Главная страница
Навигация по странице:

  • Определение

  • Теорема о среднем.

  • Доказательство

  • Обобщенная теорема о среднем.

  • Теорема

  • _Лекция_Определённый интеграл. Определённый интеграл


    Скачать 80.97 Kb.
    НазваниеОпределённый интеграл
    Дата01.03.2022
    Размер80.97 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файла_Лекция_Определённый интеграл.docx
    ТипДокументы
    #377880

    Определённый интеграл.
    Введение понятия определённого интеграла.
    Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

    y

    M

    m

    0 a xi b x

    Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

    Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

    x0 < x1 < x2 < … < xn

    Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn;

    На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.
    [x0, x1]  m1, M1; [x1, x2]  m2, M2; … [xn-1, xn]  mn, Mn.
    Составим суммы:

    n = m1x1 + m2x2 + … +mnxn =

    n = M1x1 + M2x2 + … + Mnxn =

    Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма верхней интегральной суммой.

    Т.к. mi  Mi, то n n, а m(b – a)  n n  M(b – a)
    Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .

    x0 < 1 < x1, x1 <  < x2, … , xn-1 <  < xn.
    Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
    Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn =

    Тогда можно записать: mixif(i)xiMixi
    Следовательно,


    Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

    Обозначим maxxiнаибольший отрезок разбиения, а minxi – наименьший. Если maxxi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.
    Если , то
    Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxxi 0 и произвольном выборе точек i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
    Обозначение :

    а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

    Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].
    Также верны утверждения:


    Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

    15.2. Свойства определенного интеграла.








    1. Если f(x)  (x) на отрезке [a, b] a < b, то




    1. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:




    1. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка  такая, что



    Доказательство: В соответствии со свойством 5:



    т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число  [a, b], что если

    и  = f(), а a    b, тогда . Теорема доказана.
    7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:



    Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

    8)
    Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка , такая, что



    Теорема Ньютона-Лейбница.
    Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

    Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.



    Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.
    Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.
    Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

    Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то



    это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.


    Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .

    Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

    Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

    Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.


    написать администратору сайта