лекция. Лекции+6-7. Определение. Дифференциальным уравнением порядка
![]()
|
Уравнения, не содержащие явно искомой функциии ее производных до порядка k – 1 включительно. ![]() Это уравнения вида: ![]() В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной: ![]() Тогда получаем: ![]() Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением: ![]() Делая обратную подстановку, имеем: ![]() И ![]() ![]() Пример. Найти общее решение уравнения ![]() Применяем подстановку ![]() ![]() ![]() Произведя обратную замену, получаем: ![]() ![]() О ![]() ![]() Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Это уравнения вида ![]() Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных ![]() ![]() ![]() Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем: ![]() Если это уравнение проинтегрировать, и ![]() ![]() ![]() Пример. Найти общее решение уравнения ![]() Замена переменной: ![]() ![]() 1) ![]() Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной: ![]() ![]() ![]() ![]() С учетом того, что ![]() ![]() ![]() ![]() Общий интеграл имеет вид: ![]() ![]() 2) ![]() ![]() Таким образом, получили два общих решения. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных ![]() ![]() ![]() где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0¹0. Левую часть этого уравнения обозначим L(y). ![]() Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ¹ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами. Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным. Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков. |