лекция. Лекции+6-7. Определение. Дифференциальным уравнением порядка
![]()
|
Дифференциальные уравнения высших порядков. Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида: ![]() В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n): ![]() Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. Определение. Решение ![]() ![]() ![]() Определение. Нахождение решения уравнения ![]() ![]() Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши). Если функция (n-1) –й переменных вида ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов. Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка. Уравнения вида y(n) = f(x). Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием. ![]() ![]() ……………………………………………………………. ![]() ![]() Пример. Решить уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставим начальные условия: ![]() ![]() ![]() Получаем частное решение (решение задачи Коши): ![]() Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения. ![]() |