лекция. Лекции+6-7. Определение. Дифференциальным уравнением порядка
Скачать 0.66 Mb.
|
Линейные однородные дифференциальные уравнения спроизвольными коэффициентами. Рассмотрим уравнение вида Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором. Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами: 1) 2) Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами: 1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением. 2) Если функции у1и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением. Структура общего решения. Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения. Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка , то этот определитель называется определителем Вронского. ( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик) Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю. Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала. Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю. Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений. , где Ci –постоянные коэффициенты. Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Общее решение линейного однородного дифференциальногоуравнения второго порядка. Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений. Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде. Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена. Теорема. Если задано уравнение вида и известно одно ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле: Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно. Линейные однородные дифференциальные уравнения спостоянными коэффициентами. Решение дифференциального уравнения вида или, короче, будем искать в виде , где k = const. Т.к. то При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы т.е. Т.к. ekx¹ 0, то - это уравнение называется характеристическим уравнением. Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение имеет nкорней. Каждому корню характеристического уравнения kiсоответствует решение дифференциального уравнения. В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные. Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни. 2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем: a) каждому действительному корню соответствует решение ekx; б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений: в) каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнение ставится в соответствие два решения: и . г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений: 3) Составляем линейную комбинацию найденных решений. Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Пример. Решить уравнение . Составим характеристическое уравнение: Общее решение имеет вид: Пример. Решить уравнение Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение. Таким частным решением будет являться функция Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать: Общее решение имеет вид: Окончательно: Пример. Решить уравнение Составим характеристическое уравнение: Общее решение: Пример. Решить уравнение Характеристическое уравнение: Общее решение: Пример. Решить уравнение Характеристическое уравнение: Общее решение: Пример. Решить уравнение Характеристическое уравнение: Общее решение: Пример. Решить уравнение Характеристическое уравнение: Общее решение: Пример. Решить уравнение Характеристическое уравнение: Общее решение: Пример. Решить уравнение Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим. Понизим порядок уравнения с помощью подстановки Тогда Окончательно получаем: Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0. Пример. Решить уравнение Производим замену переменной: Общее решение: |