лекция. Лекции+6-7. Определение. Дифференциальным уравнением порядка
![]()
|
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постояннымикоэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения. Различают следующие случаи: ![]() I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: ![]() ![]() где ![]() Тогда частное решение ищется в виде: ![]() ![]() Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Пример. Решить уравнение ![]() Решим соответствующее однородное уравнение: ![]() ![]() ![]() Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше. ![]() Частное решение ищем в виде: ![]() ![]() Т.е. ![]() Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. ![]() ![]() Итого, частное решение: ![]() Т ![]() ![]() ![]() II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: ![]() ![]() Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид: ![]() ![]() где число r показывает сколько раз число ![]() Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию. Т.е. если уравнение имеет вид: ![]() ![]() ![]() ![]() Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом. Пример. Решить уравнение ![]() Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx). Составим и решим характеристическое уравнение: ![]() Для функции f1(x) решение ищем в виде ![]() Получаем: ![]() ![]() ![]() Итого: ![]() Для функции f2(x) решение ищем в виде: ![]() Анализируя функцию f2(x), получаем: ![]() Таким образом, ![]() ![]() ![]() ![]() Итого: ![]() Т.е. искомое частное решение имеет вид: ![]() Общее решение неоднородного дифференциального уравнения: ![]() Рассмотрим примеры применения описанных методов. Пример. Решить уравнение ![]() Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения: ![]() Общее решение однородного уравнения: ![]() Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде: ![]() ![]() ![]() Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. ![]() Подставляя в исходное уравнение, получаем: ![]() ![]() Ч ![]() ![]() Общее решение линейного неоднородного уравнения: ![]() Пример. Решить уравнение ![]() Характеристическое уравнение: ![]() Общее решение однородного уравнения: ![]() Частное решение неоднородного уравнения: ![]() ![]() ![]() Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() П ![]() ![]() Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Определение. Совокупность соотношений вида: ![]() где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка. Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Такая система имеет вид: ![]() Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве. Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям ![]() Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций ![]() ![]() ![]() |