_то_она_достигает_своей_верхней_и_нижней_грани_на_этом_отрезке.Док-во'>Вторая теорема Вейерштрасса Теорема: Если функция непрерывна на (a, b), то она достигает своей верхней и нижней грани на этом отрезке. Док-во: Проведем sup f(x) = s По первой теореме функция ограничена сверху. Следовательно существует sup f(x) = s, x принадлежит (a, b). Но тогда согласно определению sup: Существует xn принадлежащая (a, b), f(xn) > s – (1/n) f(xn) ≤ s Теорема Кантора Функция равномерно непрерывна на x если для любого эпсилон > 0 существует дельта > 0, что для любых a, b принадлежащих x из неравенства |a - b| < дельта => неравенство |f(a) – f(b)| < эпсилон. Теорема: Если функция непрерывна на (a, b), то она и равномерно непрерывна на нем. Док-во (от противного): Пусть для некоторого эпсилон > 0, какое бы дельта > 0 мы ни выбрали, существует два числа a, b принадлежащие x. Для каждого дельта > 0 рассмотрим пару чисел an и bn. Без ограничения общности можно считать последовательность an, n принадлежащая N, - сходящейся. Последовательность чисел сходящаяся в точке x0 => f(an) – f(bn) -> 0, что противоречит предположению. Теорема о производной сложной функции Теорема: Если y = f(u) и u = ϕ(x) (фи от икс) – дифференцируемые функции, то сложная функция y = f(ϕ(x)) является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной: y’ = f’(u) * u’ Док-во: Утверждение получается из равенства (при ≠ 0 и ) предельным переходом при |