Организатор Калина (он же жирный хуй)
 Скачать 440.14 Kb.
|
|
Теорема (Критерий Сильвестра). Для положительной определенности квадратичной формы  в  необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры её матрицы B, имеющие вид ,  ,были положительными. Доказательство критерия Сильвестра. Достаточность: дано, что все главные миноры матрицы квадратичной формы положительны, надо доказать, что она является положительно определенной. Воспользуемся методом математической индукции и леммой. Для  достаточность очевидна. Допустим, что  и из положительности главных миноров матрицы квадратичной формы порядка до  включительно следует возможность приведения квадратичной формы от  переменных  к виду  .Покажем, что в этом случае достаточность будет иметь место и для квадратичной формы, зависящих от n переменных. В выражении для квадратичной формы, зависящей от n переменных  , выделим слагаемые, содержащие  : .Двойная сумма  в правой части этого равенства есть квадратичная форма  , зависящая от переменной, причем главные миноры её матрицы совпадают с главными минорами до порядка включительно, которые, по условию, положительны. Отсюда следует, по предположению индукции, что квадратичная форма положительно определенная и для неё существует невырожденная замена переменных ,приводящая её к каноническому виду:  .Запишем квадратичную форму в новых переменных: и выделим полные квадраты по  : ,где  . ( пока не заменяли)В матричном виде эту замену переменных можно записать как  и поскольку определитель ее матрицы отличен от нуля, то эта замена невырожденная. Наконец, вспомним, что определитель матрицы квадратичной формы сохраняет знак при замене базиса. Определитель матрицы B квадратичной функции в исходном базисе положительный, поскольку этот определитель является главным минором порядка n. Но из выражения для в конечном базисе мы получаем, что определитель матрицы квадратичной формы  равен  . Поэтому  и можно ввести переменную  , в результате чего получаем канонический вид квадратичной формы  .Следовательно, квадратичная функция положительно определена. Достаточность доказана. Необходимость. Дано, что квадратичная функция положительно определенна, и надо доказать положительность главных миноров ее матрицы. Снова применим индукцию по числу переменных n. Для это ясно. Пусть и для форм от меньшего числа переменных утверждение теоремы верно.Поскольку квадратичная форма из доказательства достаточности также является положительно определенной (ее значения – это значения при  ), то по предположению индукции ее главные миноры, совпадающие с главными минорами матрицы B до порядка , положительны. А определитель самой матрицы B, который является главным минором порядка n, положителен, поскольку приводится к каноническому виду , и определитель матрицы полученной при этом квадратичной формы равен 1 и имеет такой же знак, как и определитель матрицы B. Теорема полностью доказана. Следствие. (Критерий отрицательной определенности). Для отрицательной определенности квадратичной формы в необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры её матрицы B имели чередующиеся знаки, начиная с минуса, т.е.  .Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму  с матрицей  : для нее, по критерию Сильвестра, ,  , ч.т.д. |