лекция. Лекции+6-7. Определение. Дифференциальным уравнением порядка

• Название: Определение. Дифференциальным уравнением порядка
• Анкор: лекция
• Дата: 02.01.2023
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: Лекции+6-7.doc
• Тип: Решение; #870919
• страница: 2 из 6

Уравнения, не содержащие явно искомой функции

и ее производных до порядка k – 1 включительно.




Это уравнения вида:

В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:



Тогда получаем:
Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:



Делая обратную подстановку, имеем:



И нтегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:



Пример. Найти общее решение уравнения .

Применяем подстановку





Произведя обратную замену, получаем:





О бщее решение исходного дифференциального уравнения:


Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0.

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Это уравнения вида

Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных



и т.д.
Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:



Если это уравнение проинтегрировать, и - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:





Пример. Найти общее решение уравнения
Замена переменной:


1)

Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной:






С учетом того, что , получаем:








Общий интеграл имеет вид:




2)
Таким образом, получили два общих решения.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида:





где p₀, p₁, …,p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀¹0.
Левую часть этого уравнения обозначим L(y).


Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ¹ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.
Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.