лекция. Лекции+6-7. Определение. Дифференциальным уравнением порядка
![]()
|
Нормальные системы линейных однородных дифференциальныхуравнений с постоянными коэффициентами. При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка. Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде: ![]() Решения системы (2) обладают следующими свойствами: 1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы. 2) Если y1, z1, u1и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже являются решениями системы. Решения системы ищутся в виде: ![]() Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx, получаем: ![]() Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.: ![]() В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2): ![]() ![]() ![]() Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2): ![]() ![]() ![]() Пример. Найти общее решение системы уравнений: ![]() Составим характеристическое уравнение: ![]() ![]() Решим систему уравнений: ![]() Для k1: ![]() Полагая ![]() ![]() Для k2: ![]() П ![]() ![]() ![]() Общее решение системы: ![]() Этот пример может быть решен другим способом: Продифференцируем первое уравнение: ![]() Подставим в это выражение производную у¢ =2x + 2y из второго уравнения. ![]() Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Обозначив ![]() ![]() Пример. Найти решение системы уравнений ![]() Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х). Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем: ![]() Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: ![]() С учетом первого уравнения, получаем: ![]() Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка. ![]() Общее решение однородного уравнения: ![]() Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле ![]() ![]() ![]() Общее решение неоднородного уравнения: ![]() ![]() П ![]() ![]() Пример. Найти решение системы уравнений: ![]() Составим характеристическое уравнение: ![]() ![]() k = -1. ![]() Если принять g = 1, то решения в этом случае получаем: ![]() k2 = -2. ![]() Если принять g = 1, то получаем: ![]() k3 = 3. ![]() Если принять g = 3, то получаем: ![]() О ![]() ![]() |