лекция. Лекции+6-7. Определение. Дифференциальным уравнением порядка

• Название: Определение. Дифференциальным уравнением порядка
• Анкор: лекция
• Дата: 02.01.2023
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: Лекции+6-7.doc
• Тип: Решение; #870919
• страница: 5 из 6

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами.
Уравнения с правой частью специального вида.
Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи:




I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:






где - многочлен степени m.

Тогда частное решение ищется в виде:






Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение:





Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.



Частное решение ищем в виде: , где

Т.е.

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.





Итого, частное решение:

Т огда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:





II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:





Здесь Р₁(х) и Р₂(х) – многочлены степени m₁ и m₂ соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:





где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q₁(x) иQ₂(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m₁ и m₂.
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у₁и у₂ – частные решения вспомогательных уравнений

и
Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.
Пример. Решить уравнение
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f₁(x) + f₂(x) = x + (-sinx).

Составим и решим характеристическое уравнение:

1. 
   Для функции f₁(x) решение ищем в виде .
   

Получаем: Т.е.


Итого:

2. 
   Для функции f₂(x) решение ищем в виде: .
   

Анализируя функцию f₂(x), получаем:
Таким образом,




Итого:
Т.е. искомое частное решение имеет вид:
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:


Рассмотрим примеры применения описанных методов.
Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:



Общее решение однородного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:







Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.



Подставляя в исходное уравнение, получаем:





Ч астное решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного уравнения:

Пример. Решить уравнение
Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения: .





Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:









П олучаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:



Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение. Совокупность соотношений вида:



где х- независимая переменная, у₁, у₂,…,у_n – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид:

(1)
Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.
Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции … непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки этой области существует единственное решение



системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х₀ и удовлетворяющее начальным условиям
Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.