Организатор Калина (он же жирный хуй)

• Название: Организатор Калина (он же жирный хуй)
• Дата: 31.01.2022
• Размер: 440.14 Kb.
• Имя файла: 6,22-40.docx
• Тип: Документы; #347144
• страница: 3 из 4

Неравенство Шварца
В евклидовом пр-ве (x, y)² ≤ (x, x)(y,y)

Док-во:

(x+ λy, x+ λy) ≥0 λ R.

(x,x) +2λ(x,y) + λ²(y,y) ≥0 λ

[ aλ² + 2bλ + c ≥0 λ D ≤ 0 b²-ac ≤0 ]

(x,y)² – (x,x)(y,y) ≤0

Нормой вектора х E_n называется число, равное . Обозначим норму ||x||.
Неравенство Коши-Буняковского
Для любых 2-х элементов x, y E_n справедливо:

(x,y)² ≤ ||x|| ² * ||y|| ²

Док-во: Пусть α – произвольное вещественное число. Положим a = x – αy

(a,a) = (x – αy, x – αy) ≥0

f(α) = (x – αy, x – αy) = (x, x) - 2α(x, y) + α²(y, y) ≥0

Т.к α f(α) ≥0, то дискриминант D квадратного трехчлена f(α) неположителен:

D = 4(x,y)² – 4(x,x)(y,y) ≤0

Отсюда (x,y)² ≤ (x,x)(y,y) или (x,y)² ≤ ||x|| ² * ||y|| ². Теорема доказана

30. Геометрия евклидовых пространств
Длиной (нормой) вектора v в евклидовом пространстве 𝔼 называется число

Имея в виду обозначение, длину |v| называют также модулем вектора. Рассматривается арифметическое значение квадратного корня, которое определено для любого вектора из-за неотрицательности подкоренного выражения. Поэтому каждый вектор имеет положительную длину, за исключением нулевого, длина которого равна нулю: |o|=0.

Углом между ненулевыми векторами u и v евклидова пространства 𝔼 называется число

то есть и

31. Ортогональный и ортонормированный базисы. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
Ортогональные векторы евклидова (или унитарного) пространства – такие, что (записывается: )
Ортогональная система векторов евклидова пространства – такая, что при
Ортонормированная система векторов – такая система, в которой векторы попарно ортогональны друг другу и длины векторов равны 1: при и при всех
Базис евклидова (или унитарного) пространства называется ортонормированным базисом, если он является ортонормированной системой векторов этого пространства. Аналогичным образом определяется ортогональный базис.
В любом конечномерном евклидовом или унитарном пространстве существует ортонормированный базис, и для его построения можно использовать процесс ортогонализации.
Алгоритм построения ортогонального базиса.
Пусть – произвольный базис евклидова пространства. Будем строить по нему ортогональный базис

1. 
   В качестве первого вектора нового базиса возьмём вектор т.е. положим
   
2. 
   Вектор будем искать в виде , и подберём так, чтобы выполнялось условие Имеем: откуда
   
3. 
   Вектор будем искать в виде , и подберём так, чтобы выполнялись условия Имеем: откуда
   
4. 
   Далее будем искать вектор в виде и будем подбирать коэффициенты так, чтобы этот вектор был перпендикулярен векторам
   

Процесс завершится построением ортогонального базиса

32. Симметрические (самосопряженные) операторы. Их матрицы.
Е-евклидово про-во

А называется симметрическим оператором, если (Ах,у)=(х,Ау)

Теорема. Если в Е задать ортонормированный базис е₁, ..., е_n, то у симметрического оператора матрица будет симметрическая

Если матрица некоторого оператора в некотором ортонормированном базисе симметрическая, то оператор

симметрический

Док-во: А –симметрическая A=A^T ; a_ij = a_ji






Наоборот, выполняется определение симметрического оператора
33. Свойства собственных значений и собственных векторов симметрического оператора.
1) Все собственные значения действительны

Док-во: Е конечномерно

е₁, ..., е_n – его базис



Рассмотрим унитарное про-во:





Пусть u - собственный вектор, – собственное значение






2) Собственные значения с разными ортогональны друг другу

Док-во: – собственные значения

u, v- собственные вектора соотв. собств. значениям


Из 1-ого – действительные числа





;




34. Существование для симметрического оператора ортонормированного базиса из собственный векторов

35. Ортогональные матрицы
Пусть – евклидово пространство. Линейный оператор называется ортогональным, если он не изменяет скалярного произведения, т.е. для любых (19)
Из определения следует, что ортогональный оператор не изменяет длин векторов и углов между ними, т.е. сохраняет все геометрические свойства фигур. На плоскости или в трёхмерном пространстве ортогональный оператор определяет движение (например, поворот, симметрию относительно прямой, точки, плоскости).
Матрицу линейного оператора будем обозначать так же буквой Для ортогонального оператора имеет место утверждение:

Теорема. Линейный оператор является ортогональным в том и только том случае, если его матрица в ортонормированном базисе удовлетворяет условию

(20)

Условие (20) равносильно условию
Собственные значения ортогонального оператора по модулю равны 1.
Ортогональная матрица – матрица, удовлетворяющая условию (20).
У ортогональной матрицы обратная матрица совпадает с транспонированной.
Ортогональная матрица – это матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

36. Ортогональные операторы
Пусть E – евклидово пространство. Линейный оператор A : E → E называется ортогональным, если он не изменяет скалярного произведения, т.е. для любых x, y ϶ E (Ax, Ay) =(x, y).

Матрицу линейного оператора A будем обозначать также буквой A. Для ортогонального оператора имеет место утверждение:

Теорема. Линейный оператор A является ортогональным в том и только том случае, если его матрица в ортонормированном базисе удовлетворяет условию A^T=A^-1
37. Линейная и билинейная форма. Их общий вид.
L – линейное пространство над полем F. Линейной формой называется отображение α: L →F , удовлетворяющее для всех

x, y L,  λ ϶ F следующим условиям:1) α (x+y) =α (x) + α(y); 2) α(λx) =λα (x).линейность

L конечномерно и e1,..,en – его базис. α_i=α(e_i ) (i=1,...,n). x L. x=x₁e₁+...+ x_n e_n ( x₁,.., x_n F).

α(x)= α₁x₁+...+α_nx_n. канонический вид

Отображение B : LxL → F называется билинейной формой, если оно для всех x, y, z L и λ F удовлетворяет условиям:

1) B(x+y, z) =B(x, z) +B(y, z);

2) B(λx, y) =λB(x, y);

3) B(x, y +z) =B(x,y)+B(x, z);

4) B(x,λ y) =λB(x, y).

в пространстве L есть конечный базис e1,…,en. Если обозначить

b_ij=B(e_i,e_j ), то для любых векторов x, y L мы будем иметь:
n² слагаемых


38. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Изменение матрицы при изменении базиса.



матрица квадратичной формы – симметрическая.(A=A^T)

Изменение матрицы при переходе в др. базис: A¹=S^TAS S=T_e→e¹

Д-во:







39. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду.
Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов неизвестных с коэффициентами «+1» или « ».

Теорема. Всякую квадратичную форму можно привести некоторым невырожденным линейным преобразованием неизвестных к нормальному виду.

Доказательство. Пусть - квадратичная форма ранга . Следовательно, - линейное преобразование неизвестных, приводящее к виду

, (14.20)

где , (теорема 3 и следствие из теоремы 2).

Положим

(14.21)

Равенства (14.21) можно записать в виде следующего матричного равенства:

,

где - невырожденная матрица (так как ), следовательно, существует и равенство можно разрешить относительно : .

Последовательное выполнение линейных преобразований и является линейным преобразованием с матрицей (теорема 1); линейное преобразование приводит квадратичную форму к нормальному виду

.

Теорема доказана.


40. Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра.


Определение. Квадратичная функция на линейном пространстве L называется положительно определенной, если ;

Пусть в некотором базисе квадратичная функция записана в виде квадратичной формы
(1)

с матрицей