лекция. Лекции+6-7. Определение. Дифференциальным уравнением порядка

• Название: Определение. Дифференциальным уравнением порядка
• Анкор: лекция
• Дата: 02.01.2023
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: Лекции+6-7.doc
• Тип: Решение; #870919
• страница: 6 из 6

Нормальные системы линейных однородных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами.
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.
Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:

(2)
Решения системы (2) обладают следующими свойствами:
1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы.

2) Если y₁, z₁, u₁и y₂, z₂, u₂ – решения системы, то y₁ + y₂, z₁ + z₂, u₁ + u₂ – тоже являются решениями системы.
Решения системы ищутся в виде:

Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на e^kx, получаем:



Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:



В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k₁, k₂, k₃. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):







Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):







Пример. Найти общее решение системы уравнений:



Составим характеристическое уравнение:





Решим систему уравнений:



Для k₁:

Полагая (принимается любое значение), получаем:
Для k₂:

П олагая (принимается любое значение), получаем:

Общее решение системы:


Этот пример может быть решен другим способом:
Продифференцируем первое уравнение:

Подставим в это выражение производную у¢ =2x + 2y из второго уравнения.


Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:










Обозначив , получаем решение системы:


Пример. Найти решение системы уравнений



Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х).

Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:



Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: .

С учетом первого уравнения, получаем:

Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.



Общее решение однородного уравнения:
Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле





Общее решение неоднородного уравнения:


П одставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:



Пример. Найти решение системы уравнений:


Составим характеристическое уравнение:

1. 
   k = -1.
   

Если принять g = 1, то решения в этом случае получаем:

2. 
   k₂ = -2.
   

Если принять g = 1, то получаем:

3. 
   k₃ = 3.
   

Если принять g = 3, то получаем:


О бщее решение имеет вид: